數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見題型與解題方法

1、數(shù)列求通項(xiàng)公式的常見題型與解題方法數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).高考對本章的考查比較全面， 等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏.有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列 知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列， 求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起.探索性問題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn).本 章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論 等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法.數(shù)列這一章的主要章節(jié)結(jié)構(gòu)為：近幾年來，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個(gè)方面：(1)數(shù)列本身的有關(guān)知識(shí),其中

2、有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及求和公式.(2)數(shù)列與其它知識(shí)的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合. (3)數(shù)列的應(yīng)用問題，其 中主要是以增長率問題為主.試題的難度有三個(gè)層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大 都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個(gè)別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為 最后一題難度較大.題型1已知數(shù)列前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式在我們的教材中，有這樣的題目:1 .數(shù)列0,亞,0, 2LL的通項(xiàng)an ,1111 .彳2 .數(shù)列,L的通項(xiàng)an 1 2 2 33 4 4 51357 一3 .數(shù)列 1 =,1二,1 二,1二L 的通項(xiàng) an 24680 n為奇數(shù)n

3、 1n L 一一 2、an (1)2 n為偶數(shù)n(n 1)3、 an1)n1 2n 1 (2n)2練習(xí)例1.寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):例2.觀察下面數(shù)列的特點(diǎn)，寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：例3:寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：題型2由心與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式1 , 21、已知數(shù)列an的刖n項(xiàng)和Sn (n n),則an 22、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 3 2n,則a 1 ，一3、設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)的和Sn=- (an-1) (n N ).3(I)求a1; a2；(n )求證數(shù)列an為等比數(shù)列.4、數(shù)列a n的前n項(xiàng)和Sn=3 - 2n-3,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.5、設(shè)數(shù)列a

4、n的前n項(xiàng)和為S=2n2+3n+2,求通項(xiàng)an的表達(dá)式，并指出此數(shù)列是否為等差 數(shù)列.6、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, a=2,且nan+產(chǎn)S+n(n+1),求an.7、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=2an+(-1)n,e.(I)寫出求數(shù)列an的前3項(xiàng)ai,a2,a3； (n)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；17am 8,11(m)證明：對任意的整數(shù)m>4La4 a57、解：當(dāng) n=1 時(shí)，有：Si=ai=2ai+(-1)ai=1;當(dāng) n=2 時(shí)，有：S2=ai+a2=2a2+(-1)2a2=0；當(dāng) n=3 時(shí)，有：S3=ai+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2;綜上可知 ai=1,

5、a2=0,a3=2;nn 1n 1由已知得：an Sn Sn i 2a ( 1) 2an 1 ( 1)化簡彳導(dǎo):an 2an 1 2( 1)2 2上式可化為：an ( 1)n 2an 1( 1)n13 32 n21故數(shù)列an -( 1)n是以& -( 1)1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列. 33故 an 3( 1)n 32n 1an 1g2n1 3( 1)n |2n 2 ( 1)n2數(shù)列an的通項(xiàng)公式為：an 2( 1)n.31113112m由已知得：-L 3La4 a5am 2 22 1 23 1131511 m 5g-)m 55 213 104 105 7,11 .故L15 120 1

6、20 8 a4 a517(m>4).am 8題型3已知數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式(公式法)1、已知數(shù)列an的首項(xiàng)ai 1 ,且an an i 3(n 2),則an2、數(shù)列an中,ai 1,an ian 2,求an的通項(xiàng)公式3、已知數(shù)列an滿足ai/11, 十1 , - 1 ,求 an .an 1 an4、數(shù)列an中,ai 1,an i2an an一，求 an的通項(xiàng)公式.25、已知數(shù)列an的首項(xiàng)ai 1 ,且an3an i(n 2),貝U an6、已知數(shù)列an的 a1,a22 且an22an1an,則an （累加法與累積法）1、數(shù)列an中，a1 1,an1 an n,求an的通項(xiàng)公式. n 1

7、2、數(shù)列an中，a1 1,an1 an 3 ，求an的通項(xiàng)公式.3、已知數(shù)列an滿足an 1 an2n 1, a1 1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4、已知數(shù)列an滿足an 1an 2 3n 1, a1 3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。n 15、已知數(shù)列an的首項(xiàng)a 1 ,且an an1（n 2）,則ann6、已知數(shù)列an滿足an 12（n 1）5n an, a1 3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。（構(gòu)建新數(shù)列）1、已知數(shù)列an的首項(xiàng)a 1 ,且an2an 1 3(n2),則 an2、數(shù)列an中，a1 2,an 1 3街 2 ,求4的通項(xiàng)公式.3、已知數(shù)列an滿足an 1 2an4、已知數(shù)列an滿足an 1 3

8、an5、已知數(shù)列an滿足an 1 2an6、已知數(shù)列an滿足an 1 3an7、已知數(shù)列an滿足an 1 2an8、已知數(shù)列an滿足an 13 2n, a1 2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。1, a1 3 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2 3n3 5n, a1 6,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4, a11 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。5 2n3 n2 4n 5, a1 1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。an8(n 1)2, a1(2n 1)2(2n 3)2-,求數(shù)列an 99、已知數(shù)列an滿足an 1 21an 24, a1 4 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4an 1.7a 2 10、已知數(shù)列an滿足an 1 , a1 2,求

9、數(shù)列an的通項(xiàng)公式。a n 1 an 3 貝”an 1 a n 2 n 1 2 n 2)、2“1 2 n2a n 33、解：an 1 2an 3 2n兩邊除以2n 1,得故數(shù)列an是以號(hào) 2 1為首，以。為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得 2n21 22a361 (n 1)2，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1nJ2%4、解：an13an2 3n 1兩邊除以3n 1,an3n則a43n 1an3n故包3nan1)a( aan 2 ) 3n 2a(-3an 33na 232?)a13因此an 3n2(n 1)1(1 3n3n 1)2nT3n則an3n3n5、解：設(shè)an5n 12(an將an

10、 12an3 5n代入式,得2an5n5n2an2x5n ,等式兩邊消去5nx 5n 1 2x 5n ,兩邊除以5n2x則x=1,代入式,得an 15n2(an 5n)由a1515 1w0及式，得an 5n0,則anan5n 1F"2 ,則數(shù)列an 5n是以 a1511為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列,2n故an2n 15n。6、解：設(shè)an 1 x 2y 3(anx 2ny)將a n 13an2n4代入式，得整理得(5 2x) 2n3x2n 3y2x3x3y代入式，得an 15 2n 123(an2n2)由 a1 5 212 112130及式，得an2n0,an 1 則qan5 2n 1

11、 2n3, 5 2n 2故數(shù)列an 5 2n 2是以ai 5 21 2 1 12 13為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，因此 an 5 2n 2 13 3n1,則 an 13 3n 1 5 2n 2。22、7、解：設(shè) an 1 x(n 1) y(n 1) z 2(an xn yn z) 將an1 2an 3 n2 4n 5代入式，得22an 3 n2xn yn z),貝U一 ，、24n 5 x(n 1) y(n 1) z 2(an等式兩邊消去2an ,得(3 x)n2(2x y 4)n (x2y z 5) 2xn 2yn 2z ,310,代入式，得183 x 2xx則得方程組 2x y 4 2y

12、，則y x y z 5 2z zan 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2(an 3n2 10n 18)由 a1 3 12 10 1 18 1 31 32 0 及式，得 an 3n2 10n 18 0an 1 3(n 1)2 10(n 1) 182則-jnJ2 , 故數(shù)列an 3n2 10n 18為以an 3n2 10n 182a13 1210 1 18 131 32為首項(xiàng)，以2 為公比的等比數(shù)列，因此an3n210n 18 322n 1,貝Uan 2n 4 3n210n 18。8、解：由 an 1 an8(n 1)(2n 1)2(2n 3)2及a1a18(1 1)(2 1 1)2(2

13、 1 3)2由此可猜測an(2n 1)2 1 ,往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。(2n 1)2(1)當(dāng) n=1 時(shí),(2 1 1)2 18a12一 一 ,所以等式成立。(2 1 1)29(2)假設(shè)當(dāng)n=k (2k1)2 1時(shí)等式成立，即 ak 2，則當(dāng)n k(2k 1)21時(shí),由此可知，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。根據(jù)(1) (2)可知，等式對任何n N21x 249、解：令x 4x.一 2，得 4x2 20x 24. 21x 240 ,則 x1 2, x2 3是函數(shù) f(x)4x 1的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。因?yàn)閍n 12an 1321an24 24an 121a244an 121an24 2(4an2X24 3(4an1)13an 261)9an 2713O9生an生an2 12是以3a12a13,一 132為首項(xiàng)，以13為公比的等比數(shù)歹U,9anan3n 1,則an3。10、 解：令7x 22x3，一 2得 2x2 4x 20 ,則x=1是函數(shù)f (x)3x 1 一一 一的不動(dòng)點(diǎn)。4x 7因?yàn)閍n7an 22an5an2a n所以an 12an 35an