可化為一元二次方程的分式方程

1、學習好資料歡迎下載“可化為一元二次方程的分式方程”的 教學設計及設計理念課 題：可化為一元二次方程的分式方程（一）課 型：新授課數學目的：1、掌握可化為一元二次方程的分式方程的解法，會用去分母 或換元法求分式方程的解；2、知道解分式方程可能產生增根，并會檢驗；3、通過把某些分式方程轉化為一元二次方程的過程，使學生 認識到事物的變化及其聯系，以及把“未知”轉化為“已知”的 方法；進一步認識轉化的思想方法，并提高學生的分析問題和解 決問題的能力；4、引導學生積極參與教學活動，在數學學習活動中獲得成功 的體驗。教學重點：掌握由分式方程轉化為一元二次方程的基本方法。教學難點：解分式方程中的檢驗及轉化的

2、思想方法。教學方法：激思導探合作教學法教學過程：設疑引入1、問題：一同學到郵局買了兩種信封，共 30個，其中買A 種信封用了 1元5角，買B種信封用了 1元2角，B種信封每個 比A種信封便宜2分，兩種信封的單價各是多少？分析：要解決這個問題，不如設 B種信封每個x分，那么A*本教案為作者所上示范課的課例設計。種信封每個許2）分,a種信封買了詈2個,b種信封買了早個,學習好資料歡迎下載兩個信封一共買30個，由此，得-150-+ 120=30.x 2 x2、提問：這是個什么方程？生：分式方程師：什么是分式方程生：答師：板書分式方程的定義3、回味舊知：解下列方程：（學生板演）x2-3x+2=0;（x

3、+-=3,）xx2 1、x2-2x-1=0;（=2;）x 1小 263.x +3x-4=0;(= 1 ；)(x 1)(x -1) x -3 x2-9x+18=0;, 2x -51(二二x 3x 2 4六舌-白二。.注意：一一要預留出二行？供以下解分式方程之用議論趨勢教師點評習題一一，重點研究第 5題，并小結解這類方 程的步驟（學生口述，教師補充完整，并出示投影）。去分母（方程兩邊都乘以最簡公分母），化為一元一次方程;解一元二次方程；檢驗（代入最簡公分母），舍去增根，得到原分式方程的根。引導探索學習好資料歡迎下載1、師：你會解下列方程嗎？試試看。解方程：'f2-=1x 2 x -4 x-

4、2注意：把該題目寫在“回味舊知”解方程x2-3x+2=0的正上方，并預留一行。生：將方程兩邊都乘以(x+2)(x-2),得(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2)整理，得 x2-3x+2=0.注意：檢驗過程 11 4x 2,2、讓學生注意觀察兩個分式方程 ,+ -4 = 1與x 2 x - 4 x-21 4x 2 1 一一'學 =0解法的比較，論這兩個題目和解題過程 x 2 x2 -4 x -2的相同點和不同點。生：相同點它們都是分式方程；解題的基本思想都是方程兩邊同乘以最簡公分母，化為整式方程；它們都有可能產生增根，因此必須驗根。不同點：化為整式方程一個是一元一次方程，另

5、一個是一元二次方程。師：這就是我們今天要和同學們研究的內容一一可化為一元二次方程的分式方程(出示課題)。3、你會解下列分式方程嗎？看誰解得又對又快。x21Dx1x 1=2,"x"/!'1；2x - 53)-x2 3x 2學習好資料歡迎下載注意：把一一分別寫在“回味舊知”的一一的正方 上，并預留一行。4、小結：通過上述題組練習，讓學生體驗并小結，掌握解分式方程的 兩個關鍵步驟：正確找出最簡公分母；檢驗。5、討論：解分式方程時，為什么要檢驗？為什么要檢驗？這是因為用同一個含有未知數的整式(各分式的最簡公分母)去求方程的兩邊，約去分母，化為整式方程， 這樣得到的整式方程的

6、解有時與原方程的解相同，(當最簡公分母 不為0時)，但也有時與原方程的解不同(當最簡公分母為零時)， 這樣就擴大了未知數的取值，因而要檢驗。檢驗的方法：一是直接將求得的解代入原方程中去，看是否是原方程的根， 這種方法不但可以檢驗出增根，而是還可以發(fā)現在解題過程中是 否發(fā)生計算和變形等錯誤。二是把求得的根代入到原分式方程的最簡公分母，或去分母 的最簡公因式，當其值為零時，即為增根，不為零時，即為原方 程的根，但這種檢驗法不能發(fā)現解題過程中的計算或變形等錯誤。6、換元法：例題：解方程2(X2 1)咚口 = 7. x 1 x 1(學生觀察思考討論，教師點撥引導)分析：去分母，方程兩邊同乘以最簡公分母

7、 (x+1)(x2+1),約 去分母，得 2(x2-1)(x2+1)+6(x+1)(x+1)(x2+1)=7(x+1)(x2+1),在這個 方程中，有關于x2的四次項、三次項，目前解這個方程有困難。2,2,若把x二整個看作一個未知數，即設=y,則好=工，x 1x 1x2 1 y學習好資料歡迎下載這樣就可以把原方程化為一個較簡單的關于 y的整式方程。解這24個關于y的方程，求出y的值，再通過=y,求出x的值。x 12解：設x1=y,那么與于是方程變形為x 1x 1 y2y+ 6 =7.y方程兩邊同乘以y,約去分母，得2y2-7y+6=03 解這個方程，得 yi=2, y2=-.當y=2時，M3

8、=2,去分母，整理得x 1x2-2x-1=02-8 . x= = 1 二、22c2當y=3時，=3,去分母，整理得2 x 122x2-3x-1=0 x=檢驗：把x=1±V2, x= 017分別代入原方程的分母，各4分母都不等于0,所以它們都是原方程的根。原方程的根是：.、匚.匚x1=1 +、2 , x2=1 一 , 2學習好資料 歡迎下載X3 =3 -.174x4=3 - . 174+x2x2 -1新方程 y2-5y-6=0.y+ 1 =-2y設 x2+4x=y*4y- 二 2y 1或設 x2+4x+1=y*y- 4 =3y師：通過本例可引導學生討論，并歸納用換元法解分式方程的教師小

9、結：在解分式方程時，首先應從整體上去觀察、分析方程的特點, 然后確定解題的方案。如果是一個較復雜的方程，而方程中的分 式又有一定特點，那么就可以用設輔助元的方法，把它轉化為一 個簡單的方程，再解這個方程，這種方法在以前已學過，稱為換 元法。換元法是數學中常用的方法之一，它具有化難為易，化繁 為簡之效。練習：通過題組練習，深化換元思想方法。*）2 -令-6皿=一2;公24x +4x-二 2 .x 4x 1（學生口答，教師板書）解：設元轉化設旦二y x -1、2x2 -1設1 二 y步驟.觀察、分析方程的特點，探索換元的途徑;學習好資料歡迎下載設輔助未知數；用輔助未知數的代數式表示原方程中含有未知

10、數的式子， 把原方程化為只含有輔助未知數的方程；解含有輔助未知數的方程，求出輔助未知數的值；把輔助未知數的值代入原設輔助未知數的方程，求出原未 知數的值；驗根，并作答。師：小結在用換元法時，應根據給出的方程特點，設輔助元。有關換 元的應用，在下節(jié)課和后面學習中還要進步深入研究。歸納結論本課主要研究如何解可化為一元二次方程的分式方程。1、解分式方程的實質是一個轉化過程，體現了化未知為已知 的數學思想方法。(1) 一般的分式方程可以直接通過去分母轉化成一元一次方 程或一元二次方程(出示投影)(2)某些較復雜的并有一定特點的分式方程可以利用換元法 先轉化成一個較為簡單的方程，再解方程(出示投影)學習

11、好資料 歡迎下載整式方程（3）有理方程，元一次方程 元二次方程 轉化元高次方程轉去分母化（2）換元2、轉化的關鍵：一是求出分式方程中各分母的最簡公分母, 化分式方程為整式方程；二是根據分式方程自身的“式結構”特 點巧妙換元，實施轉化策略。3、由分式方程轉化為整式方程，可能產生增根，故必須檢驗, 注意檢驗的方法?？傊?，數學的學習過程就是一個不斷地把尚待解決的問題轉 化為已經解決的問題，把一個復雜的問題，轉化為一個比較簡單 的問題，從而使所要研究的問題得到解決。練習反饋1、回歸“情境引入”，對“問題”作出完整的解答，為下節(jié) 課“可化為一元二次方程的分式方程（二）“打下伏筆”。2、學生板演：課本P4

12、9,練習1, 2;課本P50, A組1,；評價小結1、評價：解分式方程的思想；解分式方程為什么會產生增根。2、延伸：m為何值時,用去分母的方法解關于x的方程 4 = 工 -xx 1 x 1會產生增根?學習好資料 歡迎下載解：將方程兩邊同乘以(x+1),得m=15-x(x+1)由于解方程產生增根,而且增根必定使x+1=0,所以增根就是x=-1由于增根是由方程解得的，所以增根 x=-1應滿足方程 把x=-1代入方程，得 m=15.當m=15時，原方程會產生增根.說明：解分式方程如果產生增根，這個增根一定使各分式的最簡 公分母為0;當m=15時，解本例中方程會產生增根 x=-1,但同時，本 例中方程

13、也有一個根為 x=0,因此，分式方程有增根并不能說明 分式方程沒有實數根.布置作業(yè)：課本P50題A組：2、3本教案設計理念：讓學生積極參與和有效參與教學活動參與有兩個難度：積極參與和有效參與。積極參與是個情感 問題，有效參與是個認知問題。教學過程既是認知過程，又是情 感過程，在這個過程中，認知與情感相伴相隨，相輔相成。因此 說，積極參與和有效參與二者缺一不可。一、積極參與是學生自主學習的前提積極參與是在培養(yǎng)學生良好的情感，態(tài)度與人際關系智力。學習好資料歡迎下載學生從情感上愿意不愿意參與數學，可以說是衡量自主學習的標 準。從情感上愿意學習就是積極學習，積極的情緒狀態(tài)下學習效 果最佳。因此，積極參

14、與是學生自主學習的前提。積極參與有三 種表現：1、情緒飽滿 學生的參與應該是積極的、活躍的，主動的, 而不是被迫的參與。學生在課堂教學中的這種積極的情緒狀態(tài)主 要表現為濃厚的學習興趣與高昂的學習熱情。本課例的問題引入 中給出學生最為熟悉的生活事實，讓學生用原有的知識去探求解 決，學生主動參與成為可能。在復習舊知的題組中，給出了 “可 化為一元一次方程的分式方程”和“一元二次方程”的解法，后 面緊接著提供了 “可化為一元二次方程的分式方程”的解決，設 計成“轉化”與“解決” 一脈相承，引發(fā)了學生探求新知的欲望， 使學生的主動、積極的參與成為現實。教師又引導學生探求“可 化為一元一次方程的分式方程

15、”與“可化為一元二次方程的分式 方程”的解法又何異同，這樣的設計使學生的自主性得到充分的 發(fā)揮，整個的學習過程是學生在情緒論飽滿的狀態(tài)下，自我確定 目標，自已尋找方法，主動學習的過程。因此使學生情緒飽滿的 學習是保證自主學習很重要的一個因素。2、交往互動要讓學生積極參與，就應該為學生提供更廣闊的交往空間，使學生在主動的交往中獲得知識和體驗，這種交 往應該是多向式、交互式的，既有師生的交往，又是生生的交往。 這種師生與生生間的多向交往既能滿足學生的求知欲，又能發(fā)揮 學生的主觀能動性，還能提高學生的智力活動水平。這些理念正 是“激思導探合作教學法”所要提倡的使學生在合作與交往的氛 圍中發(fā)展自已，成

16、長自已。教者在激發(fā)學生每用一種方法去解分 式方程時，都要求學生反思解題的方法步驟，反思解題思想策略， 在這些過程中，首先是引導學生組內交流，然后是同桌交流，以學習好資料歡迎下載及不定向交流，給學生提供了自主的空間，營造了交往互動的氛 圍，培養(yǎng)了在合作之中求競爭的意識。3、參與面廣 絕大多數學生都能參與數學，而不是少數學 生，這一點非常重要。素質教育強調面向全體，如果課堂上只有 少數學生參與，那就不是素質教育。本課例在復習舊知中要求學 生解的5個方程，都是學生熟悉的，現有能力能夠達到的。因此, 學生的參與是全面的；在探求分式方程的解法時，教者事先設計 出了四個分式方程，經轉化后都可以變?yōu)椤皬土暸f

17、知”的四個一 元二次方程，靈活而巧妙，獨具匠心，別有一番風味，學生在探 求分式方程的解法的過程中，明顯地感到“數學學習過程往往就 是不斷地把一個尚待解決的問題轉化為已經解決的問題，把一個 復雜的問題轉化為一個比較簡單的問題，從而使所要研究的問題 得到解決。”這樣的過程，每個學生都能探索轉化，都有發(fā)表自已 “見解”的機會，相互間又有交流自已“見解”的機會。因此，學生參與教學活動的面較廣。二、有效參與是學生自主學習的保證有效參與是在開發(fā)學生智力，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力和實踐能力。 有效參與首先是思維的參與，思維活動是認知的核心，思維的真正參與，就能開發(fā)智力，創(chuàng)新能力也能培養(yǎng)出來，離開學生 的參與，不可能

18、有真正的學習效果。因此說，有效參與是學生自 主學習的保證。1、擁有更多的獨立學習時間 獨立學習的時間就是學生自由 支配的時間，這種可由學生自由支配的時間，對學生的發(fā)展是非 常重要的。自由支配的時間是學生主體參與的必要條件，也是個 性發(fā)展的必要條件。在課堂學習中，教師要千方百計地讓每一個 學生有更多的時間，把自由支配的時間還給學生，本課例要求學學習好資料歡迎下載生體驗”在解分式方程中為何要突出“檢驗”這一解題環(huán)節(jié)？這個問題中，教者給予學生的時間是 3分鐘，就是讓學生有足夠 的時間去反思解題過程中出現“增根”的環(huán)節(jié)，為學生的有效參 與提供了時間保證。2、思維活躍起來 這是學生有效參與的關鍵所在。在

19、學習中 能夠動腦思考，積極探求，深入鉆研，思維才能得到啟迪，智力 才能得到開發(fā)，能力才能得到提高和培養(yǎng)。否則學生的學習不會 有真正的收獲。本課例中“換元法”教學的設計，先讓學生用“去 分母”去求解，學生思維受阻，那么就必須調整思維方式和角度， 使學生的思維更加活躍，情緒處于亢奮狀態(tài)。從這里可以看出， 有效參與是教學的關鍵，只有學生有效參與時，學生的思維才能 活躍起來，自主學習才能實現。3、獲得學習策略 學習策略的獲得是有效參與的重要方面， 學生掌握了學習策略就是學會學習。本課例教師通過引導探索， 讓學生會用去分母法和換元法解分式方程，這個過程就是學習策 略中的類比、分析、綜合等思維策略的綜合運用。4、表現機會充分 表現是社會人發(fā)展的途徑之一。學生在校 學習的過程實際上是個體社會化的過程，而表現則是個人實現社 會化臺階。課堂不應該僅僅是教師展現個人才華的舞臺，更重要 的應該是學生表現的空間，教師要把“精彩”讓給學生。本課例 中解分式方程的兩種方法的探求，不是教師把結論拋給學生，而 是師生探求，得到兩解法，讓學生有感受到發(fā)現知識的成功喜悅， 也充分表現了學生的主體參與。5、創(chuàng)新素質得到培養(yǎng) 素質教育要以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和 實踐能力為重點，有效參與要求在每節(jié)