任意性問題和存在性問題在壓軸題中的應(yīng)用

1、任意性問題和存在性問題在壓軸題中的應(yīng)用任意性問題和存在性問題的討論全稱量詞和特稱量詞頻頻出現(xiàn)在我們的測試卷中,尤其常插足于函數(shù)相關(guān)的綜合問題 中,使得題目更有新意之余也增加了不小的難度.下面我們一起來揭開這兩者的神秘面紗, 來看看他們的真面目.教材釋義：全程量詞：,表示整體或全部,所有的,任意一個.特稱量詞：,表示整體的一局部,存在一個,至少有一個.那么,在考題中,這兩個連詞都是以什么形式出現(xiàn)的呢我們一起來看一下；常見模型及結(jié)論展示：(1) 任意性問題(恒成立問題)；1. ?xCD,均有f (x )>A 恒成立,那么 f (x ) min >A;2. ?xCD,均有f (x )&l

2、t; A 恒成立,那么 f(x ) max3. ?xCD,均有f (x ) >g (x ) 恒成立,那么 F (x 戶 f(x)-g(x ) >0 . F (x )min >04. ? x CD,均有 f (x )<g (x )恒成立,那么 F (x )= f(x )- g(x )<0：F (x )max 05. ? x 1CD, ? x 2CE,均有 f (x 1) >g (x 2)恒成立,那么 f (x ) min > g(x )max6. ? x 1 C D, ? x 2 C E,均有 f (x 1)(2) 存在性問題1. ? x 0CD,使得

3、f (x 0)>A 成立,那么 f (x ) max>A;2. ? x 0CD,使得 f (x 0)< A 成立,那么 f(x ) min3. ? x 0CD,使得 f (x 0) >g (x 0) 成立,設(shè) F (x 戶 f(x )- g(x ),: F (x )max>04. ? x 0 C D,使得 f (x 0)5. ? x 1CD, ? x 2CE,使得 f (x 1) >g (x 2) 成立,那么 f (x ) max> g(x ) min6. ? x 1 C D, ? x 2 C E,均使得 f (x 1)(3) 任意性與存在性的綜合性問

4、題1. ? x 1 C D, ? x 2min2. ? x 1 C D, ? x 2(4) 相等問題1. ? x 1 C D, ? x 22. ? x 1 D, ? x 2考題展示：考1 :設(shè)函數(shù)CE,使得 f (x 1) >g (x 2)C E,使得 f (x 1)CE,使得 f (x 1)=g (x 2)CE,使得 f (x 1)=g (x 2)成立,那么 f (x ) min > g(x )成立,那么 f(x )g (x )成立,那么 f(x )g (x )1如果存在最大整數(shù) M ;2如果對任意的s、t分析:問題1,存在性問題,左邊右邊,只需要左邊有大于等于右邊的點(diǎn)即可,由數(shù)

5、軸 分析可得只需要最大值右邊即可.問題2,雙任意性問題,不等號兩邊是不同的函數(shù)不同的變量,由數(shù)軸分析可得： 只需即可.注意：雖然我們可以分別對兩邊求的最值帶來麻煩,最值來求解,但是由于參數(shù)的存在為我們直接求解：1,使得成立,求滿足上述條件的,都有成立,求實(shí)數(shù)的范圍.我們可以先求右側(cè)最值,然后考慮別離參數(shù)的方法來求解.,令那么由單調(diào)性可知,4.由1可知,即可.代入得,由單調(diào)性分析可得,在上單調(diào)遞減.考2:函數(shù),假設(shè)存在的取值范圍是和函數(shù),使得成立,那么實(shí)數(shù)分析：此題從問題看,研究的是兩個函數(shù)相等的問題,初步考慮數(shù)形結(jié)合.分段函數(shù) 看似復(fù)雜,其實(shí)都是我們很常見的函數(shù)模型,通過在定義域內(nèi)也是單調(diào)的,

6、看來我們研究單調(diào)性,不難畫出其圖像,而考慮數(shù)形結(jié)合是可行的思路.解析：那么函數(shù)單調(diào)遞增.那么確定,如圖：的圖像可以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以有：,由題意只需滿足的值域有交集即可.在圖像上可以分析為,如圖：那么不等式可列為：總結(jié)與反思：,首先,利用集合與移動的思想來分析每一道存在性和任意性問題是最實(shí)用且不容易出 錯的方法,希望大家課下多做這方面的練習(xí),而不是機(jī)械地記憶我們上面列舉的結(jié)論.其次,我們之所以大篇幅去講方法、講思路就是希望大家可以做到具體問題具體分析, 而不是盲目套用結(jié)論.高中數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化但又不離其綱,大家要善于總結(jié)歸納.課外拓展：為了讓同學(xué)們更為了解全程量詞和特稱量詞,請認(rèn)真完成以下練習(xí)題.