揚(yáng)州大學(xué)線性代數(shù)練習(xí)冊(cè)A卷詳解

1、第四章矩陣相似對(duì)比角（A卷） ,填空題（3 6, =,18，）1,已知1是矩陣A的特征值，則B= 22A+3E有一個(gè)特征值為解答:B (A2-2A+3E)=A2 -2A+3E=(2 23).B的特征值是（2 23).B 有 12-2 3 22,設(shè) B=P1AP,如果 A =0則B的關(guān)于0的特征向量為BPBPBPBPAPBP1B的關(guān)于010P 100特征向量為13,矩陣 A=()T 與 B= 00相似，則x=解：B的特征值為1,1,-1,當(dāng)X=1時(shí)1E- B = 0000-1r (A) =1<3自由未知量得個(gè)數(shù)為二，取 Xi,X2為未知量10令XlX21 0-，則 1= 0 ,2= 10

2、100當(dāng)X=-1時(shí)-E -B1 0020 10 = 00 010001 0 020-010000 0 0自由未知量的個(gè)數(shù)為1,取X3為未知量0.1令 X3 =，則 1 = 0 ,0102= 0 (舍)01 0 0所以可逆矩陣U=0 1 00 0 1.A與B相似 U-1BU=A10 0 100 10 0 10 0 10 0010 01 00 0 10=0110 0 10 001001000=001=001101001X則X=04,設(shè)三階方陣A的三個(gè)特征值為1, -2, -3,為A的伴隨矩陣,三階方陣A的三個(gè)特征值1, -2, -31 ( 2) ( 3) 6又 *為A的伴隨矩陣又 為三階方陣262

3、 365,設(shè)A2=A,則A的特征值可能為 A2 AA A-E 0A 0或 A E1 A 0時(shí)E-A E 002 A E時(shí)E-A -1 E 0-1 01特征值可能為0和16,已知向量 (0,1,1 ) T,則與 正交的全體向量=解：，T0,1 0k1 0 k2 1，(k1，k2為任意實(shí)數(shù))01二，單項(xiàng)選擇題(3 6=18)1 .不屬于矩陣的特征向量是 A(0,0) T B(1,1) T C(1,0) T D(0,1) T解：特征向量不可以為0向量，選A2 , 1 2都是n階矩陣A的特征值，12,且1與2分別是對(duì)應(yīng)于1與2的特征向量，當(dāng) 時(shí)，X=k1X1 k2X2必是A的特征向量A,k1k20 B

4、 ,k10且卜20 C ,k1k20 D , k10而 k20解：因?yàn)樘卣飨蛄坎荒転?向量，所以排除A和C,而當(dāng)k2 0,ki 0時(shí)，表示1全體特征向量中的一個(gè)，即選D3,設(shè)是矩陣A對(duì)應(yīng)特征值 的特征向量，則A.A 0寸0 B.A=O時(shí)=0 C. 與線性相關(guān)D. 與線性無關(guān)解析：(C)A(1)A( -)0故存在ki 1 ,k2 1使得kiAk20A與線性相關(guān)4,設(shè)A是n階矩陣，C是n階矩陣，且B=CT AC ,則下列結(jié)論不成立的是A, A與B相似B , A與B等階 C , A與B有相同的 D , A與B有相同的特征向量 設(shè)A是n階矩陣，C是n階矩陣，且B=ctac ,則下列結(jié)論不成立的是DA,

5、 A與B相似B , A與B等階 C , A與B有相同的 D , A與B有相同的特征向量5,設(shè)A為3階矩陣，且已知32E =0則A必有一特征值為a，2 b ,-f。，3 d,解:Q 3A+ 2E = 0-3A- 2E = 0特征值概念l E-A = 0i=-236,若二階矩陣A相似于矩陣B=°3,E為2階單位矩陣,則與矩陣E- A相似的矩陣是A 14 B，11 04C,若二階矩陣A相似于矩陣B=3 ' E為二階單位矩陣，則與矩陣E-A相似的矩陣是(C)A.1 0 B.1 4C.Q若A相似于BE-A相似于E-B即 E-B= 0 0三,計(jì)算(5 8=40)11,的特征值,已知=1是

6、矩陣A= 11解:1為矩陣A的特征值2 111(1) a 0(1)112 a2a 2 0a 112 22設(shè)方陣A= 01 000 1(1)求A的特征值與特這鞘向量(2)求可逆矩陣P使P 1AP為對(duì)角矩陣解:(1)(1)(1)22,31時(shí),r( EA) 2有1個(gè)自由未知量，取X1為自由未知量1同解方程組為X人XX1 X3 X2 令 X 0X1令X11得基礎(chǔ)解系為10X3 0X1 0特征向量全體解為X k1 1(k1 0)222111當(dāng)2,31 時(shí)， E A000000000000r(E A) 1 3有2個(gè)自有未知量，取X2/3為自由未知量同解方程組為0 0得基礎(chǔ)解系為特征向量全體解為k3 39k

7、320)2B= 0023設(shè)A等于00(1)求 x, y(2)求P使P1AP=B解：(1) A-BAtr(A)Btr(B)2Y101 ,B1B為對(duì)角形矩陣要使P1AP即p為A特征向量構(gòu)成的可逆矩陣2)(2, 21)(1,1)11 2時(shí),2E Ar(2E A) 2 3有1個(gè)自由未知量，取X1為自由未知量同解方程組為X0X0X1令X1得基礎(chǔ)解系為當(dāng)2 1時(shí)，E Ar(E A) 2 3有1個(gè)自由未知量，取X3為自由未知量同解方程組為X2藍(lán)令X31得基礎(chǔ)解系為3 00當(dāng) 31 時(shí)， 1E A 011011r( E A) 2 3有1個(gè)自由未知量，取X3為自由未知量同解方程組為£ 0X：令X31得

8、基礎(chǔ)解系為3100P 1230 110 11a4,已知A= bc2012的三個(gè)特征值為4, 1, -2求a, b, c20解.tr(A) a 1 0 4 1 ( 2) 3. a 2E A 0 將 1代入即 4 2b 0b 211的逆矩陣A 1 2的特征2 15,已知向量=(1, R, 1) T 是矩陣 A= 1 2向量，試求常數(shù)取的值0 -1 -31 0 -20 0-411 -3A E 12 10 1 -1-10 1 -10 1 -10 0 10 1 01 0 01 0 00 1 00 0 10 -1113一 444131 -444311-44444419 -444113 -444-1A141

9、43121 211k 49k41k 4-1 )解:T, (1, -1,0 ) T, (1,0,1 ) 1試求矩陣 A6,已知三階矩陣A的特征值為2, 1, -1,對(duì)應(yīng)的特征向量為（1,0,a11a12a13由題意設(shè) =a21 a22 a23a31a32a33由 知11ana13202 0 即 a21 a23011 a31 a33211a11a12111 即 a21 a22100a31a32011a11a13100 即 a21 a2301 1a31a3311a11 一21 a122ana132a133a21a2302a210a31a332a221a11a121a230a21a2213a31a31

10、a32023a11a131a329a21a23021a33a31a33121132 220103 311 0 17,已知實(shí)對(duì)稱矩陣A= 0 2 01 0 1(1)找一正角矩陣Q使Q1AQ=(2)求 A100 0解：(1) E A 00(-2)20 0(-1)2( -2)-( -2) ( 2-2 )( -2)1 0232當(dāng)1 0時(shí)1A 01r( A) 2 3取一個(gè)自由未知量X3同解方程組x1x3x2 0x3X3令11101101當(dāng) 23 2 時(shí) 2E A 0 0 01 01r 2E A 1 3取兩個(gè)自由未知量X2,X3同解方程組X1 0X2 X31 0X30 1令 01213001X2代數(shù)的重?cái)?shù)

11、等于幾何的維數(shù)可對(duì)角化1 一1120121,2012120120 0 0有 Q1AQ0 2 00 0 2101202020040101202101404020080101404290291的特8,設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為11, 23=1,對(duì)應(yīng)取征向量1= (0,1,1 ) T,求AXi解：設(shè)對(duì)應(yīng)23 1的特征向量為X2X3XiX2X31 2X2X30艮口 X20 X1 X3令X1X30 1012 012令矩陣P 1231 0112 01c 1110 101022A P 1 P 11 01110011 0 1101 -2 2四，證明題( 2 7 2 5=24)1,試證(1)若 是正交矩陣A的

12、特征值，則工也是A的特征值(3)正交矩陣如果有實(shí)特征值，則該特征值是 1或-1證明:(1)是正交矩陣的特征值是 的特征值，1是-1的特征值又 是正交矩陣-11是的特征值1也是的特征值(2)由(1)證明課可得：J都是正交矩陣的特征值1即 1正交矩陣的實(shí)特征值為1或-1.2、若A可逆，證明AB與BA相似可逆矩陣a 使得阿 a 1 ( ab) a =E b a = baab與ba相似3、設(shè)交該n階方陣A的第i , j行，同時(shí)交第i , j列得矩陣B,證 明A與B相似解:設(shè)U是單位矩陣交換了 i , j行的矩陣也是單位矩陣交換了 i , j列的矩陣U左乘A得交換A的第i , j行的矩陣U右乘A得交換A的第i , j列的矩陣初等變換單位矩陣U=U-1即U左乘A得交換A的第i , j行的矩陣U-1AU得一矩陣即B4、設(shè)A為n階方陣，A的每行元素之和為2,證明A3的每行元素之和為8解