模式一2.3數(shù)學(xué)歸納法

1、2. 3數(shù)學(xué)歸納法課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：理解數(shù)學(xué)歸納法原理及其本質(zhì)，掌握它的根本步驟與方法能較好地理解“歸納奠基和歸納遞推兩者缺一不可。二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：提出問(wèn)題：?jiǎn)栴}1前面學(xué)習(xí)歸納推理時(shí)，我們有一個(gè)問(wèn)題沒(méi)有徹底解決即對(duì)于數(shù)列，%= 碼 i,1+( n=1,2,3)，通過(guò)對(duì)n=1,2,3,4前4項(xiàng)的歸納，猜測(cè)出其通項(xiàng)公式1叫二一片，但卻沒(méi)有進(jìn)一步的檢驗(yàn)和證明.問(wèn)題2:大家玩過(guò)多米諾骨牌游戲嗎？這個(gè)游戲有怎樣的規(guī)劃？(多媒體演示多米諾骨牌游戲)這是一個(gè)碼放骨牌游戲， 碼放時(shí)保證任意兩相鄰的兩塊骨牌， 假設(shè)前一塊骨牌倒下， 那么一定導(dǎo) 致后一塊骨牌倒下.只要推倒第一塊骨牌，就必然導(dǎo)致第二塊骨牌倒下

2、；而第二塊骨牌倒下，就必然導(dǎo)致第三塊骨牌倒下最后，不管有多少塊骨牌都能全部倒下.討論問(wèn)題：?jiǎn)栴}1、問(wèn)題2有什么共同的特征？其結(jié)論成立的條件的共同特征是什么結(jié)論成立的條件：結(jié)論對(duì)第一個(gè)值成立；結(jié)論對(duì)前一個(gè)值成立， 那么對(duì)緊接著的下一個(gè)值也成立.上面兩個(gè)條件分別起怎樣的作用？它們之間有怎樣的關(guān)系？我們能否去掉其中的一個(gè)？你能舉反例說(shuō)明嗎？在上述兩個(gè)條件中，第一個(gè)條件是歸納遞推的前提 和根底，沒(méi)有它，后面的遞推將無(wú)從 談起；第二個(gè)步驟是核心和關(guān)鍵，是實(shí)現(xiàn)無(wú)限問(wèn)題向有限問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁與紐帶.1門% = 一如在前面的問(wèn)題1中，如果不是1,而是2,那么就不可能得出-，因此第一步看似簡(jiǎn)單，但卻是不可缺少的.

3、而第二步顯然更加不可缺少.這一點(diǎn)在多米諾骨牌游戲中也可清楚地看出.解決問(wèn)題：由上，證明一個(gè)與自然數(shù) n有關(guān)的命題，可按以下步驟進(jìn)行：(1) 證明當(dāng)n取第一個(gè)值(D *)時(shí)命題成立；假設(shè)n=k(k |： ,： -工)時(shí)命題成立，證明當(dāng) n=k+1時(shí)命題也成立.由以上兩個(gè)步驟，可以斷定命題 ? -l：對(duì)從豈開(kāi)始的所有正整數(shù) n都成立.nn取無(wú)限多個(gè)值有關(guān)、具有內(nèi)在遞推這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，它是證明與正整數(shù) 關(guān)系的數(shù)學(xué)命題的重要工具.三、提出疑惑同學(xué)們，通過(guò)你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、 學(xué)習(xí)目標(biāo)1了解由有限多個(gè)特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正

4、確。2初步理解數(shù)學(xué)歸納法原理。3 理解和記住用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個(gè)步驟。4初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的與正整數(shù)有關(guān)的恒等式。二、學(xué)習(xí)過(guò)程：例1、證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式 an a! n 1d :解析：1讓學(xué)生理解數(shù) 學(xué)歸納法的嚴(yán)密性和合理性；2掌握從n = t到理二十十1時(shí)等式左邊的變化情況。證明：1當(dāng)n= 1時(shí)等式成立； 假設(shè)當(dāng)n= k時(shí)等式成立，即ak a1 k 1d ,那么ak 1 ak d=a, k 1 1d ,即n= k + 1時(shí)等式也成立由1 、 2可知，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an a1 n 1d對(duì)任何n N*都成立.點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)學(xué)歸納法證明和正整數(shù)相關(guān)的命題時(shí)，要注意以下三

5、句話：遞推根底不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。a n*變式訓(xùn)練1 .在數(shù)列a*中，a1 = 1, a* 1n N ,先計(jì)算a?, a3 , a4的1 an值，再推測(cè)通項(xiàng) an的公式，最后證明你的結(jié)論.例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明卩丄也丄亠2如+10+11 4-J + -I-找= 6用E礦.解析：1進(jìn)一步讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)密性和合理性，從而從感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)；2掌握從n=t到圧二十*時(shí)等式左邊的變化情況，合理的進(jìn)行添項(xiàng)、拆項(xiàng)合并項(xiàng)等。1-2-3 -2 = =證明：1冃=1時(shí)：左邊=1 =1 ,右邊 拆，左邊=右邊，等式成立。 2)n2n 111(n 2)n2n 112n 1(n 2

6、)nn12n(n 2)n2n 13，i丄丄丄2 2 22347 , ，那么可歸納出式子42用數(shù)學(xué)歸納法證明：首項(xiàng)是a!，公比是q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是n 1anaiq，前n項(xiàng)和公式是Snai(11(q1).課后練習(xí)與提高、選擇題1.用數(shù)學(xué)歸納法證明123252(2n1)21過(guò)程中，由n=k遞推到n=k+1時(shí)，不等式左邊增加的項(xiàng)為2 2A. (2k) B. (2k3)C.(2k1)2 D.2(2 k 2)2 .凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，凸A. f(n )+n +1 B. f(n)+n C.3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式n + 1邊形對(duì)角線 f(n)+n -1 D.1n 1由n=k遞推到n=k+1時(shí)，

7、不等式左邊的條數(shù)f(n )+n -2n 3)2nA.增加了一項(xiàng)2(k 1)f(n+1)為(1314n 2的過(guò)程中，B.增加了一項(xiàng)2k2(k1)1C.增加了“|2k 12(k1，又減少了1)D.增加了“一1一2(k 1)又減少了“ 1k7、填空題4 .數(shù)列13,34,n(n123產(chǎn) 3,S3 4由此可猜測(cè)Sn5 .假設(shè) f(k)=1 112k 1丄,那么f (k2k1)= f(k) +三、解答題丄151 11 1 , 1 23，你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明.6.由以下不等式:III參考答案：1. C 2. C 3. C15.2k 112k 26 解：根據(jù)給出的幾個(gè)不等式可以猜測(cè)第n4.-n 1n個(gè)不等式，即一般不等式為:1 1 3 Z