中考數(shù)學(xué)試題等腰三角形

1、等腰三角形一、選擇題1. （ 2014?廣東，第9題3分）一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是3和7,則它的周長為（）A. 17B. 15C. 13D. 13 或 17考點(diǎn)： 等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系.分析：由于未說明兩邊哪個(gè)是腰哪個(gè)是底，故需分：（1）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?3; （2）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?;兩種情況討論，從而得到其周長.解答：解：當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?3,底為7時(shí)，3+3 V 7不能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?7,底為3時(shí)，周長為3+7+7=17 .故這個(gè)等腰三角形的周長是 17.故選A .點(diǎn)評： 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，在解答此題時(shí)要注意進(jìn)行分類討論.2. （ 201

2、4?廣西玉林市、防城港市，第10題3分）在等月ABC中，AB=AC,其周長為20cm,則AB邊的取值范圍是（）A . 1cmvAB v4cmB . 5cm vAB v 10cm C. 4cmv ABv 8cm D. 4cmvABv 10cm考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；解一元一次不等式組；三角形三邊關(guān)系.分析：設(shè)AB=AC=x,則BC=20- 2x,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論.解答：解：在等腰4 ABC中，AB=AC,其周長為20cm,. .設(shè) AB=AC=xcm,貝 U BC= （20-2x） cm,.鹿 >2。-2乂質(zhì)-2x>0 '解得 5cmv xv 10cm.故選B

3、.點(diǎn)評：本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩腰相等是解答此題的關(guān)鍵.3. （2014浙江金華，第8題4分）如圖，將 RtABC繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°,得到 ABC,連結(jié)AA',若/ 1=20° ,則/ B的度數(shù)是1】A. 70°B. 65°C. 60°D. 55°【答案】B.【解析】試題分析,將R1&ABC繞直角頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)見叫 得到AABG連結(jié)AA1二 AOCA1 SWO/BAC. 1/AAO45cZ1=2（Z, J. ZBtAr=ZBAC=25e. /氏65L班R考點(diǎn). 1一旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)工等腰三角

4、形的性質(zhì).N在邊OB上,B. 4C. 54. （2014加州，第7題，3分）如圖，已知/ AOB=60°,點(diǎn)P在邊OA上，OP=12,點(diǎn)M,D. 6考點(diǎn)：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)分析：過P作PDXOB,交OB于點(diǎn)D,在直角三角形 POD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OD的長，再由PM=PN,利用三線合一得到 D為MN中點(diǎn)，根據(jù) MN求出MD的 長，由OD - MD即可求出 OM的長.解答：解：過P作PDXOB,交OB于點(diǎn)D,在 RtOPD 中，cos60°必=_, OP=12,OP 2OD=6,. PM = PN, PDXMN , MN=2 ,MD = ND=

5、_MN=1 ,2OM = OD MD=6- 1=5.故選C.第36頁點(diǎn)評：此題考查了含30度直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.二.填空題1. （ 2014?廣東，第16題4分）如圖， ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45彳導(dǎo)到 A'B'C',若/BAC=90°, AB=AC=JE,則圖中陰影部分的面積等于點(diǎn) -1考點(diǎn):分析:解答:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).根據(jù)題意結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)得出AD=1 BC=1 ,AF=FC'乎AC' = 1進(jìn)而求出陰影部分的面積.解：, ABC 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45

6、6; 得到ABC', / BAC=90° , AB=AC=/2,.BC=2, /C=/B=/CAC' ZC' =45；ADXBC, BC±AB,ADBC=1, AF=FC'耍AC' = 122，圖中陰影部分的面積等于：S>AAFC - S>ADEC =>j X1 X1 -二X代后-1 ) 2=j2故答案為：6T.AF, DC以O(shè)A18 .點(diǎn)評：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，得出AD,的長是解題關(guān)鍵.2. （ 2014姓海，第 10 題 4 分）如圖，在等腰 RtOAAi 中，/ OAAi=9

7、0 °, OA=1,為直角邊作等腰 RtAOA1A2,以O(shè)A2為直角邊作等腰 RtAOA2A3,則OA4的長度為考點(diǎn)：等腰直角三角形專題：規(guī)律型.分析：利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理分別求出各邊長，進(jìn)而得出答案.解答：解：. OAAi為等腰直角三角形，OA=1,AAi=OA=1 , OAi=/2OA=/2；. OA1A2為等腰直角三角形， . AiA2=OAi=V 2, OA2=H/OAi=2 ;. OA2A3為等腰直角三角形，A2A3=OA2=2 , OA3=/2OA2=2V2；. OA3A4為等腰直角三角形， . A3A4=OA3=2叵 OA4=/2OA3=8 .故答案為：

8、8.熟練應(yīng)用勾股定理得出是解題點(diǎn)評：此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理,關(guān)鍵.3. （ 2014?廣西賀少H,第 17題3分）如圖，等腰 ABC中，AB=AC, /DBC=15°, AB的垂直平分線 MN交AC于點(diǎn)D,則/ A的度數(shù)是 50°.考點(diǎn)：線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).分析：根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD,根據(jù)等邊對等角可得/A=/ABD,然后表示出/ ABC,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等可得/C=ZABC,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列出方程求解即可.解答：解：MN是AB的垂直平分線，AD=BD, ./ A= Z AB

9、D , . / DBC=15° , ./ ABC=Z A+15° , AB=AC, ./ C=Z ABC=Z A+15° ,.A+Z A+15° + /A+15°=180° ,解得/ A=50° .故答案為：50°.點(diǎn)評：本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并用/ A表示出 ABC的另兩個(gè)角，然后列出方程是解題的關(guān)鍵.4. （2014年天津市，第17題3分）如圖，在RtABC中，D, E為斜邊AB上的兩個(gè)點(diǎn)，且BD=BC, AE =AC ,則/ DCE 的大小為 45（

10、度）.考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).分析： 設(shè)/ DCE=x, / ACD=y,則/ ACE=x+y, / BCE=90° - / ACE=90° x- y,根據(jù)等 邊對等角得出/ ACE = /AEC=x+y, Z BDC = Z BCD = Z BCE+ Z DCE =90° - y.然后在 DCE 中，利用三角形內(nèi)角和定理列出方程 x+ (90°-y) + (x+y) =180°,解方程即可求出/ DCE 的大小.解答： 解：設(shè)/ DCE=x, /ACD=y,則/ ACE=x+y, Z BCE=90° - Z ACE=90°

11、 - x - y. .AE=AC, ./ ACE = Z AEC=x+y, .BD = BC,/ BDC = / BCD = / BCE+ / DCE=90° - x- y+x=90° - y.在 DCE 中，. / DCE + Z CDE+Z DEC=180° , .x+ (90°-y) + (x+y) =180°,解得x=45 , ./ DCE=45° . 故答案為45.點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)列出方程是解題的關(guān)鍵.5. (2014硝疆，第 12 題 5 分)如圖，在4ABC 中，AB=

12、AC, /A=40°,點(diǎn) D 在 AC 上,BD = BC, 則/ ABD的度數(shù)是.考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).分析：根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出/ABC=/C,再求出/ CBD,然后根據(jù)/ ABD = Z ABC / CBD代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解.解答：解：AB=AC, Z A=40° ,/ ABC=Z C=1 (180° - 40°) =70° ,2 BD=BC, ./ CBD=180° - 70° X2=40° , ./ ABD=ZABC-Z CBD=70 ° - 40 °=30°.

13、答案為：30.點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.6. (2014年云南省，第 13題3分)如圖，在等腰 ABC中，AB =AC , /A=36°, BD LAC于點(diǎn) D,貝U/ CBD= 18° .考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).分析：根據(jù)已知可求得兩底角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理不難求得/DBC的度數(shù).解答： 解：AB=AC, /A=36°, ./ ABC=Z ACB=72° . BDXAC 于點(diǎn) D, ./ CBD=90° - 72 =18° .故答案為：18°.

14、點(diǎn)評：本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是會綜合運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì) 和三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行答題，此題難度一般.7. （2014?益陽，第13題，4分）如圖，將等邊 ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊 AB與AC重合得 ACD , BC的中點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為 F ,則/ EAF的度數(shù)是 60°（第1題圖）考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)角，進(jìn)而得出/EAF的度數(shù).解答：解：二將等邊 ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊 AB與AC重合得 ACD , BC 的中點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)為F,旋轉(zhuǎn)角為 60°,巳F是對應(yīng)點(diǎn)，則/ E

15、AF的度數(shù)為：60°.故答案為：60°.點(diǎn)評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是解題關(guān)鍵.8. （2014臻州，第15題，3分）如圖，A、B、C、D依次為一直線上 4個(gè)點(diǎn)，BC=2 , BCE為等邊三角形，O 。過A、D、E3點(diǎn)，且/ AOD=120° .設(shè)AB=x, CD=y,則y與x的函數(shù)、一一 4關(guān)系式為 y=- （x > 0）考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理.分析：連接AE, DE,根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，求得/AED=120。，然后求得 ABEA ECD.根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊對

16、應(yīng)成比例即可表示出x與y的關(guān)系，從而不難求解.解答：解：連接AE, DE, . / AOD=120° ,，而i為 240。，AED=120° ,. BCE為等邊三角形，/ BEC=60° ; ./ AEB+Z CED=60° ;又 / EAB+Z AEB=60° , ./ EAB=Z CED, . / ABE=Z ECD=120° ;ab=beEC CD'即生N, M|4 , c、. . y= (x>0).點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生圓周角定理以及對相似三角形的判定與性質(zhì)及反比例函數(shù)的實(shí)際 運(yùn)用能力.9. (2014明州，第1

17、0題，3分)若等腰三角形的兩條邊長分別為7cm和14cm,則它的周長為 35 cm.考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系.分析：題目給出等腰三角形有兩條邊長為7cm和14cm,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.解答：解：14cm為腰，7cm為底，此時(shí)周長為 14+14+7=35 cm；14cm為底，7cm為腰，則兩邊和等于第三邊無法構(gòu)成三角形，故舍去.故其周長是35cm.故答案為35.已知沒有明點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系的掌握情況.確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成

18、三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵.10. (2014?呼和浩特,第13題3分)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36,則該等腰三角形的底角的度數(shù)為63°或 27考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì).專題：分類討論.分析:分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出它的底角的度數(shù).解答:解：在三角形 ABC中，設(shè) AB=AC, BD，AC于D.D若是銳角三角形，/ A=90° - 36° =54° ,底角=(180° 54°)e=63° ;若三角形是鈍角三角形，/此時(shí)底角=(180°

19、;-126°)攵=27° .所以等腰三角形底角的度數(shù)是63。或27。.點(diǎn)評:此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和應(yīng)用,此題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和定理.解答題a, DFXAB, EFXAC,1. (2014陰目潭，第25題) ABC為等邊三角形，邊長為(1)求證： BDFscef；(2)若a=4,設(shè)BF = m,四邊形ADFE面積為S,求出S與m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng) 為何值時(shí)S取最大值；(3)已知A、D、F、E四點(diǎn)共圓，已知tan/EDF 羽，求此圓直徑.(第1題圖)考點(diǎn)：相似形綜合題；二次函數(shù)的最值；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角

20、形分析：(1)只需找到兩組對應(yīng)角相等即可.(2)四邊形ADFE面積S可以看成 ADF與 AEF的面積之和，借助三角函數(shù)用m表示出AD、DF、AE、EF的長，進(jìn)而可以用含 m的代數(shù)式表示 S,然后通過配方，轉(zhuǎn)化為 二次函數(shù)的最值問題，就可以解決問題.(3)易知AF就是圓的直徑，利用圓周角定理將/EDF轉(zhuǎn)化為/ EAF.在 AFC中，知道tan/EAF、/ C、AC,通過解直角三角形就可求出AF長.解答：解：(1) DF ±AB, EFXAC, ./ BDF = / CEF=90° .ABC為等邊三角形， B=/C=60° . . / BDF = ZCEF, / B=

21、/C, . BDFACEF.(2)/ BDF=90° , / B=60° ,sin60°=, cos60°=2=.BF 2BFBF=m,DF=Jm, BD=.2 AB=4,AD=4 -. Sa adf=AD?DF=x (4 - )2="三%p|2+.8同理：Saaef=AE?EF=x 壽(4- m)=-蟲蕭+2寸&8'- Saadf+Saaeff+"m+2d(m2- 4m - 8)(m- 2) 2+sV3,其中 Ovmv4.4 -返< 0, 0<2<4,4:當(dāng)m=2時(shí)，S取最大值，最大值為S與m之間的

22、函數(shù)關(guān)系為：S退(m-2) 2+ah/3 (其中 0vm<4).4當(dāng)m=2時(shí)，S取到最大值，最大值為 3/3.(3)如圖2,.A、D、F、E四點(diǎn)共圓， ./ EDF = Z EAF.vZ ADF = Z AEF=90° ,AF是此圓的直徑. tanZ EDFELW,2tanZ EAF="2,EF_73"EA"'Z C=60 ,-=tan60 =/3.EC設(shè) EC=x,貝U EF刊京 EA=2x.AC=a,2x+x=A. / AEF=90° ,本題考查了相似三角形的判定、二次函數(shù)的最值、三角函數(shù)、解直角三角形、圓周角定理、等邊三角形

23、的性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng).利用圓周角定理將條件中的圓周角轉(zhuǎn)化到合適的位置是解決最后一小題的關(guān)鍵.(第2題圖)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.分析：(1)先求出直線y=-3x+3與x軸交點(diǎn)A,與y軸交點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將 A、B兩點(diǎn)坐 標(biāo)代入y=a (x-2) 2+工得到關(guān)于a, k的二元一次方程組，解方程組即可求解；(2)設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, m),對稱軸x=2交x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BE垂直于直線 x=2于點(diǎn)E.在RtAAQF與RtA BQE中，用勾股定理分別表示出 AQ2=AF2+QF2=1 + m2, BQ2=BE2+EQ2=4+ (3-m) 2,由 AQ=BQ,得到方程 1 + m2=4+ (3-m)

24、2,解方程求出 m=2,即可求得 Q點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)N在對稱軸上時(shí)，由NC與AC不垂直，得出AC為正方形的對角線，根據(jù) 拋物線的對稱性及正方形的性質(zhì)，得到M點(diǎn)與頂點(diǎn)P (2, - 1)重合，N點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，此時(shí)， MF=NF=AF=CF=1 ,且ACMN,則四邊形 AMCN為正方 形，在RtAAFN中根據(jù)勾股定理即可求出正方形的邊長.解答：解：(1)二直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn) A、B,A (1, 0), B (0, 3).又.拋物線拋物線 y=a (x-2)，k經(jīng)過點(diǎn)A (1, 0), B (0, 3),卜kF,解得住1 ,4a+k=3k= -1故a, k的值分

25、別為1,-1;(2)設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, m),對稱軸x=2交x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BE垂直于直線 x=2于點(diǎn)E.在 RtA AQF 中,AQ2=AF2+QF2=1 + m2,在 RtBQE 中，BQ2=BE2+EQ2=4+ (3m) 2, AQ=BQ, . 1 + m2=4+ (3 - m) 2,m=2,，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（2, 2）;（3）當(dāng)點(diǎn)N在對稱軸上時(shí)，NC與AC不垂直，所以AC應(yīng)為正方形的對角線.又.對稱軸x=2是AC的中垂線，. M點(diǎn)與頂點(diǎn)P （2, - 1）重合，N點(diǎn)為點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，其坐標(biāo)為（2, 1）.此時(shí)，MF=NF=AF=CF=1 ,且 ACXMN,，四邊形AMCN為正

26、方形.在RtAFN中，AN=,彳再談哂，即正方形的邊長為 也.x-2點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點(diǎn)有二元一次方程組的解法，等腰三 角形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度 適中.3. （2014琳洲，第23題，8分）如圖，PQ為圓O的直徑，點(diǎn)B在線段PQ的延長線上， OQ=QB=1,動點(diǎn)A在圓O的上半圓運(yùn)動（含 P、Q兩點(diǎn)），以線段AB為邊向上作等邊三角 形 ABC.（1）當(dāng)線段AB所在的直線與圓 。相切時(shí)，求 ABC的面積（圖1）;（2）設(shè)/ AOB=a,當(dāng)線段AB、與圓。只有一個(gè)公共點(diǎn)（即 A點(diǎn)）時(shí)，求a的范圍（圖2, 直接寫出答案）；

27、（3）當(dāng)線段AB與圓O有兩個(gè)公共點(diǎn) A、M時(shí)，如果AOLPM于點(diǎn)N,求CM的長度（圖3）.考點(diǎn)：圓的綜合題；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)； 特殊角的三角函數(shù)值.分析：(1)連接OA,如下圖1,根據(jù)條件可求出 AB,然后AC的高BH,求出BH就可以 求出 ABC的面積.(2)如下圖2,首先考慮臨界位置：當(dāng)點(diǎn) A與點(diǎn)Q重合時(shí)，線段 AB與圓O只有一 個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)0=0°當(dāng)線段AB所在的直線與圓 。相切時(shí)，線段AB與圓O只有一 個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí) a=60° .從而定出a的范圍.(3)設(shè)AO與PM的交點(diǎn)為D,連接MQ ,如下圖3,易證AO / MQ

28、 ,從而得到 PDOspmq, BMQsbao,又 PO=OQ=BQ,從而可以求出 MQ、OD,進(jìn)而 求出PD、DM、AM、CM的值.解答：解：(1)連接OA,過點(diǎn)B作BHLAC,垂足為H,如圖1所示. AB與。相切于點(diǎn) A, OAXAB./ OAB=90° . OQ=QB=1 , OA=1 .AB='二 L二L 二 =.ABC是等邊三角形，AC=AB=叵 / CAB=60° . sinZ HAB=I®,ABHB=AB?sinZ HAB心迎2Sxabc=AC?BH= xjlx-rABC的面積為之區(qū).4(2)當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)Q重合時(shí)，線段AB與圓0只有一個(gè)公共點(diǎn)，

29、此時(shí) a=0°當(dāng)線段AiB所在的直線與圓 0相切時(shí)，如圖2所示,線段AB與圓0只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí) OAdBAi, 0Ai=1 , 0B=2, 1 cosZ AiOB=QB - Z AiOB=60 .當(dāng)線段AB與圓0只有一個(gè)公共點(diǎn)(即 A點(diǎn))時(shí)，a的范圍為：0°$60.°(3)連接MQ,如圖3所示. PQ是。O的直徑， ./ PMQ=90° . OAXPM , ./ PDO=90 . ./ PDO=Z PMQ. . PDOA PMQ .PD_ D0_ PO"而一而一而PO=OQ=PQ.，PD=PM, OD = MQ.同理：MQ=AO, BM=A

30、B. AO=1 ,MQ=.OD=. / PDO=90° ,PO=1, OD=,. PD='J 154PM='. 2DM=1 '' 4. / ADM =90° ,AD=A0- OD=,. AM= D4dm"=.'=匹2.ABC是等邊三角形,AC=AB=BC, / CAB=60° . BM=AB,AM = BM . CM LAB .am£鳥2BM=, AB=V6.2AC= . . . cm=w=.'I : j ' " -2CM的長度為義工.2點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角

31、形的性質(zhì)與判定、直線與圓相切、勾股定理、特殊三角函數(shù)值等知識，考查了用臨界值法求角的取值范圍，綜合性較強(qiáng).4. (2014?泰州，第23題，10分)如圖，BD是 ABC的角平分線，點(diǎn) E, F分別在BC、AB 上，且 DE / AB, EF / AC.(1)求證：BE=AF;(2)若/ABC=60°, BD=6,求四邊形 ADEF的面積.考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；含 30度角 的直角三角形分析：(1)由DE/AB, EF/AC,可證得四邊形 ADEF是平行四邊形，/ ABD=/BDE, 又由BD是4ABC的角平分線，易得 BDE是等腰三角形

32、，即可證得結(jié)論；(2)首先過點(diǎn) D作DGLAB于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EH，BD于點(diǎn)H,易求得 DG與DE 的長，繼而求得答案.解答：(1)證明：.DE/AB, EF/AC,，四邊形 ADEF是平行四邊形，/ ABD = ZBDE,AF=DE,BD是 ABC的角平分線，ABD=Z DBE, ./ DBE=/ BDE,BE=DE,BE=AF;(2)解：過點(diǎn) D作DGAB于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EH，BD于點(diǎn)H,/ ABC=60° , BD 是/ ABC 的平分線， ./ ABD=Z EBD=30° ,DG=-1bD=1>=3,22 BE=DE,BH = DH=-BD=3,2I IBE=

33、2cos30DE=BE=2 .，四邊形 ADEF的面積為：DERG=6j田.B E C點(diǎn)評：此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.k _ ，一 一一 一，一 ，145. （2014?泰州，第26題，14分）平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A、B分別在函數(shù)yi （x一一 4 .>0）與y2= （x<0）的圖象上，A、B的橫坐標(biāo)分力1J為 菖a、B.(1)若AB/x軸，求 OAB的面積;(第5(2)若 OAB是以AB為底邊的等腰三角形，且a+bWQ求ab的值;點(diǎn)D在點(diǎn)A的左上方，那么，對大

34、于或等(3)作邊長為3的正方形 ACDE ,使AC / x軸,于4的任意實(shí)數(shù)a, CD邊與函數(shù)y1工(x>0)的圖象都有交點(diǎn)，請說明理由.考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題.分析：(1)如圖1,AB交y軸于P,由于AB/x軸，根據(jù)k的幾何意義得到 Saoac=2 ,Saqbc=2 ,所以 Sa oab=Saqac+Sa obc=4 ;(2)根據(jù)分別函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得A、B的縱坐標(biāo)分別為> a二，根據(jù)兩點(diǎn)b間的距離公式得到OA2=a2+ () C OB2=b2+ (-阻)2,則利用等腰三角形的性質(zhì)得到 a2+(W)242+s)2,變形得到(a+b) (a-b) (1-16)=0 由于 a+

35、bwqa>0, b< 0,所以1 G1z-z=0,易得 ab=-4;a%2(3)由于a>4 AC=3,則可判斷直線 CD在y軸的右側(cè)，直線 CD與函數(shù)y& (x工>0)的圖象一定有交點(diǎn)，設(shè)直線CD與函數(shù)y13(x>0)的圖象交點(diǎn)為F,由于A支4 、一 4,點(diǎn)坐標(biāo)為(a,-),正萬形ACDE的邊長為3,則得到C點(diǎn)坐標(biāo)為(a- 3, -), F點(diǎn) aa的坐標(biāo)為(a - 3,),所以FC=-,然后比較FC與3的大小，由于3-4FC"工，而a>4所以3 - FOO,于是可判斷點(diǎn)F在線段DC上.解答：解：(1)如圖1, AB交y軸于P, AB/ x

36、軸,S；aoac=144|=2, S；aqbc=1x|- 4|=2,42S>AOAB= S>AOAC + SaOBC=4 ；(2) .A、B的橫坐標(biāo)分別為 a、b, A、B的縱坐標(biāo)分別為 ± -± OA2=a2+ ($) 2, OB2=b2+ (-W) 2, ab. OAB是以AB為底邊的等腰三角形，OA=OB, a，(& 2=b2+ (-i)2, aba2 b2+(N) 2=0,b.2 c16 Cb2 - a2) a2- b2+-=0,a b( a+b) (a b) (1 - a+bwQ a> 0, b< 0,ab= 4;(3) a>

37、4而 AC=3,，._ ., 一、.，4直線CD在y軸的右側(cè)，直線 CD與函數(shù)yi= (x>0)的圖象一定有交點(diǎn),設(shè)直線CD與函數(shù)yi= (x>0)的圖象交點(diǎn)為F,如圖2,4.A點(diǎn)坐標(biāo)為(a,二)，正方形ACDE的邊長為3,4.C點(diǎn)坐標(biāo)為(a 3,-),F點(diǎn)的坐標(biāo)為(a - 3,4FC=2a - 33- FC=3-(4 (一)而a>43- FOQ 即 FCW§CD=3,點(diǎn)F在線段DC上,即對大于或等于4的任意實(shí)數(shù)a, CD邊與函數(shù)yj (x>0)的圖象都有交點(diǎn).點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義、

38、圖形與坐標(biāo)和正方形的性質(zhì)；會利用求差法對代數(shù)式比較大小.6. (2014加州，第28題，12分)已知矩形 ABCD的一條邊AD=8 ,將矩形 ABCD折疊, 使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處.(1)如圖1,已知折痕與邊 BC交于點(diǎn)O,連結(jié)AP、OP、OA.求證： OCPspda；若 OCP與 PDA的面積比為1 : 4,求邊AB的長；(2)若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求/ OAB的度數(shù)；(3)如圖2,在(L)的條件下擦去折痕AO、線段OP,連結(jié)BP.動點(diǎn)M在線段 fiafe-餐 餐 餐 AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合)，動點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且 BN=PM,連結(jié)MN交 PB于點(diǎn)F,作M

39、EXBP于點(diǎn)E.試問當(dāng)點(diǎn) M、N在移動過程中，線段 EF的長度是否發(fā)生 變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度.考點(diǎn)：相似形綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值.專題：綜合題；動點(diǎn)型；探究型.分析：(1)只需證明兩對對應(yīng)角分別相等即可證到兩個(gè)三角形相似，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出PC長以及AP與OP的關(guān)系，然后在 RtA PCO中運(yùn)用勾股定理求出 OP長，從而求出 AB長.(2)由DP=DC=AB=2AP及/ D=90°,利用三角函數(shù)即可求出/ DAP的度數(shù)，進(jìn)222而求出/ OAB的度數(shù).(3)由邊相等常常聯(lián)

40、想到全等，但BN與PM所在的三角形并不全等， 且這兩條線段的位置很不協(xié)調(diào)，可通過作平行線構(gòu)造全等，然后運(yùn)用三角形全等及等腰三角形的性質(zhì)即可推出EF是PB的一半，只需求出 PB長就可以求出 EF長.解答：解：(1)如圖1,.四邊形 ABCD 是矩形，AD=BC, DC=AB, Z DAB=ZB=Z C=Z D=90° .由折疊可得： AP=AB, PO=BO, /PAO=/BAO. /APO = /B./ APO=90° . ./ APD=90° - Z CPO=Z POC. . / D=Z C, / APD=Z POC. . OCPA PDA. OCP與 PDA的

41、面積比為1:4,. 匹00弗屈PD PA DA V 4 2PD=2OC, PA=2OP, DA=2CP. AD=8, CP=4, BC=8.設(shè) OP=x,則 OB=x, CO=8-x.在 RtA PCO 中, . /C=90°, CP=4, OP=x, CO=8 - x,x2= (8-x) 2+42.解得：x=5.AB=AP=2OP=10. 邊AB的長為10.(2)如圖1 ,P是CD邊的中點(diǎn)， dp=1dc. DC=AB, AB=AP, dp=1ap.問 / D=90° , sin/ DAP =-2Z=-l.AP M ./ DAP=30° . / DAB=90&#

42、176; , / PAO=Z BAO , / DAP=30° , / OAB=30° . /OAB的度數(shù)為30°.(3)作MQ /AN,交PB于點(diǎn)Q,如圖2. AP=AB, MQ/AN, ./ APB=/ABP, /ABP=/MQP. ./ APB=/MQP.MP = MQ. MP = MQ, MEXPQ, PE=EQPQ.怯 BN=PM, MP=MQ , BN=QM . MQ / AN, ./ QMF = Z BNF.在 MFQ和 NFB中，ZGHF=ZBNF /QFlhNBFN.QM 二 BN . MFQA NFB.QF = BF.qf=JLqb.WEF=EQ

43、+QFPQ+QBPB.222由（1）中的結(jié)論可得：PC=4, BC=8, /C=90°. PB寸4 +4 2=4氏.EFPB=2 底點(diǎn)評：本題是一道運(yùn)動變化類的題目，考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì) 和判定、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等 知識，綜合性比較強(qiáng)，而添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解決最后一個(gè)問題的關(guān)鍵.7. (2014溫州，第20題10分)如圖，在等邊三角形 ABC中，點(diǎn)D, E分別在邊BC, AC上，DE/AB,過點(diǎn)E作EFXDE,交BC的延長線于點(diǎn) F.(1)求/ F的度數(shù)；(2)若CD=2,求DF的長.考點(diǎn)：等邊三角形的判定與性

44、質(zhì)；含30度角的直角三角形.分析：(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/ EDC=/B=60,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解;(2)易證 EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解.解答：解：(1) . ABC是等邊三角形,/ B=60° , DE / AB, ./ EDC=Z B=60° , EFXDE, ./ DEF=90° , ./ F=90° - / EDC=30° ;(2) ,. /ACB=60°, / EDC =60°,. EDC是等邊三角形.ED=DC=2,. / DEF=90° , / F=30

45、6; ,DF=2DE=4.點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.8. (2014年廣東汕尾，第 19題7分)如圖，在 RtAABC中，/ B=90°,分別以點(diǎn) A、C為圓心，大于2AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn) M、N,連接MN,與AC、BC分別交于點(diǎn)D、2巳連接AE.(1)求/ADE;(直接寫出結(jié)果)(2)當(dāng)AB=3, AC=5時(shí)，求 ABE的周長.分析：(1)根據(jù)題意可知 MN是線段AC的垂直平分線，由此可得出結(jié)論；(2)先根據(jù)勾股定理求出 BC的長，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論.解：(1)二.由題意可知 MN是線段AC的垂直平分線，/ ADE=90°(2) .在 RtABC 中，/ B=90°, AB=3, AC=5,Bc/2 _ ,2=4,.MN是線段AC的垂直平分線，AE=CE, . ABE 的周長=AB+ （AE+BE） =AB+BC=3+4=7 .點(diǎn)評：本題考查的是作圖-基本作圖，熟知垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.9. （2014?襄陽，第21題6分）如圖，在 ABC中，點(diǎn) D, E分別在邊 AC, AB上，BD與CE交于點(diǎn) O,給出下列三個(gè)條件：/ EBO = /DCO;BE=CD;OB=OC.（1）上述三個(gè)條件中，由哪兩個(gè)