任意性問題和存在性問題在壓軸題中的應用

1、任意性問題和存在性問題在壓軸題中的應用任意性問題和存在性問題的討論全稱量詞和特稱量詞頻頻出現(xiàn)在我們的測試卷中,尤其常插足于函數(shù)相關(guān)的綜合問題 中,使得題目更有新意之余也增加了不小的難度.下面我們一起來揭開這兩者的神秘面紗, 來看看他們的真面目.教材釋義：全程量詞：,表示整體或全部,所有的,任意一個.特稱量詞：,表示整體的一局部,存在一個,至少有一個.那么,在考題中,這兩個連詞都是以什么形式出現(xiàn)的呢我們一起來看一下；常見模型及結(jié)論展示：(1) 任意性問題(恒成立問題)；1. ?xCD,均有f (x )>A 恒成立,那么 f (x ) min >A;2. ?xCD,均有f (x )&l

2、t; A 恒成立,那么 f(x ) max3. ?xCD,均有f (x ) >g (x ) 恒成立,那么 F (x 戶 f(x)-g(x ) >0 . F (x )min >04. ? x CD,均有 f (x )<g (x )恒成立,那么 F (x )= f(x )- g(x )<0：F (x )max 05. ? x 1CD, ? x 2CE,均有 f (x 1) >g (x 2)恒成立,那么 f (x ) min > g(x )max6. ? x 1 C D, ? x 2 C E,均有 f (x 1)(2) 存在性問題1. ? x 0CD,使得

3、f (x 0)>A 成立,那么 f (x ) max>A;2. ? x 0CD,使得 f (x 0)< A 成立,那么 f(x ) min3. ? x 0CD,使得 f (x 0) >g (x 0) 成立,設 F (x 戶 f(x )- g(x ),: F (x )max>04. ? x 0 C D,使得 f (x 0)5. ? x 1CD, ? x 2CE,使得 f (x 1) >g (x 2) 成立,那么 f (x ) max> g(x ) min6. ? x 1 C D, ? x 2 C E,均使得 f (x 1)(3) 任意性與存在性的綜合性問

4、題1. ? x 1 C D, ? x 2min2. ? x 1 C D, ? x 2(4) 相等問題1. ? x 1 C D, ? x 22. ? x 1 D, ? x 2考題展示：考1 :設函數(shù)CE,使得 f (x 1) >g (x 2)C E,使得 f (x 1)CE,使得 f (x 1)=g (x 2)CE,使得 f (x 1)=g (x 2)成立,那么 f (x ) min > g(x )成立,那么 f(x )g (x )成立,那么 f(x )g (x )1如果存在最大整數(shù) M ;2如果對任意的s、t分析:問題1,存在性問題,左邊右邊,只需要左邊有大于等于右邊的點即可,由數(shù)

5、軸 分析可得只需要最大值右邊即可.問題2,雙任意性問題,不等號兩邊是不同的函數(shù)不同的變量,由數(shù)軸分析可得： 只需即可.注意：雖然我們可以分別對兩邊求的最值帶來麻煩,最值來求解,但是由于參數(shù)的存在為我們直接求解：1,使得成立,求滿足上述條件的,都有成立,求實數(shù)的范圍.我們可以先求右側(cè)最值,然后考慮別離參數(shù)的方法來求解.,令那么由單調(diào)性可知,4.由1可知,即可.代入得,由單調(diào)性分析可得,在上單調(diào)遞減.考2:函數(shù),假設存在的取值范圍是和函數(shù),使得成立,那么實數(shù)分析：此題從問題看,研究的是兩個函數(shù)相等的問題,初步考慮數(shù)形結(jié)合.分段函數(shù) 看似復雜,其實都是我們很常見的函數(shù)模型,通過在定義域內(nèi)也是單調(diào)的,

6、看來我們研究單調(diào)性,不難畫出其圖像,而考慮數(shù)形結(jié)合是可行的思路.解析：那么函數(shù)單調(diào)遞增.那么確定,如圖：的圖像可以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以有：,由題意只需滿足的值域有交集即可.在圖像上可以分析為,如圖：那么不等式可列為：總結(jié)與反思：,首先,利用集合與移動的思想來分析每一道存在性和任意性問題是最實用且不容易出 錯的方法,希望大家課下多做這方面的練習,而不是機械地記憶我們上面列舉的結(jié)論.其次,我們之所以大篇幅去講方法、講思路就是希望大家可以做到具體問題具體分析, 而不是盲目套用結(jié)論.高中數(shù)學題目千變?nèi)f化但又不離其綱,大家要善于總結(jié)歸納.課外拓展：為了讓同學們更為了解全程量詞和特稱量詞,請認真完成以下練習題.