等差數(shù)列的前n項和練習(xí)含答案

1、課時作業(yè)8等差數(shù)列的前n項和時間：45分鐘 滿分：100分課堂訓(xùn)練1. 已知an為等差數(shù)列，ai = 35, d= 2, S= 0,則n等于（）A. 33B. 34C. 35D. 36【答案】D【解析】本題考查等差數(shù)列的前 n項和公式.由 S = nai +n n 12nd = 35n+ -n 1x ( 2) = 0,可以求出 n= 36.2 .等差數(shù)列an中，3(a3 + a5)+ 2( a7 + a10 + ai3)= 24,則數(shù)列刖 13項的和是()A. 13B. 26C. 52D. 156【答案】 B【解析】3( a3 + a5)+ 2( a7 + a10 + a3)= 24? 6a4

2、 + 6a10 = 24? a4+13 a + a1313 a4+ aw13x4a10=4? Si3=-=-= - = 26.2 2 23. 等差數(shù)列的前n項和為S, Si0= 20, S° = 50.則=.【答案】 90【解析】等差數(shù)列的片斷數(shù)列和依次成等差數(shù)列.二 S10, S>0 S10, S30 S20也成等差數(shù)列.2( S20 S°) = (S30 S20) + S10，解得 Sb0 = 90.4. 等差數(shù)列an的前n項和為S,若S2 = 84, S。= 460,求S*. 【分析】(1)應(yīng)用基本量法列出關(guān)于a1和d的方程組，解出a1和d,進而求得S28；(2

3、)因為數(shù)列不是常數(shù)列，因此 S是關(guān)于n的一元二次函數(shù)且常 數(shù)項為零.設(shè)S=an + bn,代入條件S2 = 84, S20 = 460,可得a、b, 則可求S28；丄d“SddSn 冃人 士由S= 2n + n(ai 2)得 = 2n + (a 2)，故n疋一個等差數(shù)So S12 S28可求得S28.列，又 2X 20= 12 + 28,二 2X 方=石 + 元,【解析】 方法一：設(shè)an的公差為d,則 Sn= na + nn 12d.12ai +12X112d= 84,由已知條件得:20X 1920a1 +2 d=460,2a1 + 11d= 14,ai = 15,整理得解得2a1 + 19d

4、 = 46,d= 4.n n 12所以 S = 15n +2X 4= 2n 17n,所以 S28 = 2 X 282 17 X 28= 1 092.方法二：設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn,則Sn= an2 + bn.因為 S2= 84, S>0= 460,212a + 12b= 84,所以 2202a + 20b= 460,整理得12a + b= 7,20a + b=23.解之得 a = 2, b= 17,所以 S=2n 17n, 6= 1 092.方法三： an為等差數(shù)列，n n 1所以 Sn= na+2 d,Q-J -JO所以n = ai，+2門，所以是等差數(shù)列.因為12,20,28成等差數(shù)

5、列，所以ti，10，28成等差數(shù)列，所以2X 20=誇+戛，解得S28=1 092-【規(guī)律方法】 基本量法求出a和d是解決此類問題的基本方法， 應(yīng)熟練掌握.根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)探尋其他解法，可以開闊思路，有 時可以簡化計算.課后作業(yè)一、選擇題(每小題5分，共40分)1. 已知等差數(shù)列an中，a2= 7, a4= 15,則前10項的和S。等于 ( )A. 100B. 210C. 380D. 400【答案】Ba4 a2157【解析】d= - = 4,則a1 = 3,所以So = 210.4 222. 在等差數(shù)列an中，a2+ a5= 19, S= 40,則 外=()D. 48A. 27B. 24C.

6、 29【答案】C2ai + 5d= 19,【解析】由已知531+ 10d = 40.3i = 2, 解得3io= 2 + 9X 3= 29.d= 3.3. 數(shù)列an的前n項和為Sn= n2+2n1,則這個數(shù)列一定是( )A.等差數(shù)列B.非等差數(shù)列C.常數(shù)列D.等差數(shù)列或常數(shù)列【答案】B2 2 【解析】當(dāng) n2 時，3n= Sn Sn-1 = n + 2n 1 ( n 1) + 2(n1) 1 = 2n+1,當(dāng) n= 1 時 a1= S= 2.二3n= 2, n= h這不是等差數(shù)列.2n+1, n2,4 .設(shè)等差數(shù)列3n的前n項和為S.右31 = 11, 34 + 36 = 6,則當(dāng)Sn取最小值

7、時，n等于（）A. 6C. 8【答案】 A【解析】a1 = 11,a4 + a6= 6,B. 7D. 9a1 = 11,d= 2,n 1222d= 11n+ n n = n 12n.=（n 6）2 36.即n = 6時，Sn最小.5. 個只有有限項的等差數(shù)列，它的前5項的和為34,最后5項的和為146,所有項的和為234,則它的第7項等于（）C. 19D. 18【答案】 D【解析】t ai + 82+83 + 84+ a5= 34,an + 8n-1 + 8n-2 + 8n-3 + 8n- 4 = 146,5( 81 + 8n) = 180, 81 + 8n= 36 ,_ n 81+ 8nnx

8、 36Sn =2= 2= 234.二 n= 13, S13= 1387 = 234.87= 18.6. 個有11項的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為30,則它的中間項為( )A. 8B. 7C. 6D. 5【答案】 D6X55X4【解析】S奇=681 +X2d = 30, 81+ 5d= 5, 5偶=582 + 亍X2d = 5(81 + 5d) = 25, 8 中=S奇一5偶=30 25= 5.7. 若兩個等差數(shù)列8n和bn的前n項和分別是S, Tn,已知學(xué)=7nn+ 3，則85等于（A. 7【答案】 D981 + 89【解析】852858計892 S)21b52b5b +b99T942 b + b9

9、8 已知數(shù)列an中，au 60, an+i = an+3,則 |刑 +1 a2| + | aa| + | a3o|等于()A. 445B. 765C. 1 080D. 1 305【答案】B【解析】an+ 1 an= 3,二an為等差數(shù)列.an = 60+ (n 1) x 3，即卩 an= 3n 63.an= 0 時，n= 21, an>0 時，n>21, an<0 時，n<21.S 30= | a11 +1 a2| +1 a3| + | a3° |=a1 Sha3 a21 + a22+a23 + a3。=2( a1 + + a21)+ So=2S21 + S3

10、0=765.二、填空題(每小題10分，共20分)9.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為S,若a6= S= 12,則數(shù)列的通 項公式an=.【答案】2n【解析】設(shè)等差數(shù)列an的公差d,則a1= 2，二 an=2n.d=210.等差數(shù)列共有2n+ 1項，所有奇數(shù)項之和為132,所有偶數(shù) 項之和為120,則n等于.【答案】10S 1【解析】t等差數(shù)列共有2n+ 1項，S奇一5偶=an+1 =.2n+ 1即 132- 120= 2n+ 1，求得 n= 10.【規(guī)律方法】利用了等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，比較簡捷.三、解答題(每小題20分，共40分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、 證明過程或演算步驟)11 .在等差數(shù)列

11、3中，(1) 已知 36= 10, S = 5,求 38和 S8;(2) 若 a1= 1, an=- 512, S=- 1 022，求 d.【分析】 在等差數(shù)列中，五個重要的量，只要已知三個量，就 可求出其他兩個量，其中31和d是兩個最基本量，利用通項公式和前 n項和公式，先求出a1和d,然后再求前n項和或特別的項.【解析】(1) Ta6= 10, Ss= 5,a1 + 5d= 10,5a1+ 10d= 5.解方程組，得a1 = 5, d = 3,38 = 36 + 2d= 10+ 2x 3= 16,31 + 382=44.31 + 3n2n 512 + 12=1 022 ,解得n= 4.又由

12、 3n=31 + (n 1) d,即一512= 1+ (4 1)d, 解得 d= 171.【規(guī)律方法】一般地，等差數(shù)列的五個基本量 31, 3n, d, n,Sn,知道其中任意三個量可建立方程組，求出另外兩個量，即“知三求二”.我們求解這類問題的通性通法，是先列方程組求出基本量ai和d,然后再用公式求出其他的量.12.已知等差數(shù)列an，且滿足an= 40-4n,求前多少項的和最 大，最大值為多少【解析】方法一：（二次函數(shù)法）v an=40-4n,. ai = 40- 4=36,二 Sn =2n= 2n + 38nai + an n 36 + 40 4n2= 22=2n2 19n+（號9）2 +

13、192=2（n羅）2 + 羅人 19小 19 口令n 于=0,貝S門=5=,且n N+,當(dāng)n= 9或n= 10時，S最大，19192 sn的最大值為 S9= S°= 2（10 -）2 + 萬=180.方法二：（圖象法）v an= 40 4n,.a1= 40-4 = 36,a2 = 40 4X2= 32,二 d= 32 36= 4,-（4） = 2n2+ 38n,_n n 1n n1S = na +2d = 36n +2點（n, S）在二次函數(shù)y = 2x2 + 38x的圖象上，S有最大值，其對稱軸為x= 2382192 =,當(dāng)n= 10或9時，Sn最大. S的最大值為 S= S°= 2X 102 + 38X 10= 180.方法三：（通項法）v an= 40 4n,. a= 40-4 = 36,a2 = 40 4X 2= 32,d= 32- 36= 4<0,數(shù)列an為遞減數(shù)列.an> 0,