八年級(jí)春季班-05-無(wú)理方程和二元二次方程組-教師版

1、八年級(jí)春季班4 / 30無(wú)理方程和二元二次方程及方程組知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊一：無(wú)理方程知識(shí)精講1、方程中含有根式，且被開(kāi)方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無(wú)理方程.有理方程和無(wú)理方程統(tǒng)稱(chēng)為初等代數(shù)方程，簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)方程.2.解無(wú)理方程的一般步驟是去根號(hào)，方法是兩邊同時(shí)平方，注意要檢驗(yàn)增根的情況.檢驗(yàn)方程的增根從兩方而出發(fā)：(1) 根號(hào)有意義的條件；(2) 方程左右是否相等.患例題解析【例1】下列方程是哪些是無(wú)理方程？(1) y/x + X = 0 ；(2)4- 1 4-2 = 0;(3)4- 2x - >/3 = 0 ;(4) = 3：(5) - = 2；(6) =二二0.x-1 1-xV5

2、x【難度】【答案】(1)> (2), (4).【解析】方程中含有根式，且被開(kāi)方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程叫做無(wú)理方程.根據(jù)無(wú)理方程的概念，(1),(2), (4)是無(wú)理方程.(3), (5), (6)中被開(kāi)方數(shù)中沒(méi)有未 知數(shù)，不是無(wú)理方程.其中(3)是一元二次方程，是整式方程：(5), (6)都是分式方程. 【總結(jié)】考察無(wú)理方程的基本概念.【例2】判定下列方程是否有實(shí)數(shù)根：（1） J3y - 4 + J4 - 3y + 3y = 4 ：（2 ） yjzx，-5 = - p 3 （p 為實(shí)數(shù)）.【難度】【答案】（1）有實(shí)數(shù)根：（2）沒(méi)有實(shí)數(shù)根.4【解析】根據(jù)無(wú)理方程有意義的條件，要

3、同時(shí)滿(mǎn)足3，-420和4-3），之。，得到：），= ,4代入原方程，左邊3xg = 4 =右邊，方程成立，所以該方程有實(shí)數(shù)根.（2）中，方程左邊NO,而右邊3«-3,所以，左邊工右邊，故方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.【總結(jié)】考察無(wú)理方程有意義的前提條件與方程的實(shí)數(shù)解的關(guān)系.【例3】將下列無(wú)理方程化成有理方程：yflx2 3x +1 = x:4/ -6.v + >f2x2 3x +1 5 = 0.【難度】【答案】/一3又+1=0；2/2+/ 7 = 0.【解析】方程中只有一個(gè)根號(hào)，左右兩邊同時(shí)平方，得2丁-3x + l = x"整理得：x2-3x + l=0： 方程中根號(hào)里面部分2V

4、-3x與根號(hào)外面部分4/-6x有倍數(shù)關(guān)系，所以設(shè) >/2xr-3x+l = t>0,則4/一6八=2 （產(chǎn)一1）,所以原方程可轉(zhuǎn)化為2（產(chǎn)-1） +，一5 = 0,化簡(jiǎn)整理得：2+f 7 = 0.【總結(jié)】考察解無(wú)理方程的思想，即化無(wú)理方程為有理方程.【例4】解下列無(wú)理方程:；(2)-9=6.（1）（>'-2）7F73 = 0：【難度】【答案】（1） y = 3： （2）笳=3, x,=5.【解析】（1）方程是小 =0,則得 =0,或 =0的形式，所以解（1）方程得丁-2 = 0或正行=0并且還要保證）一320,解得：月=2,必=3,又因?yàn)楫?dāng)y=2時(shí)，爐行沒(méi)意義，所以經(jīng)

5、檢驗(yàn)>'=3是原方程的根.(2)方程只含一個(gè)根號(hào)，所以整理為2x-6 =獷彳，等號(hào)兩邊同時(shí)平方去根號(hào)得： (2x-6)2=x2-9,整理得/_8工 + 15 = 0, (x-3)(x-5) = 0 ,得 x,=3, %=5, 經(jīng)檢驗(yàn)X =3,占=5都是原方程的根.【總結(jié)】考察無(wú)理方程的基本解法，注意不要忘了最后一步檢驗(yàn)所得解是否是增根.【例5】解下列無(wú)理方程：(1) :2x + 4 - Jx + 3 = 1:(2) -3- + 2-&-8=3夜;(3 ) yj5x - 6 - yjlx 3 = j3x 5 .【難度】【答案】(1)玉=6： (2) x,= 10, x2=1

6、6； (3) x = 2.【解析】(1)方程含兩個(gè)根號(hào)，要盡量分散在等號(hào)的兩邊，原方程整理為75717 =，=+1, 等號(hào)兩邊平方得2x + 4 = x + 3 + 2H3 + 1,整理得犬=2齊石，再等號(hào)兩邊平方得 x2 = 4(a4-3),整理得:x2 4x12 = 0從而(x-6)(x + 2) = 0 ,得:內(nèi)=6, x2 = 2 > 經(jīng)檢驗(yàn)內(nèi)=6是原方程的根，a-2 = -2是原方程的增根：(2)原方程整理為后工7 = 77 + 3戶(hù)，等號(hào)兩邊平方得3x+2 = x-8 + 6j2(x-8) + 18, 整理得x-4 = 307F,等號(hào)兩邊再平方得丁-8x + 16 = 9(2

7、x-16),整理得x2 -26x4-160 = 0 ,從而(x 10)(x 16) = 0 ,得：.=10, =16.經(jīng)檢驗(yàn)芭=1。，毛=16都是原方程的根：(3)方程含3個(gè)根號(hào)，通過(guò)觀(guān)察方程先整理為后=在二5 +后二然后等號(hào)兩邊 平方得5%-6 = 2%-3 + 2，(2X-3)(3工二5)+3-5,整理得：1 = >/(2-3)(3%-5),等號(hào)兩7邊平方得 1=(2=-3)(3>-5),整理得( 2)(61-7) = 0,從而內(nèi)=2, x2=-,6經(jīng)檢驗(yàn)x = 2是原方程的根.【總結(jié)】考察含有兩個(gè)根號(hào)或者三個(gè)根號(hào)無(wú)理方程解法，注意最后要驗(yàn)根.【例6】解下列方程：(1) &am

8、p;+9 + &-9 = " + 5：(2) Va2 -x-6 + V2x2 -1 1x+ 15 = a -3 .【難度】【答案】(1)a =4,冬=一4： (2) x=3.【解析】(1)整理得JF-" = 5-正"二？，等號(hào)兩邊平方得jv2 +9-2"(/ + 9)+7 = 25-1()49+72-9 ,整理得，71工痣=54 二9 ,等號(hào)兩邊平方得7/+63 = 25(爐-9),整理得：x2=16,解得：a, =4,毛=-4.經(jīng)檢驗(yàn)凡=4,工="4是原方程的根：(2)方程整理得 J(x-3)(% + 2) + "(2jv-

9、5)(x-3) =x -3 > 因?yàn)榈忍?hào)左邊2 0，所以右邊-3 20，當(dāng)戶(hù)3時(shí)，方程成立，當(dāng)xW3時(shí)，可得"(x + 2) + J(2x-5) =,等號(hào)兩邊平方得 x + 2 + 2j(x + 2)(2x-5) + Zr -5 = x- 3 ,整理得 2j(x + 2)(2x-5) = -2x, 因?yàn)閤 3 20, a>3,所以-2jvy0.而左邊2優(yōu)7+可(2為5)。0 ,所以方程無(wú)解.綜上，原方程的解為戶(hù)3.【總結(jié)】考察含有多個(gè)根號(hào)的無(wú)理方程的解法，注意解完之后進(jìn)行檢驗(yàn).【例7】若方程77+五產(chǎn)=%-2?有一個(gè)根產(chǎn)1,求加的值及方程的其他的根.【難度】【答案】m=0

10、, I為一切非負(fù)數(shù).【解析】把x = l代入原方程，得VTT喬=1-2？，等號(hào)兩邊平方得，1 + 2/=1_癡+ 4/，整理得 nr - 2m = 0 ,從而 z(i - 2) = 0 ,解得：町=0, m2 = 2,經(jīng)檢驗(yàn)? = 0是原方程的根.把帆=0代入原方程J7HF = x 2xO,八年級(jí)春季班整理得J7=x,所以X為一切非負(fù)數(shù).【總結(jié)】考察無(wú)理方程的根的意義，及解無(wú)理方程的方法.【例8】解下列方程：(1) 3x2 + 5a + 2V3x2+5x + 1 = 2 ；礙后j(3)4a2 -6x-6-= 0 i*江源3_10【難度】【答案】（1） n = 0, x, = * ;3【解析】（

11、1）設(shè)/3/+5x + l=r0,則3/+5X=/一1,原方程可轉(zhuǎn)化為/ -1 +力=2,化簡(jiǎn)整理得：/+2-3 = 0,從而（，一l）（f + 3） = 0,因?yàn)椤? 3）0,解得:z = l，即辰+5工+ 1=1,等號(hào)兩邊平方得3/+5x + l = l,解得：x=0.3經(jīng)檢驗(yàn)司=0,覆=-g是原方程的根：（2）原方程可轉(zhuǎn)化為再“后"設(shè)殍”,原方程可轉(zhuǎn)化為- 2x1 = 1,整理得產(chǎn) 2 = 0,從而”-2） + 1） = 0,' +)=4,解得：x = 3.因?yàn)椋ǎ? 1）0解得，=2, 即殍 =2,等號(hào)兩邊得經(jīng)檢驗(yàn)x = 3是原方程的根：(3)原方程可以轉(zhuǎn)化為6

12、9; -x-l)-x>/x2 -x-1 -2x2 =0 因式分解(3立2 -停一1 -2x)(2,工，x- + x) = 0 ,得：3，x2 - 2x = 0,或- x 1 + x = 0 ,當(dāng)342-1-1-2“0時(shí),解此無(wú)理方程得："W，, 二=W經(jīng)檢驗(yàn)x = 小回 是原方程的根:10當(dāng)2&-1+% = 0,解此無(wú)理方程得：為=2, x2=-|經(jīng)檢驗(yàn)x =-2是原方程的根， 3綜上所述原方程的根是：.=_|, & ="產(chǎn).【總結(jié)】考察利用換元法求無(wú)理方程的解，求解后注意進(jìn)行驗(yàn)根.35 / 30【例9】解方程：yfx + yx+2 + 2y/x2 +

13、 2x = 4 - 2x ：【難度】【答案】x = l. 4【解析】因?yàn)樗栽匠炭梢赞D(zhuǎn)化為(-+ 21c + 2x + x + 2) + G + Jx + 2 - 6 = 0 ,可得(V + & + 2/ + (>/7 + + 2) - 6 = 0 ,從而因式分解可得(+ Jx+2 + 3)(>/7 + + 2-2) = 0 » 因?yàn)閥fx + >jY+2 + 3>0 ,可得yfx + Jx + 2 -2 = 0，即 Jx + 2 =2->/x，解此無(wú)理方程可得人=1，4經(jīng)檢驗(yàn)x = L是原方程的根.4【總結(jié)】考察整體換元法解無(wú)理方程，綜合性較

14、大，注意認(rèn)真分析方程的特點(diǎn).【例10】用換元法解無(wú)理方程：43x-2 + -4-3x = -1 (提示：= (a + h)(a2 -ab + b').【難度】【答案】無(wú)實(shí)數(shù)根.【解析】設(shè) #3x - 2 = " ,(4 - 3x = b ,則打 a'+/>'=2, a + b = »又 a' +1> = (a + /?)(«' ah 4- /?2) = (a + 力)(a + b)2 3tib , 所以有 2 = 1 x(I 3ab,得 ab = .即儂-2x必-3x = #3x-2)(4-3x) = 1，得(3

15、x-2)(4 - 3x) = 1,解此方程可得：x = l, 經(jīng)檢驗(yàn)x = l不是原方程的根，故原方程無(wú)實(shí)數(shù)根.【總結(jié)】考察利用換元法解特殊無(wú)理方程，注意對(duì)所求得的根進(jìn)行檢驗(yàn).【例 11】解方程：2/- 15x-j2xBx+1998=-18.【難度】【答案】M = 9, .% =.-2【解析】)設(shè)j2A,-15x + 1998=f>0,則2¥2-15工=產(chǎn)一1998,原方程可轉(zhuǎn)化為/_1998t = t8,化簡(jiǎn)整理得：r-r-1980 = 0,從而(r -45)。+ 44) = 0 ,因?yàn)椤? 44)>0，解得：f = 45,即 J2v2-15x+1998=45,等號(hào)兩邊

16、平方得2r?-15x-27 = 0,因式分解得(x 9)(2x + 3) = 0,解得：x,=9, x2=-|, 經(jīng)檢驗(yàn) =9,=-5是原方程的根.【總結(jié)】考察利用換元法解無(wú)理方程，注意對(duì)方法的提煉.【例12】設(shè)實(shí)數(shù)工、八z滿(mǎn)足x+y + z = 4(6一5 +,求X、y > z的值.【難度】【答案】x = 9, y = 8, z = 7 .【解析】原方程可轉(zhuǎn)化為(。- 5 - 4lx - 5+4) + (y - 4 - 4 Jy - 4 + 4) +(z 3 - 4dz - 3 + 4) = 0 ,即(mT-zT+i/rq-z)""一2): = 0,得 Jx-5 =

17、 2, Jy 4 = 2,4z 3 = 2 Jy-4 = 2,表，-3 = 2解得：x = 9, y = 8, z = 7,經(jīng)檢驗(yàn)x = 9, y = 8, z = 7滿(mǎn)足原方程.【總結(jié)】考察幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零的基本模型，注意根據(jù)題目中的條件先進(jìn)行配方.模塊二：二元二次方程及方程組）知識(shí)精講1、僅含有兩個(gè)未知數(shù)，各方程是整式方程，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2.像這樣的方 程組叫做二元二次方程組.2、能使二元二次方程左右兩邊的值相等的一對(duì)未知數(shù)的值，叫做二元二次方程的解.3、方程組中所含各方程的公共解叫做這個(gè)方程組的解.例題解析【例13】下列方程是二元二次方程的有（）個(gè)-4 + y2 = 1

18、 ; 7/一51=1：）3-5小=0：la2y-5y = .廣A. 1 B. 2C. 3D. 4【難度】【答案】B【解析】是分式方程：，是二元二次方程.是二元三次方程.【例14】下列方程組中，不是二元二次方程組的是（【總結(jié)】考察二元二次方程的基本概念.A.C.X + y = 8xy = 3【難度】【答案】D【解析】。是無(wú)理方程，二元二次方程是有理方程.【總結(jié)】考察二元二次方程組的基本概念.【例15解下列方程組:x y + 5 = 0 4,)(2)x2 + 2xy +)二=1八4/=8(4)丁-4外 +3y2=0x2 + y2 =10【難度】【答案】(1)x =-20 x2 = 153=-15卜

19、=2°(2)N = 23=-1巧=一 2=125_7一 5(3)網(wǎng)=47i=3& =3»=4“7>3 = - 3乙=-3乂 =7(4)x2 = -3)2=T【解析】(1)由x y + 5 = 0,可得y = x + 5,代入式得V+(x + 5)2 =625 ,整理得a2+5x-3OO = O,解得：玉=-20,%=15，分另 ij 代入 x - y + 5 = 0 得 x =T5, y2 = 20 ,所以原方程組的解為、內(nèi)=-20 x2 = 15 yx =-15 y2 =20尤+ V = 1(2)由可得(x+y)2 = l,所以原方程組可分解為2或，T +

20、y = - 1.V + 4 y. = 8分別解這兩個(gè)方程組可得原方程組的解為：27 >4="7(3)式可轉(zhuǎn)化為6+獷-2冷，= 25,把冷，=12整體代入，得(x+»=49.所以原方程組可分解為所12或,X + y = 7:；二兩個(gè)方程組，分別解這兩個(gè)方程組可得原方程組的解為：% =4=3a-2 = 3»=44 =-4% = - 3士 = -3.乂 =7Y _ 3v = 0(4)式可分解為(x-3y)(x-v) = 0,所以原方程組可轉(zhuǎn)化為或 廠(chǎng) + y2 =10x - y = 0,r + y2 = io分別解這兩個(gè)方程組可得原方程組的解為：.q = -邪3

21、=-而8 =" = "lx2 + y2 = 625【例16解下列方程組:(1)x- y = 4x2 -y2 =4丁 + 2xy + 廣=4(3) x-) 廣 +xy +)產(chǎn)=43【難度】【答案】(1)xi = 1j = 0>2 =-53 83(2)&=4/=一2丫3=一%=7 乂 =2(3)X =6J=1而-V43.L = ->/43 74=43 .Q【解析】（1）由得x =）葉1,代入整理得3/+8y = 0,解得：¥,=0, y2=-J代入、= y + i,得：x=i, ±=-g,所以原方程組的解為% = 1Vi = 0先=一53

22、83(2)由因式分解得Cv - 3y)(x + 2y) = 0,由得(工+=4 ,可知x + y = 2或x + y = -2 ,所以原方程組可以轉(zhuǎn)化為x-3y = 0 卜-3y = 0 x+y = 2 'x+y = -2'x + 2y = 0 x+y = 2.¥ + 2 y = 0g y = _2四個(gè)方程組，分別解這四個(gè)方程組得原方程組的解為：3X' = 21,二5W=4/=-25=一丹=一32 £25=一4>4 = 2 ：(3)由可得可 + y)(十一y) = 5(x+y),即(x+y)(x-y-5) = 0,fx+ y = 0 所以原方程

23、組可以轉(zhuǎn)化為）. ，或 r + xy + y- = 43x - y - 5 = 0兩個(gè)方程'分別解這兩個(gè)方程組得原方程組的解為：x1 =63 =1x2 =-l»二-6【總結(jié)】考察二元二次方程組的解法，注意代入法和因式分解法的靈活運(yùn)用.【例若方程組二.二?有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.【難度】【答案竺亞.55【解析】由得x = 3y + k,代入式得(3»，+爐+(3)，+)，+獷=1,整理得21./+7妙+ &2-1 = 0,因?yàn)榉匠探M有實(shí)數(shù)解,所以420,即壯=(7&)2-4、2以(犬一1)20,得頭2 412,即27155【總結(jié)】考察二元二次方程

24、組有實(shí)數(shù)解的應(yīng)用，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程有實(shí)數(shù)解的問(wèn)題.【例18若二元二次方程組卜'一廠(chǎng)"1有唯一解，求實(shí)數(shù)上的值及方程組的解.)，=%(工-2) + 1【難度】=5【答案】k=±L 八，<=04>'»=I 3【解析】把)，= &(x -2) + 1代入/一33=1中，得/ 一N。_2) +1=1,整理得(1一女2卜2一2卜一泉2卜一2 +軟一軟2=0,因?yàn)榉匠探M有唯一解，故可分為兩種情況：當(dāng)1-公=0時(shí)，即A=±1,此時(shí)方程為一元一次方程，有唯一解，當(dāng)女=1 時(shí)，代入-2l-2xx-2 + 4xl-4x=0,得：為=

25、1,凹=0：當(dāng)& = _時(shí)，代入 _2_2(T)x_2 + 4x(T)_4x(T)2=0,得：W=|,為當(dāng) l-k2Ho時(shí)，方程有唯一解，即 = (),即 A = 4信一狹2丫 -4x(1 12)x(4。-4公 -2) = 0,整理得弘2-軟+ 2 = 0,此方程無(wú)實(shí)數(shù)根.5f V =1“2=4綜上 k = ±1 < 1, 1.>=04L 八V =一1/2 3【總結(jié)】考察二元二次方程組有唯一解的應(yīng)用，注意從多個(gè)角度進(jìn)行分類(lèi)討論.【例19】解方程組:3a2 - xy-4 V2 - 3x + 4v =（1）< ,； jc + 曠=25【難度】. 2 , .a;

26、= 44 x【答案】/k / X=3 %=-3 >，2x ="! %.> = 1" - §（2）1,2,，a 1獷;o【解析】（1）由可因式分解得（3x-從而得（3Iy）（x + y_ 1） = 0,（2） P-3xy-4r=ox2 + 4xy + 4y2 = 13=4卜4=_33=-3,卜=4 ；2， 1卜-4y）（A + y）-（3x-4y） = 0 ,3x 4y = 0所以原方程組可以轉(zhuǎn)化為、；廠(chǎng) + V = 25分別解這兩個(gè)方程組得原方程組的解為<2)由可因式分解為(x+y)(x-4y).所以原方程組可以轉(zhuǎn)化為"+:=°

27、;., , x + 2y = 分別解這四個(gè)方程組可得原方程組解為【總結(jié)】考察復(fù)雜二元二次方程組的解法，, 或兩個(gè)方程組，k + k=25xx =4 ix2 =-4 卜3 =4伍=-3 j/=3,（力=_3, ），3=3, 乂=4=0,由得（x + 2»=l,x + y = 0 卜- 4y = 0 卜一 4 y = 0x + 2y = -l 1x+2y = l ' 1x + 2y = "l2 f2X=T 卜2=1A' - 3： > ，« >v（ =1 y）=T111J>S = ->4=-O I6注意方法的靈活運(yùn)用.【例20】解

28、方程組:(1)(x2+3x)(x+y) = 40x2 +4x + y = 14(2)【難度】【答案】= 3乂 =2Xj =5 x2 = 1x3 = 2J=l' 1為=5' %=3/+3x)(x+y) = 40【解析】(1)原方程組可以轉(zhuǎn)化為:，設(shè)/+3x = /，x + y = ，(x2+3x) + (x+v) = 14則原方程組可轉(zhuǎn)化為m由韋達(dá)定理，設(shè)以小為兩根的方程為產(chǎn)田+4。=。,因式分解得(-10)("4) = 0,解得：10, ，所以叫=109 = 4=4一 小，即， %=10¥+3x = 10 3 或，"+y = 4x2+3x = 4x

29、+y = 10再分別解這兩個(gè)方程組得原方程組的解為：Xi =-5J = 9"LT,3=1"X4 = 1"9：(2)原方程組可以轉(zhuǎn)化為V +(X+.V)= 11,所以設(shè)以“和、+y為兩個(gè)實(shí)數(shù)根的一元二次 Xy.(X+y) = 30方程為J 11? + 30 = 0,從而因式分解為(/ 一5)(1-6) = 0 ,得：見(jiàn)=5, m2 = 6 .即尸5或尸6用同樣方法解方程組尸5得： x+ y = 6 x + y = 51x+y = 6=5= 1同理解方程組-' = 6得=；=：，1x+y = 5肆=31乂=2X = 5 Xf = 1= 2 x< = 3綜

30、上，原方程組的解為：I. V， ，1>I = 1 lx =5 3=3 y4=2【總結(jié)】考察利用整體換元法求二元二次方程組的解，注意對(duì)方法的歸納總結(jié).【例21】設(shè)方程組卜= °的解是f f ,求_!_ +工和y,的值. 卜=2工,-1ly = y = y2 a- x2【難度】【答案】1 + 1 = 3；力=一1.內(nèi) x2【解析】把方程組中y = 2x l代入/一、一），= 0中，得/一1一（2'-1） = 0,整理得，V-3x + l = 0,由韋達(dá)定理知玉+%=3,不毛=1,11 X + ¥3所以上 +上= L_ = ； = 3, y 乂 =（2a;_1）（2

31、k_1） = 4ax,_2（X1+m） + 1 = _1.% x2 n - x2 1【總結(jié)】考察二元二次方程組的應(yīng)用，利用方程組的解再結(jié)合韋達(dá)定理求出相應(yīng)的值.【例22解下列方程組:(1)2x2 + 5x)?- 2y2 = 53x2 -xy6y2 =8(2)2x2 -8y2 +3x - y + 8 = 03x2 -6.-I2y2 +4.l2)，+ 13 = 0【難度】【答案】（1）$ = 1J=1X2 =-l»二T>3 =23 V220叵40>4 =23耳：40% = 13y1 二tv2 = 172= 1【解析】（1）由xg-x5 得8><（2/+5葉一2y2

32、）-5x（3/-沖+ 6y2）= 5x8-8x5,整理得丁+45個(gè)一46y2 =0 ,因式分解得：（x-y）（x + 46y） = 0,解得：X=y, x2 = -46y ：當(dāng)芭=），時(shí)，代入，2/+5/-2/=5,解得:凹=1, %=T，從而得方程組的解為：M =13=1% = -12=7同理當(dāng)& =-46,v時(shí)，解得方程組的解為:綜上，原方程組的解為23>/2 X.二-2023" 20£ 4072 廳訪(fǎng)Xj = 1>i =1（2）觀(guān)察到方程組中前面三個(gè)二次項(xiàng)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，所以x3x2,得：3x（2.r-4Ay-8y2+3A-y + 8）-2x（3

33、x2+4x-2y+ 13） = 0,整理得：x+y = 2,代入，得2x（2-），一4x（2-y）xy-8y2 + 3x（2-y）-y + 8 = 0 ,整理得：，/+10丁-11=0,解得：y,=-ll. %=1，所以A=13,馬=1，綜上原方程組的解為： 一，一 一 出=71 12 = 1【總結(jié)】考察特殊二元二次方程組的解法，注意對(duì)兩種方法的總結(jié)以及所適應(yīng)的方程的特征的 歸納.【難度】-5 + V17【答案】，4 _=115-3717收4【解析】觀(guān)察兩個(gè)方程，+得（X- -得/一）+4（x+2y）-4 :與 2'（刀+爐 -4（x + 2y） + 4 = 解得 y=r, y2 =

34、-3x ：把 y整理得：3x + 3 = O,得A=-l-5-V17,卜=4 .15 + 3V173= 4卜» -2(x + 2y) + 2 = 0 ,從而2x(x+y)2 -4(x + 2y) + 4 = 0 ,=0, HP(x + y)(x- y) + 4(x + 2y)-4 = 0,0 聯(lián)立相加得:2 x (x + y )2 + (x + y)(x->') = 0,=-x 代入式中得xx(-x) + ( x)- - 3xx-6(x) + 3 = 0 ,得x=i,從而得原方程的解為 ;E=i【例23】解方程組： + X-3a-6v + 3 = 0廠(chǎng) +x + xy

35、+ 2y- = 0同理把y2= -3x代入式中得x x （-3x） + （-3x）- 3解得竺叵f=三三，代入刈=Y 44-5 + V17%=-1 / 4故原方程組的解為：，1 =115-3舊W = 4 1-xx-6(-3x) + 3 = 0,口15-3V1715-3炳收，得力4，%=4-5 - g尸415 + 3x/T7 .曠 4【例24】解方程組：卜而二14.x2 + y2 + Ay = 84【難度】【答案】Xi =8* 二2二8【解析】設(shè)x+y = "7,5/ = ，則/ +丁 +Ay = (x+y) -2Ay + xy = (x+y -xy = nr -?2 ,mn = 14

36、., z 、/、/、原方程組可轉(zhuǎn)化為/_04,因?yàn)?quot;-、（? +加）3（）= 84,m = 10 fx+ y = 10所以可得l = 6,又因?yàn)?+ = 14,聯(lián)立得 .,即 正 =4 xv = 16根據(jù)韋達(dá)定理設(shè)以樂(lè)）'為兩實(shí)數(shù)解的一元二次方程為10/ + 16 = 0, 因式分解得（8）（"2） = 0,得”8, q=2.所以方程組x+y = 10” =16xl =8的解為 。E = 2v2 =2=8.X. = 8即原方程組的解為c .=2【總結(jié)】考察利用整體換元法解二元二次方程組，綜合性較強(qiáng).【例25】已知方程組4一-=。 v = x - 2（1）求證：不論攵

37、為何值時(shí)，此方程組一定有實(shí)數(shù)解：v / fv ）（2）設(shè)等腰ABC的三邊長(zhǎng)分別為a , b , c,其中c = 4,且,個(gè)是該y = a-2 y = b-2方程的兩個(gè)解，求X8C的周長(zhǎng).【難度】【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 10.【解析】（1）將 y = x-2 代入/ 一（2k + l）y-4 = 0,得 /-（2% + l）（x-2）-4 = 0,整理得-（2# + 1）.t + 4A - 2 = 0, =（24 + 1）2-4*以（4-2）= 4y-124+9 =（24-3）飛0,所以不論及為何值時(shí)，此方程組一定有實(shí)數(shù)解；(2)可分為兩種情況” = ，或者 =4.第一種情況“ = ，即方

38、程組有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可知 = ()，從而女=2, 2由韋達(dá)定理得“+ =兼+ 1=4,此時(shí)“，b, c不能構(gòu)成三角形，舍去：第二種情況a = 4,將x = 4代入/-(2& + l)x + 4& 2 = 0,得 =|，由韋達(dá)定理得“+ = + 1=6,可得：b = 2,此時(shí)a, b, c能構(gòu)成三角形,故周長(zhǎng)=4+4+2=10.【總結(jié)】考察二元二次方程組的應(yīng)用及對(duì)方程組有解的準(zhǔn)確理解.ax - v-24 - 10 = 0【例26】已知方程組" ._只有一組實(shí)數(shù)解，求。的值.【難度】【答案】a =12或46.【解析】由x-2 = 0 ,知=>一2, x2 + 2

39、 = y ,由 ov-y- 24/ - 10 = 0 可知or 2/ - 10 = y ,把/ + 2 = y 代入，可得ax-2a 10 = M + 2 , 整理得 V ax + 12 + 2a = 0 * ,* 當(dāng) = /一4乂以(12 + 2。)= 0時(shí)，整理得/ 一8“-48 = 0 , 因式分解得(a 12)(a+ 4) = 0, 解得:q=12, «, = 4 .當(dāng) q=12 時(shí)，x2-12r + 12 + 2xl2 = 0,得/-12A+36 = 0 ,解得：x = 6,經(jīng)檢驗(yàn)、=6是原方程根：當(dāng)生=-4 時(shí)，/一 (一 4)x+12 + 2x( - 4) = 0,得

40、V+4x + 4 = 0,解得：x = -2,經(jīng)檢驗(yàn)x = -2是原方程增根.當(dāng)*有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根時(shí)，則>()且20+12<0,.“<-6： 當(dāng)*有一負(fù)根另一根為零時(shí)，則>()且。vO, 2/12=0, “ = -6.綜上所述：a =12或-6.【總結(jié)】本題綜合性較強(qiáng)，考察二元二次方程組的唯一解的應(yīng)用，注意從多個(gè)角度去分類(lèi)討論.【練習(xí)1】下列方程是哪些是無(wú)理方程？(1)=(2) (6-3)-625 = 0：(3)/一1 二 1：(4)= 1 ：(5) -3& = 7 ；(6) 【難度】【答案】(1)(2) (3) (4) (6)【解析】無(wú)理方程的概念即被開(kāi)方數(shù)是

41、涵未知數(shù)的代數(shù)式，根據(jù)概念可知只有(5 )不符合要求.【總結(jié)】考察無(wú)理方程的基本概念.【練習(xí)2】不解方程試說(shuō)明下列方程為什么沒(méi)有實(shí)數(shù)根？(1) Jx 3 + 5/2 x = 5 ；(2) Jy + 2 + Jy -1 = 0 .【難度】【答案】見(jiàn)解析.【解析】(1)有題意知x-320且2-xNO,兩不等式無(wú)交集，所以方程無(wú)實(shí)數(shù)根.(2)由題意知尸且gNO,要尸E+尸T=。，只有0-0=0，此時(shí))，=-2且y = l,不符合實(shí)際情況，所以無(wú)實(shí)數(shù)根.【總結(jié)】考察無(wú)理方程中增根的理解，即要注意驗(yàn)根.【練習(xí)3】(1)若關(guān)于x的方程3二7-。+ 1 = 0有實(shí)數(shù)根，則。的取值范圍是(2)將- 16 +

42、4x =。化成整式方程是.【難度】【答案】(1)“3 1： (2) 16a-4-128a2+a + 252 = 0.【解析】(1)由題知j4-x=a-12。,所以“之1：(2)由題知 Wt=164r = 4(4-X),原方程可轉(zhuǎn)化為4一工=16(16-8/+x“)，KP16x4-128x2 +x + 252 = 0【總結(jié)】（1）考察無(wú)理方程中增根的產(chǎn)生過(guò)程，解無(wú)理方程中一定要驗(yàn)根.（2）考察解無(wú)理方 程的一般方法.【練習(xí)4】下列方程組中哪一個(gè)是二元二次方程組（）【難度】【答案】B【解析】二元二次方程組是含兩個(gè)未知數(shù)，且最高次為兩次的整式方程組.a中最高次為1次;c 中含G，是無(wú)理方程：。中分母

43、中含未知數(shù)，為分式方程.所以答案是R【總結(jié)】考察二元二次方程組的基本概念【練習(xí)5】由方程組廠(chǎng)一儼消去X后得到的方程是.x + 2y = 1【難度】【答案】3/-4y-2 = 0.【解析】由得x = l 2，代入中得（1一2»-），2=3,整理得3y-4y - 2 = 0.【總結(jié)】考察代入消元法解二元二次方程組的方法.【練習(xí)6】解下列方程：（1） Jx + 3 a- - 1 = 0 ：（2） >Jx2 2 - J2x +1 = 0 .【難度】【答案】（1）a = 1, x2 = -2 ： （2） a- = 3.【解析】（1）由題得J= x + 1,兩邊同時(shí)平方得x + 3 = （

44、x+1）2,整理得2 = 0,因式分解得（x + 2）（x 1） = 0,從而得斗=1,毛=一2,經(jīng)檢驗(yàn)，a =1,毛=-2是原方程的解：（2）由題得7 = 07工1,兩邊同時(shí)平方得2 = 2x + l，整理得/_2.3 = 0,因式分解得(x + l)(x-3) = 0,從而得：n=T,毛=3,經(jīng)檢驗(yàn)x = 3是原方程的解，x = -l是增根.【總結(jié)】考察無(wú)理方程的基本解法，注意最后要驗(yàn)根.【練習(xí)7】解下列方程:(1)(2)x - y - 3 = 0 x2 +y + =0【難度】【答案】(1)芭二-2=一5x2 =1»二一2(2)$=43=3x2 = 3% =4【解析】(1)由得x

45、 = y + 3,代入中得()，+ 3 + y + l=0,整理得)3+7)，+ 10 = 0,% =-2>=一5因式分解得(y + 2)(y + 5) = 0,解得：=-2,月=一5代入x =)葉3,得凡=1, &=一2,所以原方程組的解為(2)由得、=7->，代入中得(7 y)2 + y + l=0,整理得)？ 一7> +12 = 0 ,因式分解得(y-3)(y-4) = 0,得y=3,刈=4,故得：=4,工=3,所以原方程組的解為1收=4=3x2 = 3y2 =4 【總結(jié)】考察二元二次方程組的方法,注意對(duì)代入法的正確理解及運(yùn)用.【練習(xí)8】解下列方程組:(1)U

46、+ D2 ()一1尸 =194x - y = 1(2)x2 2xy + y2 = I x+2y = 4【難度】【答案】(1)34*=亍29& =2»=1(2)【解析】(1)由得代入得匕U9"1)=1，整理得5x，44x + 68 = 0， 4因式分解得：(5x 34)(x 2) = 0,解得：&=2,代入y = x 1中得,=5，y2 = l. JJ綜上原方程組的解為：34 X'=T29>，1 = Tx2 =2»=1（2）由得所以原方程組可轉(zhuǎn)化為分別解上述兩個(gè)方程組得方程組的解為：X - y = 1和x + 2y = 42|A,2 =

47、 35 .I；二兩個(gè)方程如【總結(jié)】考察利用因式分解法求二元二次方程組的解.【練習(xí)9】解下列方程：(1) 3a2 + 9x + 2y!x2 4-5x+1 = 2(1 -3x) ；(2) 5x2 + x-x>j5x2 1 -2 = 0 .【難度】【答案】(1) jv,=0, a-2=-5： (2)%=，出=名. 55【解析】(1)原方程可以轉(zhuǎn)化為3/+15x + 2jx2+5x + l2 = 0, 3(/+5x) + 26+5x + l-2 = 0, 設(shè) j£+5x + l=r20,則 3(/+5x) = 3(Jl),原方程可以轉(zhuǎn)化為 3(- 1) + 2/-2 =。， 整理為豕+

48、2-5 = 0,因式分解為(-1)(夕+ 5) = 0,因?yàn)閐0,所以f = l,即4?+5x + l=l，整理得V+5x = 0,因式分解為Mx + 5) = 0,得蒼=0，=-5，經(jīng)檢驗(yàn)為=。，工=-5是原方程的解：原方程可以轉(zhuǎn)化為（5人1）_1 +-73整理得（斤工_1叱1 + 1）川轉(zhuǎn)=）=0，從而因式分解為，+0所以原方程可以轉(zhuǎn)化為何=7-1=0或者二7+1 - X=0兩個(gè)方程.陋=始 回 回斜 yj5x2 1 1 = 0 付，玉=，= 一 q :JJ解1+17 = 0,即，5./-l=x 1，解得當(dāng)=-1，%=；，經(jīng)檢驗(yàn)$=T，x4=；是方程技匚T + l x = 0的增根, 綜上

49、=當(dāng)，z=-丹是原方程的根.【總結(jié)】考察利用整體換元法解無(wú)理方程，注意解完后要驗(yàn)根.【練習(xí)10解下列方程組:(1)xy* - x + y -1 = 0x2 +y2 +3x-3y-16 = 0(2)x2 - 2個(gè) + y2 - 3x + 3y + 2 = 0(2/ + y)2(2x+y)2 = 0 *【難度】【答案】(1),A = -1J = 63=-3=2=0x3 = -6»=1x4 = 3>4=»1373【解析】（1）由因式分解得（x + l）（3l） = 0,得x = T或y = l.把x =-l代入式整理得）尸-3，-18 = 0,解得：%=6，%=-3,所以原

50、方程組的解為1X =-1J = 6x2 =7，=一3把代入式整理得M+3x-18 = 0,解得：內(nèi)=-6，&=3,所以原方程組的解為1x3 =-6 »=1%=3M=1綜上原方程組的解為1x】=-1“ =6琳=一3& =-6 »=1（2）由可整理為（x »3（x y）+2 = 0,因式分解為（工一）2）（工一），-1） = 0 ：由因式分解為(2r+y-4)(M + y + 3) = 0,所以原方程組可轉(zhuǎn)化為彳- y -1 = 02x + y + 3 = 0'x - y - 2 = 0 2x+y-4 = 0'x - y - 2 = 0

51、 2x+y + 3 = O'分別解這四個(gè)方程組得原方程組的解為：匕 二 2>3=0七二一13V3【總結(jié)】考察二元二次方程組的解法，能因式分解的盡量因式分解來(lái)降次，從而轉(zhuǎn)化為次數(shù)低 些的方程組來(lái)求解.【練習(xí)11解方程：2x + 2ji'+7x + 4 +而:7 = 35.【難度】【答案】x =.144【解析】觀(guān)察方程，可以轉(zhuǎn)化為入.+ 2歷五+工+ 7 + «+6?萬(wàn)=35 + 7,從而得(亦 + 447)+(赤+>/7+7)-42 = 0 ,因式分解為+ Jx + 7 +7)(G +Jx + 7 - 6)= 0,因?yàn)?6 +6 + 7 4-7 > 0

52、 >841所以只有« + «77-6 = 0,解這個(gè)無(wú)理方程得上=市，841經(jīng)檢驗(yàn)”=由是原方程的解.【總結(jié)】考察復(fù)雜方程的解法，注意整體變形，解完后要檢驗(yàn).【練習(xí)12解方程：廠(chǎng)+曠=5y + l2x2 + xy = 6y + 2【難度】【答案】x = 1=°& =-1/=°i + ViZT21 + x/14Tl-x/lZT21->/147【解析】由得丁 + /-5），= 1,由得 2丁 +個(gè)一6y = 2,則 2乂（爐+）7 -5" = 2 = 2F+Ay-6y,解得：/0或2），7-4 = 0,所以原方程組的解為X =

53、171=°& =T/=° ：當(dāng) 2），一工一4 二 0,得 2），- 4 = x,代入整理得 5），221丁 + 15 = 0,段俎 2I + V14T 21-7141 讓入 2V 4俎 1 + V14T I-V14T解得：y=my=-77，代入2)-4_行內(nèi)=-,A-=-I vzLJJ綜上原方程組的解為1X1=13=°=T»=01 + 714121 + 714?,i-VuT%二 1二21-714?,【總結(jié)】考察復(fù)雜二元二次方程組的解法,注意進(jìn)行方法的歸納總結(jié).【練習(xí)13已知方程組 二4”有兩組實(shí)數(shù)解廠(chǎng)"和二，且中10, y = 2x + my = y, y = y2（1）求加的取值范圍；（2）試用關(guān)于機(jī)的代數(shù)式表示出：（3）是否存在這樣的值“，使的值等于-2,若存在，求出這樣的所有的用的值: 若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【難度】【答案】（1）6<2留工