06離散型隨機(jī)變量的均值

1、2. 3離散型隨機(jī)變量的均值與方差2. 3. 1離散型隨機(jī)變量的均值教案目標(biāo)：知識(shí)與技能：了解離散型隨機(jī)變量的 均值或期望的意義，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望.過程與方法：理解公式"E<aE +b) =aEE +b",以及“若 七b B<n,p),貝U EE =np”.能熟 練地應(yīng)用它們求相應(yīng)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：承前啟后，感悟數(shù)學(xué)與生活的和諧之美，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化功能與人文價(jià)值。教案重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的 均值或期望的概念教案難點(diǎn)：根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望授課類型：新授課課時(shí)安排：4課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)

2、物投影儀教案過程：一、復(fù)習(xí)引入：1 .隨機(jī)變量：如果隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量隨機(jī)變量常用希臘字母 E、Y等表示2 .離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量3 .連續(xù)型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量4 .離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果；但是離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定次序一一列出，而連續(xù)性隨機(jī)變量的結(jié)果不可以列出若回是隨機(jī)變量，I 一 是常數(shù)，則21也是隨機(jī)變量 并且不

3、改變其屬性 離散 型、連續(xù)型)5 .分布列：設(shè)離散型隨機(jī)變量 已可能取得值為xi, X2,，X3,E取每一個(gè)值Xi <i =1, 2,)的概率為 I ,則稱表X1X2PPiP2XiP為隨機(jī)變量E的概率分布，簡稱 E的分布列6 .分布列的兩個(gè)性質(zhì)：P>0, i=1, 2,；(2) Pi+R+-=1.7 .離散型隨機(jī)變量的二項(xiàng)分布：在一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中，某事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生，在n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中這個(gè)事件發(fā)生的次數(shù)E是一個(gè)隨機(jī)變量.如果在一次實(shí)驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是 P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是2Mz , <k= 0,1,2,，n,)于是得到隨機(jī)變量E

4、的概率分布如下:01P I TX X I稱這樣的隨機(jī)變量E服從二項(xiàng)分布，記作ERn, p>,其中n, p為參數(shù)，并記x 1=b(k; n, p>.8 .離散型隨機(jī)變量的幾何分布：在獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)，所作實(shí)驗(yàn)的次數(shù)E也是一個(gè)正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量.“ 閆”表示在第 k次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生.如果把k次實(shí)驗(yàn)時(shí)事件 A發(fā)生記為引、事件 A不發(fā)生記為 兇，P(日 >=p, P( ±>=q(q=1-p> ,那么<k<k =0,1,2,，后J ).于是得到隨機(jī)變量E的概率分布如下：E 123- k P 回| Ld 凹 山 稱這樣

5、的隨機(jī)變量E服從幾何分布記作g(k, p>= 回 ,其中k= 0,1,2,， 心.二、講解新課：根據(jù)已知隨機(jī)變量的分布列，我們可以方便的得出隨機(jī)變量的某些制定的概率，但分布列的用途遠(yuǎn)不止于此，例如：已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)E的分布列如下E 45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在n次射擊之前，可以根據(jù)這個(gè)分布列估計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù).這就是我們今天要學(xué)習(xí)的離散型隨機(jī)變量的均值或期望根據(jù)射手射擊所得環(huán)數(shù)E的分布列，我們可以估計(jì)，在 n次射擊中，預(yù)計(jì)大約有1 次得4環(huán)；次得5環(huán);.一三三_I次得10環(huán).故在n次射擊的總環(huán)數(shù)大約為從而，預(yù)計(jì)n次射擊的平均環(huán)數(shù)約

6、為I X | 1 |I 這是一個(gè)由射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列得到的，只與射擊環(huán)數(shù)的可能取值及其相應(yīng)的 概率有關(guān)的常數(shù)，它反映了射手射擊的平均水平.對(duì)于任一射手，若已知其射擊所得環(huán)數(shù)E的分布列，即已知各個(gè)g <i=0, 1,2,，10),我們可以同樣預(yù)計(jì)他任意n次射擊的平均環(huán)數(shù)：1.均值或數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量 E的概率分布為X1X2xnPpiP2Pn則稱 T 耳 目目為E的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望.2 .均值或數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平3 .平均數(shù)、均值:一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量E的概率分布中，令閆 K 3 ,則有回叵 臼

7、 , jsl 回 國叵 ,所以E的數(shù)學(xué)期望 又稱為平均數(shù)、均值4 .均值或期望的一個(gè)性質(zhì)：若(a、b是常數(shù)，E是隨機(jī)變量，則 刀也是隨機(jī)變量，它們的分布列為X1X2xn刀日日回PP1P2Pn于是叵 I X I X I1 = =6 CEO > CEO 回 臼 >由此，我們得到了期望的一個(gè)性質(zhì)5 .若 E 曰 B<n,p),則 EE =np證明如下：國 0 x E3 +ix IT +2x I T +.+ k x T + nx又2d故 若士B(n, p>,則三| np.三、講解范例：1分，罰不中得。分，已知他命中的概率為例1.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中得0.7,求他罰球一

8、次得分目的期望解：因?yàn)?例2.一次單元測驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為 0.9,學(xué)生乙則在測驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測驗(yàn)中的成績的期望解：設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測驗(yàn)中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是國，則可B<20,0.9)由于答對(duì)每題得 5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測驗(yàn)中的成績分別是5W和5習(xí)所以,他們?cè)跍y驗(yàn)中的成績的期望分別是：例3.根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為 0. 01.該地區(qū)某工

9、地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60 000元，遇到小洪水時(shí)要損失 10000元.為保護(hù)設(shè)備，有以下 3種方案：方案1:運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為 3 800元.方案2:建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2 000元.但圍墻只能防小洪水.方案3:不采取措施，希望不發(fā)生洪水.試比較哪一種方案好.解：用X1、*2和X3分別表示三種方案的損失.采用第1種方案，無論有無洪水，都損失 3 800元，即X1 = 3800.采用第2種方案，遇到大洪水時(shí)，損失 2 000 + 60 000=62 000元；沒有大洪水時(shí)，損 失2 000元，即同樣，采用第3種方案，有日于是，EXi= 3 800 ,EX2= 62 000 X

10、P (X2 = 62 000 > + 2 00000 X P (X2 = 2 000 >=62000 X 0. 01 + 2000 X (1-0.01> = 2 600 , EX3 = 60000 X P (X3 = 60000> + 10 000 X P(X3 =10 000 > + 0X P (X3 =0> =60 000 X 0.01 + 10000 X 0.25=3100 .采取方案2的平均損失最小，所以可以選擇方案2.值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“平均損失”而得出的.一般地，我們可以這樣來理解“平均損失”：假設(shè)問題中的氣象情況多次發(fā)生，那么采用

11、方案2將會(huì)使損失減到最小.由于洪水是否發(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對(duì)于個(gè)別的一次決策，采 用方案2也不一定是最好的.例4.隨機(jī)拋擲一枚骰子，求所得骰子點(diǎn)數(shù)的期望解：匚三三二,I=3.5例5.有一批數(shù)量很大的產(chǎn)品，其次品率是 15%,對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，則抽查終止，否則繼續(xù)抽查，直到抽出次品為止，但抽查次數(shù)不超過10次求抽查次數(shù)目的期望結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字)解：抽查次數(shù)2J取1叵10的整數(shù)，從這批數(shù)量很大的產(chǎn)品中抽出1件檢查的實(shí)驗(yàn)可以認(rèn)為是彼此獨(dú)立的，取出次品的概率是0.15,取出正品的概率是0.85,前四次取出正品而第田次<可=1, 2,，10)取出

12、次品的概率：三三一<<回=1, 2,，10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：1 J 由此可得4的概率分布如下：JJ12345678910W 0.150.1275 0.1084 0.0920.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316根據(jù)以上的概率分布，可得 21的期望E的數(shù)學(xué)期望.例6.隨機(jī)的拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)解：拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù) E的概率分布為E123456PRR彳R 3所以產(chǎn)I 1X 彳 + 2x+3X +4x+5x +6X *= (1+2+3+ 4+5 + 6>X * =3.5.拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù) E的數(shù)學(xué)期望，

13、就是 E的所有可能取值的平均值.例7.某城市出租汽車的起步價(jià)為10元，行駛路程不超出4km時(shí)租車費(fèi)為10元，若行駛路程超出4km,則按每超出lkm力叫攵2元計(jì)費(fèi)（超出不足lkm的部分按lkm計(jì) .從這個(gè)城市的民航機(jī)場到某賓館的路程為15km.某司機(jī)經(jīng)常駕車在機(jī)場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時(shí)間要轉(zhuǎn)換成行車路程（這個(gè)城市規(guī)定，每停車 5分鐘按lkm路程1t費(fèi) ,這個(gè)司機(jī)一次接送旅客的行車路程E是一個(gè)隨機(jī)變量.設(shè)他所收租車費(fèi)為Y（I 求租車費(fèi) 刀關(guān)于行車路程E的關(guān)系式；（n 若隨機(jī)變量 E的分布列為15161718P0.10.50.30.1求所收租車費(fèi)刀的數(shù)學(xué)期望.（m 已

14、知某旅客實(shí)付租車費(fèi)38元，而出租汽車實(shí)際行駛了15km,問出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多幾分鐘？解：（I 依題意得于2（34十10,即2汁2;山 2E汁2=34.8 < 元)故所收租車費(fèi)Y的數(shù)學(xué)期望為34. 8元.（出 由 38=2 汁2,得 寧18, 5孑（18-15=15所以出租車在途中因故停車?yán)塾?jì)最多15分鐘四、課堂練習(xí)：1. 口袋中有5只球，編號(hào)為1, 2, 3, 4, 5,從中任取3球，以目表示取出球的最大號(hào)碼，則回）A. 4; B. 5; C. 4.5; D. 4.75答案：C2.籃球運(yùn)動(dòng)員在比賽中每次罰球命中的1分，罰不中得0分.已知某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.7 ,求他罰球

15、1次的得分E的數(shù)學(xué)期望；他罰球2次的得分Y的數(shù)學(xué)期望；他罰球3次的得分E的數(shù)學(xué)期望.解：因?yàn)?1, I 1,所以目 1 X X + 0 x I Y的概率分布為Y 012P 囚I I I回所以叵0X 曰 +1X 12d +2X 臼=1.4 .E的概率分布為0123P1 X1所以叵0X 皿 +1X 12sl +2X 匡=2.1.3.設(shè)有m升水，其中含有大腸桿菌n個(gè).今取水1升進(jìn)行化驗(yàn)，設(shè)其中含有大腸桿菌的個(gè)數(shù)為E ,求E的數(shù)學(xué)期望.分析：任取1升水，此升水中含一個(gè)大腸桿菌的概率是m ,事件“ E=k”發(fā)生，即n個(gè)大腸桿菌中恰有 k個(gè)在此升水中，由n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件 A<在此升水中含一個(gè)大

16、腸 桿菌)恰好發(fā)生 k次的概率計(jì)算方法可求出P( E =k>,進(jìn)而可求EE .解：記事件A： “在所取的1升水中含一個(gè)大腸桿菌”，則 P(A>=".P( E =k>=R(k>=C習(xí) >k(1 >n k<k=0,1,2,.，n).EB(n,日，故 EE =nxq=可五、小結(jié)：(1>離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平；(2>求離散型隨機(jī)變量E的期望的基本步驟：理解 E的意義，寫出E可能取的全部值；求E取各個(gè)值的概率，寫出分布列；根據(jù)分布列，由期望的定義求出EE公式E<aE+b) = aEE+b,以及服從二項(xiàng)分布的

17、隨機(jī)變量的期望EE=np六、課后作業(yè)：P64-65練習(xí)1,2,3,4 P69 A組1,2,31 .一袋子里裝有大小相同的3個(gè)紅球和兩個(gè)黃球，從中同時(shí)取出2個(gè)，則其中含紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望是用數(shù)字作答)解：令取取黃球個(gè)數(shù) (=0、1、2>則的要布列為旭012Paaa于是 E< H ) =0X ® +1 X 乙 +2 X ® =0.8故知紅球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.22.袋中有4個(gè)黑球、3個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中任取 2個(gè)球，每取到一個(gè)黑球記 0分,每取到一個(gè)白球記 1分，每取到一個(gè)紅球記 2分，用勺表示得分?jǐn)?shù)求4的概率分布列求4的數(shù)學(xué)期望解：依題意 日的取值為0、1、2、

18、3、4國=0時(shí)，取2黑 p( = =0>= 國=1時(shí)，取1黑1白 p( 國=1>=乒1回=2時(shí)，取2白或1紅1黑p( 4 =2>= 因+ 臼回=3時(shí)，取1白1紅，概率p( 4 =3>=3國=4時(shí)，取2紅，概率p( =4>= S+ +1X口 +2X q +3X m +4X R目01234pX0分布列為<2)期望 EH =03.學(xué)校新進(jìn)了三臺(tái)投影儀用于多媒體教案，為保證設(shè)備正常工作，事先進(jìn)行獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，已知各設(shè)備產(chǎn)生故障的概率分別為口、p2、p3,求實(shí)驗(yàn)中三臺(tái)投影儀產(chǎn)生故障的數(shù)學(xué)期望解：設(shè)習(xí)表示產(chǎn)生故障的儀器數(shù)，A表示第i臺(tái)儀器出現(xiàn)故障<i=1、2、3)回表示第i臺(tái)儀器不出現(xiàn)故障，則：p( J =1>=p(A1 -回- W >+ p(習(xí) A 2 ->+ p(習(xí)回 A 3>=p1 (1 p2> (1 p3>+ p 2(1 p1> (1 p3>+ p 3(1 p1> (1 p2>=p 1+ p 2+p3 2pp22p2P3 2P3P1 + 3pp2P3p(百=2>=p(A1 - A2 - ± >+ p(A 1 回岡+ p(回 A2 A3>=p 叩2 (1 p3>+ p 1 p3(1 p2>+ p 2P3(1 p1>