上海市黃浦區(qū)2019-2020學(xué)年度第一學(xué)期高三年級期終調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

1、黃浦區(qū)2019學(xué)年度第一學(xué)期高三年級期終調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷2020年1月(完卷時(shí)間：120分鐘 滿分：150分)考生注意：1 .每位考生應(yīng)同時(shí)收到試卷和答題卷兩份材料，解答必須在答題卷上進(jìn)行，寫在試卷 上的解答一律無效；2 .答卷前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號等相關(guān)信息在答題卷上填寫清楚；3 .本試卷共21道試題，滿分150分；考試時(shí)間120分鐘.一、填空題(本大題共有12題，？茜分54分.其中第16題每題滿分4分，第7T2題每題滿分5分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.1 .設(shè)集合 A=x|(x+1)(x2)<0,集合 B=x|1 <x<3,則 AuB =.2 .已

2、知z = (ai)(1 +i)(aw R , i為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則 a=.23 .拋物線x =8y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.4 . (x21)8的展開式中x4的系數(shù)為 .(用數(shù)字作答) x 35 .設(shè)0為第二象限的角，sinH ,則tan2日的值為56 .母線長為3、底面半徑為1的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的弧度數(shù)為 .-17 .若無窮等比數(shù)列an滿足：a2a3，a§ =一，且為w R(n= N用)，則數(shù)列 出口的16所有項(xiàng)的和為.8 .四名男生和兩名女生排成一排，男生有且只有兩位相鄰，則不同排法的種數(shù)是 .(結(jié)果用數(shù)字作答)9 .已知A、B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn) M在E上， A

3、BM為等腰三角形，且頂角為120°,則E的兩條漸近線的夾角為10 .已知函數(shù)y = f (x)與y =g(x)的圖像關(guān)于直線 y=x對稱，若f (x) = x+log2(2x + 2),則滿足f (x) A log 2 3 Ag (x)的x的取值范圍是 .11 .設(shè)函數(shù)y = f (x)的定義域?yàn)镈 ,若對任意的x1 w D ,總存在x2 w D ,使得f (x1) f (x2) = 1 ,則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)M.下列結(jié)論：函數(shù)y=x3-x具有性質(zhì)M;函數(shù)y=3x+5x具有性質(zhì)M;若函數(shù)y =log 8(x+2), x亡0, t具有性質(zhì) M,則t=510 ；若3sin x ay

4、= i a具有性質(zhì)M,則a =5 .其中正確結(jié)論的序號是412 .已知正六邊形 A2A3 A4 A5A6的邊長為2 ,點(diǎn)P是該正六邊形邊上的動點(diǎn)，記A3P A4P +AP A5P +AP AP +AP AS,則燈的取值范圍是二、選擇題(本大題共有 4題，？t分20分.)每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.13.方程2x3A. 2D.=5的解集是B . 2 , -21 ， -1i14.將函數(shù)y=sin(4x +-)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再向右平移 ,個(gè)單33位，得到的函數(shù)圖像的一條對稱軸的方程為 “汽A . x

5、 =12B. x =16入支C. x =4D. x =一215.若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,則“ f(x)是偶函數(shù)”是“ f(|x|)= f(x)對一切xW R恒成立” 的A .充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D .既不充分也不必要條件4916 .設(shè)曲線 E 的萬程為 +f=1，動點(diǎn) A(m, n), B(m,n),C(m,n), D(m,n)在 E 上.對于 x y結(jié)論：四邊形ABCD的面積的最小值為 48;四邊形ABCD外接圓的面積的最小值為25 n.下面說法正確的是A.錯(cuò)，對B.對，錯(cuò)C.都錯(cuò)D.都對三、解答題(本大題共有5題，茜分76分.)解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編

6、號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17 .(本題滿分14分)在三棱錐 P - ABC本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.中，已知 PA,PB,PC兩兩垂直，PB=3,PC =4,且三棱錐 PABC的體積為10.(1)求點(diǎn)A到直線BC的距離；(2)若D是棱BC的中點(diǎn)，求異面直線 PB,AD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表不).18 .（本題滿分14分）本題共有2小題，第小題滿分 8分，第小題滿分6分.在 4ABC 中，a,b,c 分別是角 A, B, C 的對邊，且 acosC = （2b c）cosA .（1）若 NB ,AC =3 ,求 ABC 的面積；(2)若 ZB <

7、;ZC ,求 2cos2 B +cos2C 的取值范圍.19 .（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題8分，第2小題6分.某研究所開發(fā)了一種新藥，測得成人注射該藥后血藥濃度 y （微克/毫升）與給藥時(shí)間x2 xx （小時(shí)）之間的若干組數(shù)據(jù)，并由此得出y與x之間的一個(gè)擬合函數(shù)y =40（0.6 - 0.6 ）（xW0,12）,其簡圖如圖所示.試根據(jù)此擬合函數(shù)解決下列問題:（1）求藥峰濃度與藥峰時(shí)間（精確到0.01小時(shí)），并指出血藥濃度隨時(shí)間的變化趨勢;（精確到 0.01（2）求血藥濃度的半衰期（血藥濃度從藥峰濃度降到其一半所需要的時(shí)間）20 .(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿

8、分4分，第2小題滿分6分，第3小題 滿分6分.已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，橢圓C上一點(diǎn)A(2j3,-1)到兩焦點(diǎn)距離之和為8.若點(diǎn)B是橢圓C的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P,Q是橢圓C上異于點(diǎn)B的任意兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；什 八廠 T T小 E(2)若BP1BQ,且滿足3PD=2DQ的點(diǎn)D在y軸上，求直線 BP的萬程；(3)若直線BP與BQ的斜率乘積為常數(shù) 外0)，試判斷直線PQ是否經(jīng)過定點(diǎn).若經(jīng)過定點(diǎn)，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請說明理由.21 .(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題 滿分8分.對于數(shù)列4,若從第二項(xiàng)起的每一項(xiàng)均大于該項(xiàng)之前

9、的所有項(xiàng)的和，則稱an為P數(shù)列.(1)若an的前n項(xiàng)和Sn =3n +2,試判斷an是否是P數(shù)列，并說明理由;(2)設(shè)數(shù)列ai,a2,a3,|,aio是首項(xiàng)為1、公差為d的等差數(shù)列，若該數(shù)列是P數(shù)列，求d的取值范圍；(3)設(shè)無窮數(shù)列an是首項(xiàng)為a、公比為q的等比數(shù)列，有窮數(shù)列bn, g是從%中取出部分項(xiàng)按原來的順序所組成的不同數(shù)列，其所有項(xiàng)和分別為Ti,T2，求an是P數(shù)列時(shí)a與q所滿足的條件，并證明命題若a>0且T1=T2,則an不是P數(shù)列”.9分高三數(shù)學(xué)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)、填空題:（16題每題4分；712題每題5分）2. -1;3.44. 70;245.;8. 144 ;9.；10.

10、 (0,log215)11.;12. 30,36.二、選擇題:（每題5分）13. B14. A15.16. D三、解答題:（共76分）17.解：（1）因?yàn)?PA_LPB,PA _L PC , PBcPC = P,所以AP_L平面,1 1由 VP ABC =-(- 3 4) AP =10 ,可得 AP =5 .一 3 2過 P 作 PE _LBC 于 E ,連 AE ,由 AP，平面 PBC ,可得 AP_L PE, AP_L BC,由 BC _L PE , BC _L AP ,可知 BC _L 平面 APE,故 BC _L AE ,12又 PE二一，所以 AE =J52 +()5.5769,5

11、所以點(diǎn)A到直線BC的距離為7769 .（2）設(shè)F為棱PC的中點(diǎn)，連5DF,AF ,由 D,F分別是棱BC,PC的中點(diǎn)，可得DF / PB ,所以AD與DF的夾角即為異面直線PB與AD所成的角.因?yàn)锳P _L平面PBC ,所以AP1PD,又FD JPB=3, AF =JAP2 +PF2 =標(biāo), 22AD2 + DF 2 -AF23.5cos/ADF =，AD = AP2 +PD4分12分2AD DF故異面直線PB,AD所成的角為2535arccos-2514分18.解：(1)由 acosC =(2bc)cosA ,可得 sinAcosC =(2sinBsinC)cosA,即 sin(A+C) =

12、2sinBcosA,故 sinB=2sinBcosA,又 sinB #0 ,故 cosA=1,因 Ae (0,力，故 A =-.23一一 一 一，1r一因?yàn)?AB AC =3 ,所以 cbcos- =3 ,得 bc =6, ABC的面積為一 bcsin A =(2)由 A3r .2式可得B - C三一, 3當(dāng) x log 0.6 0.5,12(2)令 y = -40( t222.2-2匚，由t =(2)設(shè)BP,BQ的斜率分別為k,k'，則由BP _L BQ ,可得=所以Xp-16k2)4k2 1同理可得-16k4k2 116k=224 k2Xi X211分14分2分6分8分10分12分

13、14分4分5分7分10分12分所以 2cos2 B +cos2 C =1 +cos2B +1 +cos2C23 ,4 兀 “、，1”3 弗. ”=+cos(-2C) +cos2c =sin 2C ,23222又 ZB<NC,故/C w(二紅)，即 2CE(立，父)，所以 sin 2C w (理,在)，3 33 322所以 2cosB +cos C = 3 _2Z3sin 2C s (- 9) .2244即2cos2 B+cos2C的取值范圍是(3,9) .4 419.解：(1)令 0.6x =t，則 y =40(0.6 x 0.62x) =M0(t2 t), y =M0(t _0.5)

14、2 +10 E10 ,當(dāng)且僅當(dāng) t=0.5,即 x=log0.6 0.5W0,12時(shí)，y=10, 故y的最大值為10,此時(shí)x=log0.60.5 st：1.36 ,所以藥峰濃度為10(微克/毫升)，藥峰時(shí)間為1.36小時(shí). 由函數(shù)簡圖知，當(dāng) x可0,log 0.60.5時(shí)，血藥濃度隨時(shí)間增大而增大;時(shí)，血藥濃度隨時(shí)間增大而減小.一，r 2I _t) =5 ,可得 t t + =0 ,82- 2可得 x=log064故血藥濃度的半衰期為10g 0.6 1一*60*2.40 (小時(shí)).22x y20.解：(1)設(shè)橢圓C的萬程為 =1(a >b>0), a b121. 一由題意知2a =

15、8,且12+3=1,可得a=4,b=2, a b22故橢圓C的方程為上+L=1.164y =kx 2,由限2 y2可彳導(dǎo)(4 k +1)x2 +16kx = 0 , 二116 4-16k16k22-4k2 1 4 k2由 3PD =2DQ ,可知-3xP =2xQ ,即-3 又k=0,可得k=±J2,所以BP的方程為y=±&x+2.(3)設(shè)直線PQ的方程為y =mx + b，代入橢圓可得(4 m2 +1)x2 +8mbx +4b2 -16 = 0 ,設(shè)p,Q的坐標(biāo)分別為(xi, y1),( X2, y2),故«C的方程,-8mb二 24m 124b -16

16、4m2 1XX2三由 kBP kBQBP BQy1 - 2 y2 -2mx1 (b - 2) mx2 (b - 2)XiX2X222_14分可得(m 九)x1x2 + m(b 2)( x1 + x2)+(b 2) =0,.2所以(m2 一九)2十m(b -2)2 +(b -2)2 =0 ,又 b ¥ 2 ,4m2 14m2 1故(m2 九)4( b +2) 8m2b +(b -2)(4 m2 +1)=0, 可得b =2+8.為定值,故直線PQ過定點(diǎn)(0 2+8) 16分1 -4 1-4，21.解：(1)由 Sn =3n +2 ,可知 an¥ =Sn¥ Sn =2X

17、3n , 2 分故an + Sn=3n -2 >0對一切正整數(shù)n都成立，故an是P數(shù)列. 4分(2)由題意知，該數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn =n + n(n-1)d , an. = 1+nd,6分2由數(shù)列為且2,|“e10是P數(shù)列，可知a2 Asi =a1，故公差d >0 ,-d 23Sn -an+=2n2 -(1+-d)n+1 <0對滿足1 Wn蕓9中的每一個(gè)正整數(shù) n都成立.8分d3一 dn2 -(1 +-d)n+1 <0對于 n =1,9 者B成立.-2222278.故d的取值范圍是(0,). 10分27由 d 92 -9(1 +3d) +1 <0,可得 d &l

18、t;,(3)若an是 P 數(shù)列，則 a = S <a? = aq ,若a >0 ,則q>1,又由an書>Sn對一切正整數(shù)n都成立，qn 一1可知aqn >a5-,即2 _q(bn對一切正整數(shù)n都成立, q -1q12分由(1)n >0 ,且 lim(1)n =0,故 2_q W0,可得 q >2 .qn-' q若a <0 ,則q<1,又由an書>Sn對一切正整數(shù)n都成立，可知又當(dāng)故有naq >a,即(2 -q)q <1對一切正整數(shù)n都成立， 1 -qq 三(_oo,_1時(shí)，(2 -q)q” <1 當(dāng) n =2 時(shí)不成立，/qWQ1),或產(chǎn)；。)，解得 q文15,0)50,1).(2 -q)q ：二1(2 -q)q ：12所以an是P數(shù)列時(shí)，a與q所滿足的條件為a ：二0或1 - 5q (0,1) 一 (1y5,0)14分卜面用反證法證明命題“若 a >0且I =丁2,則an不是P數(shù)列”.假設(shè)an是P數(shù)列，由a A0 ,可知q 22且an中每一項(xiàng)均為正數(shù),若bn中的每一項(xiàng)都在Cn中，則由這兩