工程流體力學(xué)3

1、主講主講: 馮馮 進(jìn)進(jìn)長(zhǎng)江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院長(zhǎng)江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 3.1 3.1 研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法研究流體運(yùn)動(dòng)的兩種方法 一、拉格朗日法一、拉格朗日法 拉格朗日法著眼于質(zhì)點(diǎn)，它以每個(gè)運(yùn)動(dòng)著拉格朗日法著眼于質(zhì)點(diǎn)，它以每個(gè)運(yùn)動(dòng)著的流體質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，觀察質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的流體質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，觀察質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡以及運(yùn)動(dòng)參量隨時(shí)間的變化，綜合各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)以及運(yùn)動(dòng)參量隨時(shí)間的變化，綜合各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，得到流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在概念上拉格朗日動(dòng)，得到流體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在概念上拉格朗日法直觀，但在處理流體運(yùn)動(dòng)問題時(shí)數(shù)學(xué)處理較法直觀，但在處理流體運(yùn)動(dòng)問題時(shí)數(shù)學(xué)處理較復(fù)雜。拉格朗日法的數(shù)學(xué)表示：復(fù)雜。拉格朗日法的數(shù)學(xué)表

2、示： 上式中上式中b1b1、b2b2、b3b3為拉格朗日變數(shù)，為拉格朗日變數(shù)，是質(zhì)是質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)記點(diǎn)的標(biāo)記。對(duì)同一質(zhì)點(diǎn)而言，對(duì)同一質(zhì)點(diǎn)而言，b1b1、b2b2和和b3b3是不是不變的，也就是在某時(shí)刻通過某空間點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)，變的，也就是在某時(shí)刻通過某空間點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)，而不是其他質(zhì)點(diǎn)。而不是其他質(zhì)點(diǎn)。拉格朗日法用坐標(biāo)分量可表拉格朗日法用坐標(biāo)分量可表示為：示為： ), 3, 2, 1(tbbbrr ), 3,2, 1(), 3,2, 1(), 3,2, 1(tbbbzztbbbyytbbbxxktbbbzjtbbbyitbbbxr), 3, 2, 1(), 3, 2, 1(), 3, 2, 1(kttbbbzj

3、ttbbbyittbbbxttbbbru), 3, 2, 1(), 3, 2, 1(), 3, 2, 1( ), 3, 2, 1(kttbbbzjttbbbyittbbbxttbbbra2), 3, 2, 1(22), 3, 2, 1(22), 3, 2, 1(2 2), 3, 2, 1(2速度和加速度為：速度和加速度為： 同理：流體的密度、壓強(qiáng)和溫度可表示為：同理：流體的密度、壓強(qiáng)和溫度可表示為： ), 3,2, 1(tbbb), 3,2, 1(tbbbpp ), 3,2, 1(tbbbTT 歐拉法著眼于充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間（這種歐拉法著眼于充滿運(yùn)動(dòng)流體的空間（這種空間稱為流場(chǎng)），以流場(chǎng)上各個(gè)

4、固定的空間點(diǎn)空間稱為流場(chǎng)），以流場(chǎng)上各個(gè)固定的空間點(diǎn)作為考查對(duì)象，觀察流體質(zhì)點(diǎn)通過這些固定空作為考查對(duì)象，觀察流體質(zhì)點(diǎn)通過這些固定空間點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化規(guī)律，而不涉及具體質(zhì)間點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的變化規(guī)律，而不涉及具體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程。因?yàn)樵谀骋豢臻g點(diǎn)，此時(shí)刻為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程。因?yàn)樵谀骋豢臻g點(diǎn)，此時(shí)刻為某個(gè)質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)，在另一時(shí)刻被另一質(zhì)點(diǎn)占據(jù)。某個(gè)質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)，在另一時(shí)刻被另一質(zhì)點(diǎn)占據(jù)。設(shè)在某一瞬時(shí)，觀察到流場(chǎng)中各個(gè)空間點(diǎn)上質(zhì)設(shè)在某一瞬時(shí)，觀察到流場(chǎng)中各個(gè)空間點(diǎn)上質(zhì)點(diǎn)的流速，將這些流速綜合在一起就構(gòu)成了一點(diǎn)的流速，將這些流速綜合在一起就構(gòu)成了一個(gè)流速場(chǎng)。個(gè)流速場(chǎng)。 歐拉法的數(shù)學(xué)表示：歐拉法的數(shù)學(xué)表示： 在用

5、在用u ux x、u uy y、u uz z分別分別表示各表示各坐坐標(biāo)軸標(biāo)軸x,y,zx,y,z方方向向上的分量，即：上的分量，即： tzyxuu, tzyxuuxx,tzyxuuyy,tzyxuuzz,ktzyxujtzyxui tzyxuuzyx,同理：流體的密度、壓強(qiáng)和溫度可表示為：同理：流體的密度、壓強(qiáng)和溫度可表示為： ),(tzyx),(tzyxpp ),(tzyxTT 流體質(zhì)點(diǎn)的加速度表示流體質(zhì)點(diǎn)由空間流體質(zhì)點(diǎn)的加速度表示流體質(zhì)點(diǎn)由空間點(diǎn)位置點(diǎn)位置M M（x x、y y、z z、t t），經(jīng)），經(jīng)dtdt后運(yùn)動(dòng)至相鄰后運(yùn)動(dòng)至相鄰點(diǎn)點(diǎn)MM（x+dx,y+dy,z+dzx+dx,y+d

6、y,z+dz）時(shí)的速度變化，根）時(shí)的速度變化，根據(jù)全微分定義，其據(jù)全微分定義，其 x x方向的分量有：方向的分量有：其中：其中： dzzxudyyxudxxxudttxuxdu,dtzuzddtyuyddtxuxdzuuyuuxuutudtduaxzxyxxxxx故：故：同理有：同理有： zuzyuyxuxtudtduyyyyyyuuuazuzyuyxuxtudtduzzzzzzuuua因此，因此， 在在t t時(shí)刻空間點(diǎn)（時(shí)刻空間點(diǎn)（x,y,zx,y,z）的加速）的加速度為：度為： xyzxxxxxyzyyyyxyzzzzzxyzaa ia ja kuuuuuuuitxyzuuuuuuujtx

7、yzuuuuuuuktxyzuutuzuuyuuxuutukujuiuzukujuiuyukujuiuxuktujtuituazyxzyxzzyxyzyxxzyx uutua上式中上式中稱為哈密頓算子，在直角坐標(biāo)下它等于：稱為哈密頓算子，在直角坐標(biāo)下它等于： 在柱坐標(biāo)下它等于：在柱坐標(biāo)下它等于：在球坐標(biāo)下它等于：在球坐標(biāo)下它等于：kzjyixzrezerer1erererrsin11 哈密頓算子的運(yùn)算規(guī)則是對(duì)哈密頓算子哈密頓算子的運(yùn)算規(guī)則是對(duì)哈密頓算子左邊的量不作微分，而對(duì)哈密頓算子右邊的量左邊的量不作微分，而對(duì)哈密頓算子右邊的量作微分。作微分。 表示在某一固定空間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)表示在某一固定空

8、間點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)速度對(duì)時(shí)間的變化率，也就是在同一地點(diǎn)由于速度對(duì)時(shí)間的變化率，也就是在同一地點(diǎn)由于速度隨時(shí)間變化而引起的加速度變化，稱為當(dāng)速度隨時(shí)間變化而引起的加速度變化，稱為當(dāng)?shù)丶铀俣龋ň植繉?dǎo)數(shù)）。地加速度（局部導(dǎo)數(shù)）。 表示流體質(zhì)點(diǎn)表示流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過不同空間位置而引起的加速度變化，稱為經(jīng)過不同空間位置而引起的加速度變化，稱為遷移加速度（位變導(dǎo)數(shù)）。遷移加速度（位變導(dǎo)數(shù)）。tuuu)( 歐拉法表示隨體導(dǎo)數(shù)的方法對(duì)于任何矢歐拉法表示隨體導(dǎo)數(shù)的方法對(duì)于任何矢量和任何標(biāo)量量和任何標(biāo)量都成立。例如空間點(diǎn)上流體密都成立。例如空間點(diǎn)上流體密度為標(biāo)量，密度對(duì)時(shí)間變化的數(shù)學(xué)表示為：度為標(biāo)量，密度對(duì)時(shí)間變化的數(shù)學(xué)表

9、示為： gradutdtd1. 1. 拉格朗日法轉(zhuǎn)換為歐拉法拉格朗日法轉(zhuǎn)換為歐拉法 在拉格朗日方法中，對(duì)矢徑在拉格朗日方法中，對(duì)矢徑r r作關(guān)于時(shí)間作關(guān)于時(shí)間的偏微分，得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度：的偏微分，得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度： ktbbbujtbbbuitbbbukttbbbzjttbbbyittbbbxttbbbruzyx), 3, 2, 1(), 3, 2, 1(), 3, 2, 1( ), 3, 2, 1(), 3, 2, 1(), 3, 2, 1( ), 3, 2, 1(),(321tbbbxx ),(321tbbbyy ),(321tbbbzz 因?yàn)椋悍唇馍鲜饺齻€(gè)標(biāo)量方程得：反解上式三個(gè)標(biāo)量方程得：

10、 ),( 11),( 11trbbtzyxbb),( 32),(22trbbtzyxbb),(33),(33trbbtzyxbbktzyxujtzyxuitzyxukttrbtrbtrbujttrbtrbtrbuittrbtrbtrbuuzyxzyx, ),( 3),( 2),( 1 ),( 3),( 2),( 1 ),( 3),( 2),( 1代入速度表達(dá)式得代入速度表達(dá)式得 ： 例：設(shè)拉格朗日觀點(diǎn)給出：例：設(shè)拉格朗日觀點(diǎn)給出： 式中式中和和對(duì)不同的質(zhì)點(diǎn)取不同的常數(shù)。對(duì)不同的質(zhì)點(diǎn)取不同的常數(shù)。將此轉(zhuǎn)換到歐拉觀點(diǎn)中去，并用兩種觀點(diǎn)分別將此轉(zhuǎn)換到歐拉觀點(diǎn)中去，并用兩種觀點(diǎn)分別求加速度。求加速度。

11、 tectx11tecty21在歐拉方法中，速度函數(shù)：在歐拉方法中，速度函數(shù)：首先求解這三個(gè)微分方程，得微分方程的三個(gè)解：首先求解這三個(gè)微分方程，得微分方程的三個(gè)解： tzyxudtdxuxx,tzyxudtdyuyy,tzyxudtdzuzz, 用矢徑表示其解，可寫為：用矢徑表示其解，可寫為： 當(dāng)確定研究當(dāng)確定研究t=tt=t0 0時(shí)刻在空間點(diǎn)（時(shí)刻在空間點(diǎn)（x x0 0,y,y0 0,z,z0 0）的）的流體質(zhì)點(diǎn)時(shí)，由上式確定流體質(zhì)點(diǎn)時(shí)，由上式確定b b1 1、b b2 2和和b b3 3，得到該，得到該質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程。),(321tbbbxx ),(321tbbbyy )

12、,(321tbbbzz ), 3,2, 1(tbbbrr 例：設(shè)流體運(yùn)動(dòng)以歐拉觀點(diǎn)給出：例：設(shè)流體運(yùn)動(dòng)以歐拉觀點(diǎn)給出： 式中式中 。 當(dāng)當(dāng)t=0t=0時(shí)，時(shí)，x=0 x=0，y=0y=0，z=0z=0。將此轉(zhuǎn)換到拉格朗日觀點(diǎn)中去，并用兩種觀點(diǎn)將此轉(zhuǎn)換到拉格朗日觀點(diǎn)中去，并用兩種觀點(diǎn)分別求加速度。分別求加速度。 2taxux2tbyuy0, 0ba一、定常與非定常一、定常與非定常 當(dāng)流場(chǎng)中各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)不隨時(shí)間變化時(shí)，則稱當(dāng)流場(chǎng)中各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)不隨時(shí)間變化時(shí)，則稱流體流動(dòng)為穩(wěn)態(tài)流動(dòng)或定常流動(dòng)。當(dāng)流場(chǎng)中各點(diǎn)的流體流動(dòng)為穩(wěn)態(tài)流動(dòng)或定常流動(dòng)。當(dāng)流場(chǎng)中各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間變化時(shí)，則稱流體流動(dòng)為非穩(wěn)態(tài)流運(yùn)

13、動(dòng)參數(shù)隨時(shí)間變化時(shí)，則稱流體流動(dòng)為非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)或非定常流動(dòng)。動(dòng)或非定常流動(dòng)。 例例1 1：設(shè)拉格朗日觀點(diǎn)給出：設(shè)拉格朗日觀點(diǎn)給出: : 式中拉格朗日數(shù)式中拉格朗日數(shù)和和對(duì)不同的質(zhì)點(diǎn)取不同的常對(duì)不同的質(zhì)點(diǎn)取不同的常數(shù)。判斷該流體運(yùn)動(dòng)是定常流動(dòng)還是不定常流動(dòng)。數(shù)。判斷該流體運(yùn)動(dòng)是定常流動(dòng)還是不定常流動(dòng)。 tecx11tecy21 例例2 2：設(shè)歐拉觀點(diǎn)給出：設(shè)歐拉觀點(diǎn)給出: : 求判斷該流體運(yùn)動(dòng)是定常流動(dòng)還是不定常流動(dòng)。求判斷該流體運(yùn)動(dòng)是定常流動(dòng)還是不定常流動(dòng)。 例例3 3：設(shè)歐拉觀點(diǎn)給出：設(shè)歐拉觀點(diǎn)給出: :求判斷該流體運(yùn)動(dòng)是定常流動(dòng)還是不定常流動(dòng)。求判斷該流體運(yùn)動(dòng)是定常流動(dòng)還是不定常流動(dòng)。 22

14、yxcyux22yxcxuyyztuxxztuy0zu 1. 1.跡線跡線 某一流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線稱為跡線。某一流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線稱為跡線?？梢姡壽E的概念是同拉格朗日觀點(diǎn)相聯(lián)系。可見，軌跡的概念是同拉格朗日觀點(diǎn)相聯(lián)系。 例：設(shè)拉格朗日觀點(diǎn)給出例：設(shè)拉格朗日觀點(diǎn)給出: : 式中拉格朗日數(shù)式中拉格朗日數(shù)和和對(duì)不同的質(zhì)點(diǎn)取不對(duì)不同的質(zhì)點(diǎn)取不同的常數(shù)。求同的常數(shù)。求t=0 t=0 時(shí)，通過點(diǎn)（，）時(shí)，通過點(diǎn)（，）的質(zhì)點(diǎn)跡線。的質(zhì)點(diǎn)跡線。 tectx11tecty21 2. 2.流線流線 對(duì)于某一固定時(shí)刻，流場(chǎng)中存在這樣一條對(duì)于某一固定時(shí)刻，流場(chǎng)中存在這樣一條曲線，其曲線上任意一點(diǎn)的速度與曲線

15、在該點(diǎn)曲線，其曲線上任意一點(diǎn)的速度與曲線在該點(diǎn)的切線方向重合，這樣的曲線稱為流線。的切線方向重合，這樣的曲線稱為流線。 流線是同一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)所組成的曲線，流線是同一時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)所組成的曲線，給出了不同流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向給出了不同流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向, ,同一時(shí)刻的同一時(shí)刻的流線互不相交?？梢?，流線的概念是同歐拉觀流線互不相交?？梢姡骶€的概念是同歐拉觀點(diǎn)相聯(lián)系。點(diǎn)相聯(lián)系。 流線有如下的性質(zhì)：流線有如下的性質(zhì)： （1 1）除了在速度為零和無窮大的那些點(diǎn)以）除了在速度為零和無窮大的那些點(diǎn)以外，經(jīng)過空間一點(diǎn)只有一條流線，即流線不能外，經(jīng)過空間一點(diǎn)只有一條流線，即流線不能相交，因?yàn)樵诳臻g每一點(diǎn)只能有一

16、個(gè)速度方向；相交，因?yàn)樵诳臻g每一點(diǎn)只能有一個(gè)速度方向； （2 2）流場(chǎng)中每一點(diǎn)都有一條流線通過，所）流場(chǎng)中每一點(diǎn)都有一條流線通過，所有的流線形成流線譜；有的流線形成流線譜； （3 3）穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)流線的形狀和位置不隨時(shí)）穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)流線的形狀和位置不隨時(shí)間變化，并與跡線重合；非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)流線的間變化，并與跡線重合；非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)時(shí)流線的形狀和位置是隨時(shí)間變化的。形狀和位置是隨時(shí)間變化的。 在流線上某點(diǎn)的鄰域內(nèi)，取一旋線長(zhǎng)在流線上某點(diǎn)的鄰域內(nèi)，取一旋線長(zhǎng)drdr ，根據(jù)流線的定義根據(jù)流線的定義 , ,即即: : 0rdu0 kdxudyujdzudxuidyudzudzdydxuuukjirduyxxz

17、zyzyx 上式稱為流線方程。流線與歐拉概念相上式稱為流線方程。流線與歐拉概念相聯(lián)系。聯(lián)系。),(),(),(tzyxudtzyxudtzyxudzzyyxx000dxudyudzudxudyudzuyxxzzy 例：設(shè)歐拉觀點(diǎn)給出例：設(shè)歐拉觀點(diǎn)給出: : 式中常數(shù)式中常數(shù)a0a0。求。求t=0 t=0 時(shí)的流線族。時(shí)的流線族。 解：根據(jù)流線方程有：解：根據(jù)流線方程有： 2taxux2tayuy22taydytaxdx積分上述方程，得：積分上述方程，得： ctaytaxactaytaxctayataxa22122122lnln1ln1故當(dāng)故當(dāng)t=0 t=0 時(shí)的流線族為：時(shí)的流線族為： 2ac

18、xy 跡線與流線的異同點(diǎn)：跡線與流線的異同點(diǎn)： .概念上不同概念上不同 .不定常時(shí)跡線與流線一般不重合，不定常時(shí)跡線與流線一般不重合， .定常時(shí)二者必然重合。定常時(shí)二者必然重合。 例：流體運(yùn)動(dòng)由下列歐拉變數(shù)下的速度函例：流體運(yùn)動(dòng)由下列歐拉變數(shù)下的速度函數(shù)給出：數(shù)給出： （1 1） （2 2） 求流線族并求求流線族并求t=0t=0時(shí)過時(shí)過m(-1,-1)m(-1,-1)點(diǎn)的流線和跡點(diǎn)的流線和跡線。線。 tyutxuyx,yuxuyx, 1.1.流管流管 流場(chǎng)中作一條不與流線流場(chǎng)中作一條不與流線重合的任意封閉曲線，過曲重合的任意封閉曲線，過曲線上的每一點(diǎn)作流線，這些線上的每一點(diǎn)作流線，這些流線所組

19、成的管狀表面稱為流線所組成的管狀表面稱為流管。特點(diǎn)：流管內(nèi)的流體流管。特點(diǎn)：流管內(nèi)的流體不能穿出流管表面，流管外不能穿出流管表面，流管外的流體不能穿入流管表面。的流體不能穿入流管表面。 2.有效過流截面有效過流截面 作一連續(xù)曲面截流管，流管包圍的這部分作一連續(xù)曲面截流管，流管包圍的這部分連續(xù)曲面稱為過流截面。當(dāng)過流截面上每一點(diǎn)連續(xù)曲面稱為過流截面。當(dāng)過流截面上每一點(diǎn)的法線與過該點(diǎn)流線的切線重合時(shí)，則稱過流的法線與過該點(diǎn)流線的切線重合時(shí)，則稱過流截面截面為有效過流為有效過流截截面面。當(dāng)流線平行時(shí)有效過流當(dāng)流線平行時(shí)有效過流斷面為平面，否則為曲面。斷面為平面，否則為曲面。 3.3.流量流量 流量有

20、流量有體積流量和質(zhì)量流量之分。體積流量和質(zhì)量流量之分。通過通過過流過流截面截面的流量由下式計(jì)算：的流量由下式計(jì)算： 體積流量：體積流量： 質(zhì)量流量：質(zhì)量流量： SdsnuQSmdsnuQ 流管上流管上兩兩過流過流截截面間的質(zhì)量流量關(guān)系：面間的質(zhì)量流量關(guān)系： 由上式可以推論：流管的過流斷面不能收縮到由上式可以推論：流管的過流斷面不能收縮到零，流管不能在流場(chǎng)內(nèi)部中斷，只能始于或終零，流管不能在流場(chǎng)內(nèi)部中斷，只能始于或終于流場(chǎng)的邊界。于流場(chǎng)的邊界。 21SSdsnudsnu 在流場(chǎng)中取控制體系統(tǒng)，設(shè)控制體系統(tǒng)在流場(chǎng)中取控制體系統(tǒng)，設(shè)控制體系統(tǒng)的體積為的體積為 V V，控制體內(nèi)某點(diǎn)的密度為，控制體內(nèi)某

21、點(diǎn)的密度為，則控，則控制體內(nèi)流體的質(zhì)量：制體內(nèi)流體的質(zhì)量：VdvmdvudtddtdvddvdtddvdtddvdtddtdmVVVV根據(jù)質(zhì)量守恒原理，根據(jù)質(zhì)量守恒原理， 。故。故: :要保證上式積分為零，必有：要保證上式積分為零，必有： 上式中，上式中， 稱為散度。稱為散度。0dtdm0dvudtdV0udtdu1.1.不可壓縮流體不可壓縮流體 根據(jù)定義，質(zhì)點(diǎn)的密度在運(yùn)動(dòng)過程中根據(jù)定義，質(zhì)點(diǎn)的密度在運(yùn)動(dòng)過程中不變的流體稱為個(gè)不可壓縮流體。換言之，不變的流體稱為個(gè)不可壓縮流體。換言之，對(duì)于不可壓縮流體的而言，體積大小不變，對(duì)于不可壓縮流體的而言，體積大小不變，即即 ： 那么必有那么必有:0dt

22、d0u000zuyuxukujuiukzjyixuzyxzyx 對(duì)于可壓縮流體，體積大小要發(fā)生變化，對(duì)于可壓縮流體，體積大小要發(fā)生變化，即：即： 同樣也必須滿足同樣也必須滿足:0dtd0u 2.2.均質(zhì)流體均質(zhì)流體 均質(zhì)流體是指流場(chǎng)中各點(diǎn)的密度都相同，其均質(zhì)流體是指流場(chǎng)中各點(diǎn)的密度都相同，其數(shù)學(xué)表示數(shù)學(xué)表示常數(shù)。常數(shù)。對(duì)均質(zhì)流體，有對(duì)均質(zhì)流體，有 。 3.3.不可壓縮流體均質(zhì)流體不可壓縮流體均質(zhì)流體 不可壓縮均質(zhì)流體要滿足兩各條件；即：不可壓縮均質(zhì)流體要滿足兩各條件；即： （1 1） （2 2） 由這兩個(gè)條件可以看出，由這兩個(gè)條件可以看出， 。 00utdtd00t 應(yīng)該特別指出，不可壓縮流體

23、表示每個(gè)應(yīng)該特別指出，不可壓縮流體表示每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的密度在它運(yùn)動(dòng)的全過程中不變，但是這質(zhì)點(diǎn)的密度在它運(yùn)動(dòng)的全過程中不變，但是這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的密度和那個(gè)質(zhì)點(diǎn)的密度可以不同，因個(gè)質(zhì)點(diǎn)的密度和那個(gè)質(zhì)點(diǎn)的密度可以不同，因此不可壓縮流體的密度不一定處處都是常數(shù)。此不可壓縮流體的密度不一定處處都是常數(shù)。只有既為不可壓縮流體同時(shí)又是均質(zhì)流體時(shí)，只有既為不可壓縮流體同時(shí)又是均質(zhì)流體時(shí)，密度才處處時(shí)時(shí)都是為常數(shù)。密度才處處時(shí)時(shí)都是為常數(shù)。 4.流函數(shù)流函數(shù) 當(dāng)不可壓縮流體為二維流動(dòng)時(shí)，在直角坐當(dāng)不可壓縮流體為二維流動(dòng)時(shí)，在直角坐標(biāo)下有：標(biāo)下有： 若存在某標(biāo)量函數(shù)若存在某標(biāo)量函數(shù)，它具有：，它具有： 代入上述散度方程，滿足

24、代入上述散度方程，滿足, ,故稱故稱為流函數(shù)。為流函數(shù)。 0yuxuyxyxuxyu 例例1 1：已知流場(chǎng)中的速度分布：已知流場(chǎng)中的速度分布： 試判斷流體是可壓縮流體還是不可壓縮試判斷流體是可壓縮流體還是不可壓縮流體。流體。為常數(shù)cyxcyuyxcxuyx,)1 (2222為常數(shù)cyxcxuyxcyuyx,)2(2222 例例2：已知二維流場(chǎng)中的流體為：已知二維流場(chǎng)中的流體為不可壓縮不可壓縮流體，流體，x方向的方向的速度分量：速度分量： ，其中其中a和和b為常數(shù)。當(dāng)為常數(shù)。當(dāng)y=0時(shí)，時(shí)，uy=0。求。求y方向的方向的速度分量速度分量uy。 byaxux2 1. 1.流體質(zhì)點(diǎn)的線應(yīng)變率流體質(zhì)點(diǎn)

25、的線應(yīng)變率 在流場(chǎng)中取一流體微元體（如上圖示），在流場(chǎng)中取一流體微元體（如上圖示），在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，AB=AB=x x ，BB1=BB1=y y ，BC=BC=z z 。設(shè)單元中心點(diǎn)的速度：設(shè)單元中心點(diǎn)的速度： 假如：假如： kzujyuixuu0, 0zxuyxuxxu 則則面面BBBB1 1C C1 1C C上的速度有：上的速度有： 側(cè)面?zhèn)让鍭AAA1 1D D1 1D D上的速度有：上的速度有： 在時(shí)間在時(shí)間 內(nèi)，微元體沿內(nèi)，微元體沿X X方向的變形為：方向的變形為：2xxxuxu2xxxuxuttxxxuxL 線應(yīng)變?yōu)椋壕€應(yīng)變?yōu)椋?則線應(yīng)變率則線應(yīng)變率1 1為：為： 同

26、理流體質(zhì)點(diǎn)沿同理流體質(zhì)點(diǎn)沿Y Y和和Z Z方向的線應(yīng)變率為：方向的線應(yīng)變率為： txuLxxxxuLtxxtxx)(lim001yuy2zuz3 2.2.流體質(zhì)點(diǎn)的體積應(yīng)變率流體質(zhì)點(diǎn)的體積應(yīng)變率忽略二階、三階無窮小，體積應(yīng)變?yōu)椋汉雎远A、三階無窮小，體積應(yīng)變?yōu)椋汗鼠w積應(yīng)變率為：故體積應(yīng)變率為： zyxzyxzzyyxxLLLVV)()(tzutyutxuVVzyx321zuyuxuzyx用矢量運(yùn)算表示：用矢量運(yùn)算表示：3.3.流體質(zhì)點(diǎn)的角應(yīng)變率流體質(zhì)點(diǎn)的角應(yīng)變率 過質(zhì)點(diǎn)作平行于過質(zhì)點(diǎn)作平行于XOYXOY平面截微元體，交控制平面截微元體，交控制體的剖面為體的剖面為EFGHEFGH（如圖示），假設(shè)

27、（如圖示），假設(shè)： zzuyyuxxuu0, 0yuzuxuxxx則剪切變形如圖則剪切變形如圖a a所示，在所示，在X X方向的措切變方向的措切變形為：形為：引起的角度變形引起的角度變形 ：tyyux2tyxu 設(shè)設(shè) ，則剪切變形如圖，則剪切變形如圖b b所示，在所示，在Y Y方向的措切變形為方向的措切變形為 ，引起，引起的角度變形的角度變形 。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，則在時(shí)，則在X X和和Y Y方向引方向引起的變形為圖起的變形為圖c c所示。設(shè)角變形為所示。設(shè)角變形為xyxy，則：，則： 0, 0 xuzuyuyyytxxuy2txyu0zuzuyuxuyxyxtyxuxyuxy xyxy對(duì)時(shí)間的變化率

28、為角應(yīng)變率對(duì)時(shí)間的變化率為角應(yīng)變率3 3，等于：，等于： 同理，過質(zhì)點(diǎn)中心，分別用平行于同理，過質(zhì)點(diǎn)中心，分別用平行于yozyoz和和zoxzox平面截控制體，則角應(yīng)變率有：平面截控制體，則角應(yīng)變率有： xyuyxu3xzuzxuzyuyzu211.有旋流動(dòng)有旋流動(dòng) ECF=ECF=，GCH=GCH=，CACA為為ECHECH的角平分線，的角平分線，CBCB為為FCGFCG的角平分線。則：的角平分線。則： 則則BCABCA為：為： 4ACH24BCGtyuxuBCAxy212424 兩角平分線間的夾角對(duì)時(shí)間的變化率為控制體兩角平分線間的夾角對(duì)時(shí)間的變化率為控制體繞過繞過C C且平行于且平行于Z Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的旋轉(zhuǎn)的角速度，軸的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的旋轉(zhuǎn)的角速度，即：即： 同理繞過質(zhì)點(diǎn)中心平行于同理繞過質(zhì)點(diǎn)中心平行于X軸的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng),其角其角速度速度1有：有： yxuxyu213zyuyzu211繞過質(zhì)點(diǎn)中平行于繞過質(zhì)點(diǎn)中平行于Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng),其角速度其角速度2有：有：即：即： xzuzxu212zuyuxuzyxkjiurotu21)