信號相關分析與主元分析

1、現代檢測理論與技術Rtitp)()(2 在一個周期內，在一個周期內，R消耗的能量消耗的能量 222220000d)(d)(TTTTttiRttpE 22200d)(1TTttvRE或或平均功率可表示為平均功率可表示為 222000d)(1TTttiRTP 222000d)(11TTttvRTP或或設設i(t)為流過電阻為流過電阻R的電流，的電流，v(t)為為R 上的電壓上的電壓 R)(ti )(tv瞬時功率為瞬時功率為一能量信號和功率信號討論上述兩個式子，只可能出現兩種情況：討論上述兩個式子，只可能出現兩種情況：( (有限值有限值) ) ( (有限值有限值) ) 滿足滿足式的稱為能量信號，滿足

2、式的稱為能量信號，滿足式稱功率信號。式稱功率信號。 E00 P P0 E定義：一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比定義：一般說來，能量總是與某一物理量的平方成正比。令令R = 1 ，則在整個時間域內，實信號，則在整個時間域內，實信號f(t)的的一般規(guī)律1.1.一般周期信號為功率信號。一般周期信號為功率信號。2.2.非周期信號，在有限區(qū)間有值，為能量信號。非周期信號，在有限區(qū)間有值，為能量信號。3.3.還有一些非周期信號，也是非能量信號。還有一些非周期信號，也是非能量信號。如如u(t)是功率信號；是功率信號；而而tu(t)為非功率非能量信號為非功率非能量信號; ;(t)是無定義的非功率非能

3、量信號。是無定義的非功率非能量信號。數學本質數學本質: 相關系數是信號矢量空間內積與范數特征的相關系數是信號矢量空間內積與范數特征的具體表現。具體表現。 21)(),()(),()(),(22112112tftftftftftf 222121)()()(),(tftftftf 1相關系數相關系數由兩個信號的內積所決定：由兩個信號的內積所決定：二相關系數與相關函數由柯西施瓦爾茨不等式，得由柯西施瓦爾茨不等式，得 21ddd222121ttfttfttftf所以所以112 等于零此時,1,完全一樣與若21221tftf 最大此時,0,為正交函數與若21221tftf相關系數 從信號能量誤差的角度描

4、述了信號 與 的相關特性，利用矢量空間的內積運算給出了定量說明。12 tf1 tf21xy1xy10 xy0 xy2.信號的自相關函數信號的自相關函數為了定量地確定信號為了定量地確定信號x(t) 與時移副本與時移副本x(t- ) 的差別或的差別或相似程度，通常用自相關函數相似程度，通常用自相關函數。ttftfRd)()()( ttftfd)()( 能量信號：能量信號：ttftfRd)()()(* ttftfd)()(* 22*d)()(1lim)(TTTttftfTR 功率信號：功率信號： 22d)()(1lim)(TTTttftfTR 自相關函數的特點：自相關函數的特點：1. 自相關函數是偶

5、函數自相關函數是偶函數)()( RR2. 當當 =0 時，時，自相關函數等于信號的能量自相關函數等于信號的能量（或功率）（或功率）)()()0(2PxxxEdttxR3. Rx(0)為自相關函數的最大值為自相關函數的最大值 自相關函數與能譜的關系自相關函數與能譜的關系deXRjx2)(21)(deWjx)(21可見，自相關函數等于信號能譜的傅立葉變換。由可見，自相關函數等于信號能譜的傅立葉變換。由此易得：此易得：deRWjxx)()( 連續(xù)信號的帕斯瓦爾公式連續(xù)信號的帕斯瓦爾公式信號時信號時域與頻域的總能量域與頻域的總能量(功率功率)相等相等自相關函數與功率譜的關系自相關函數與功率譜的關系維納

6、維納辛欽（辛欽（Wiener-Khintchine）關系：）關系：S( )為信號的功率譜密度，為信號的功率譜密度，02)(lim)(00TXsTT則：則：deRSj)()(deSRj)(21)(離散信號離散信號（能量信號）（能量信號）的自相關函數的自相關函數離散信號的自相關函數：離散信號的自相關函數：jnjxjxnR)()()(性質：性質：1、離散自相關函數是偶函數、離散自相關函數是偶函數)()(nRnR2、在、在n=0時，自相關函數就是離散信號的能量時，自相關函數就是離散信號的能量xjxEjxR)()0(23互相關函數f1(t)與與f2(t)是能量有限信號是能量有限信號f1(t)與與f2(t

7、)為實函數為實函數f1(t)與與f2(t)為復函數為復函數f1(t)與與f2(t)是功率有限信號是功率有限信號f1(t)與與f2(t)為實函數為實函數f1(t)與與f2(t)為復函數為復函數分如下幾種情況討論：分如下幾種情況討論：(1)f1(t)與f2(t)是能量有限信號 f1(t)與與f2(t)為實函數為實函數: 相關函數定義相關函數定義: ttftfRd)()()(2112 ttftfd)()(21 ttftfRd)()()(2121 ttftfd)()(21 可以證明：可以證明： )()(2112 RR互相關函數：互相關函數： ttftfRd)()()(*2112 ttftfd)()(*

8、21 ttftfRd)()()(2*121 ttftfd)()(2*1 同時具有性質：同時具有性質： )()(*2112 RR(1)f1(t)與f2(t)是能量有限信號 f1(t)與與f2(t)為復函數為復函數: 互相關函數：互相關函數： 222112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221221d)()(1lim)(TTTttftfTR (2)f1(t)與f2(t)是功率有限信號 f1(t)與與f2(t)為實函數為實函數: 互相關函數：互相關函數： 22*2112d)()(1lim)(TTTttftfTR 221*221d)()(1lim)(TTTttftfTR (2)f1(t)與

9、f2(t)是功率有限信號 f1(t)與與f2(t)為復函數為復函數: 互相關函數性質：互相關函數性質：1、互相關函數不是偶函數。、互相關函數不是偶函數。)()(xyxyRR)()(yxyxRR2、 和和 不是同一個函數，即：不是同一個函數，即：)(xyR)(yxR)()(yxxyRR但存在下列關系：但存在下列關系：)()(yxxyRR兩者的關系兩者的關系 )(*)()(2112tftftR 即即 )(1tf)(2tf與與 為實偶函數，則其卷積與相關完全相同。為實偶函數，則其卷積與相關完全相同。 )(2tf反褶與反褶與 )(1tf之卷積即得之卷積即得 )(1tf)(2tf與與 的相關函數的相關函

10、數 )(12tR 三相關與卷積的比較 )(1tf)(2tf與與 卷積表達式：卷積表達式： d)()()(*)(2121 tfftftfttftftRd)()()(2112 )(1tf)(2tf與與 相關函數表達式：相關函數表達式： 說明 最大。0相關性最強，,時0自相關在Rt 為實偶函數，與若21tftf相關與卷積類似，都包含移位，相乘和積分三個步相關與卷積類似，都包含移位，相乘和積分三個步驟，差別在于卷積運算需要反褶，而相關不需要反褶。驟，差別在于卷積運算需要反褶，而相關不需要反褶。 則卷積與相關完全相同。則卷積與相關完全相同。四相關定理 若已知若已知 )()(11 Ftf F )()(22

11、 Ftf F則則 )()()(*2112 FFR F若若),()()(21tftftf )()( Ftf F則自相關函數為則自相關函數為 2)()( FR F 由此可見，兩信號的互相關函數和互能由此可見，兩信號的互相關函數和互能（功率）（功率）譜是一對譜是一對傅立葉變換。傅立葉變換。說明1.相關定理表明：兩信號互相關函數的傅里葉變換等于相關定理表明：兩信號互相關函數的傅里葉變換等于其中第一個信號的變換與第二個信號變換取共軛兩者之其中第一個信號的變換與第二個信號變換取共軛兩者之積。積。2.自相關函數的傅里葉變換等于原信號幅度譜的平方。自相關函數的傅里葉變換等于原信號幅度譜的平方。 定理具有相同的

12、結果。此時相關定理與卷積,此時,若是實偶函數.32*2FF五.相關分析的應用 檢測周期信號 故障分析 數據測量 目標源識別圖圖2.3.1 2.3.1 是用自相關函數來檢測混淆于隨機信號中的周期信號是用自相關函數來檢測混淆于隨機信號中的周期信號圖圖2.3.1 tx tx xR圖圖2.3.22.3.2（a a）為由置于坐椅上的加速傳感器而測得的加速度時間曲線）為由置于坐椅上的加速傳感器而測得的加速度時間曲線圖圖2.3.22.3.2（b b）為）為的自相關函數的自相關函數圖圖2.3.2.2.3.2.（c c）所示說明信號）所示說明信號 中的周期成分已消除，其隨機成分主要來自地面中的周期成分已消除，其

13、隨機成分主要來自地面圖圖2.3.2故障分析故障分析，具有周期成分，系統(tǒng)存在故障，具有周期成分，系統(tǒng)存在故障數據測量1.用互相關函數測量兩個信號之間的滯后時間用互相關函數測量兩個信號之間的滯后時間 （1 1）要確定深埋地下的輸油管裂縫）要確定深埋地下的輸油管裂縫位置，可以在輸油管的可疑區(qū)段任意開位置，可以在輸油管的可疑區(qū)段任意開掘掘A A，B B兩處兩處( (見圖見圖2.3.3(a)2.3.3(a)，若在，若在A A處未處未找到滲漏點，則在管道上找到滲漏點，則在管道上A A點固結一只傳點固結一只傳感器，若在感器，若在B B處也未找到滲漏點，則再在處也未找到滲漏點，則再在B B點固結一只傳感器。假

14、定滲漏處為點固結一只傳感器。假定滲漏處為k k，則則k k處可視為聲源，由油液滲漏處不斷發(fā)處可視為聲源，由油液滲漏處不斷發(fā)出聲波。出聲波。A A，B B處傳感器接收到的聲波信處傳感器接收到的聲波信號的區(qū)別，僅在于滯后時間的不同。號的區(qū)別，僅在于滯后時間的不同。圖圖2.3.32.3.3探測輸油管裂縫位置探測輸油管裂縫位置將兩信號進行放大后，由信號處理機可得它們的互相關函數圖如圖將兩信號進行放大后，由信號處理機可得它們的互相關函數圖如圖5-4(b)5-4(b)所示，從圖上可見，所示，從圖上可見，m m為為y1(t)y1(t)與與y2(t)y2(t)兩信號的時差，假定滲漏點發(fā)出兩信號的時差，假定滲漏

15、點發(fā)出的聲波傳播速度為的聲波傳播速度為v(v(常數常數),),兩傳感器中點兩傳感器中點o o與滲漏處與滲漏處K K得距離為得距離為s s，則有，則有 (1) (1) (2) (2) (3) (3)將將(1)(1)，(2)(2)代入代入(3)(3)，得，得 從而得到確定從而得到確定k k點位置點位置的計算公式為的計算公式為 (4)(4)若若m m為正值時，由為正值時，由(4)(4)式得到的式得到的s s也為正值，說明滲漏處也為正值，說明滲漏處k k離離B B較遠而離較遠而離A A較較近，距離近，距離s s應從應從o o點向左測量起。點向左測量起。 slltltl2212211,)(212mvvs

16、ttmvs21 (2)(2)用以評價或測定控制系統(tǒng)，用以評價或測定控制系統(tǒng)，( (操縱機構、轉向系統(tǒng)、閘門操縱機構、轉向系統(tǒng)、閘門，開關等，開關等) )的靈敏度。圖的靈敏度。圖2.3.42.3.4所示為某一控制系統(tǒng)所示為某一控制系統(tǒng)S S，x(t)x(t)為系為系統(tǒng)輸入信號，統(tǒng)輸入信號，y(t)y(t)為系統(tǒng)的輸出信號。為系統(tǒng)的輸出信號。為滯后時間，用為滯后時間，用來評來評價系統(tǒng)的靈敏度，則可正確地反映系統(tǒng)控制性能的優(yōu)劣程度。價系統(tǒng)的靈敏度，則可正確地反映系統(tǒng)控制性能的優(yōu)劣程度。圖圖2.3.42.3.4 (3)(3)用于地震探礦，確定礦層深度。圖用于地震探礦，確定礦層深度。圖2.3.5(a)2

17、.3.5(a)為地層剖面，地震探礦為地層剖面，地震探礦時由地面施加震源信號時由地面施加震源信號x(t)x(t)經礦層經礦層1 1，2 2，3 3反射后，又被設置在地面的傳反射后，又被設置在地面的傳感器接收。由感器接收。由x(t)x(t)與與y(t)y(t)的互相關函數圖中之三個峰值的互相關函數圖中之三個峰值( (圖圖2.3.5(b)2.3.5(b)的的滯后時間滯后時間1,1,2 ,2 ,3 3即可推知礦層埋藏的深度。即可推知礦層埋藏的深度。圖圖2.3.52.3.5 2.2.相關測速相關測速 這里討論的速度，是指運動物體相對于參考坐標的相對速度。為了測這里討論的速度，是指運動物體相對于參考坐標的

18、相對速度。為了測定速度，必須設法利用運動物體去產生兩個在時間上錯開的相似波形測定定速度，必須設法利用運動物體去產生兩個在時間上錯開的相似波形測定這個錯開的時間就可以計算出速度來。這個錯開的時間就可以計算出速度來。圖圖2.3.62.3.6 (1)(1)軋鋼機鋼帶速度的測定軋鋼機鋼帶速度的測定 圖圖2.3.6(a)2.3.6(a)是測定軋鋼機是測定軋鋼機鋼帶速度的示意圖，在鋼帶運鋼帶速度的示意圖，在鋼帶運動方向的同一直線上，相距動方向的同一直線上，相距l(xiāng) l的的兩個點上安裝兩個光源和兩個兩個點上安裝兩個光源和兩個光電管。因而產生兩個信號光電管。因而產生兩個信號x1(t)x1(t)和和x2(t).x

19、2(t).圖圖2.3.6(b)2.3.6(b)是測是測得的實際波形圖。得的實際波形圖。 (2)(2)船舶航速的測定船舶航速的測定 圖圖2.3.7(a)2.3.7(a)是測定船舶是測定船舶航速的示意圖，在船舶測速航速的示意圖，在船舶測速中，兩波形是用海底回聲產中，兩波形是用海底回聲產生的，如圖所示。在船的前生的，如圖所示。在船的前進方向的兩點，安裝兩組超進方向的兩點，安裝兩組超聲發(fā)射機和接收傳感器，以聲發(fā)射機和接收傳感器，以接收傳感器紀錄到的波形如接收傳感器紀錄到的波形如圖圖2.3.7(b).2.3.7(b).圖圖2.3.72.3.7目標源識別 (1)(1)車輛振動傳遞途徑的測定車輛振動傳遞途徑

20、的測定 圖圖2.3.82.3.8所示測試框圖用以所示測試框圖用以檢查汽車司機座的振動是由發(fā)動檢查汽車司機座的振動是由發(fā)動機引起的，還是有車輪引起的。機引起的，還是有車輪引起的。 測試方法：在發(fā)動機、司機測試方法：在發(fā)動機、司機座、后輪軸上布置加速度計，經座、后輪軸上布置加速度計，經分析，發(fā)現發(fā)動機與司機座之間分析，發(fā)現發(fā)動機與司機座之間的相關性較差，而司機座與后輪的相關性較差，而司機座與后輪之間的互相關函數出現明顯的相之間的互相關函數出現明顯的相關。因此，可以認為，司機座的關。因此，可以認為，司機座的振動主要是由后輪傳遞的。振動主要是由后輪傳遞的。圖圖2.3.82.3.8檢查汽車司機座的振動檢

21、查汽車司機座的振動 (2)(2)利用互相關函數可以分析、尋找?guī)着_運行的機器中對地面振動影響利用互相關函數可以分析、尋找?guī)着_運行的機器中對地面振動影響最大的機器。圖最大的機器。圖2.3.9(b),(c)2.3.9(b),(c)分別表示分別表示x1(t),x2(t)x1(t),x2(t)和和y(t)y(t)的互相關函的互相關函數圖。比較兩圖，可見機器數圖。比較兩圖，可見機器1 1對地面測點振動所提供的比重為：對地面測點振動所提供的比重為： 機器機器2 2對地面測點振動所提供的比重為：對地面測點振動所提供的比重為：%637.02.12.1(max)(max)(max)|211RRRyyyxxx%37

22、7.02.17.0(max)(max)(max)|212RRRyyyxxx圖圖2.3.92.3.9 (3)(3)利用互相關函數研究音樂廳的效果。圖利用互相關函數研究音樂廳的效果。圖2.3.102.3.10所示。測試設所示。測試設備對接收到信號的互相關分析表明：備對接收到信號的互相關分析表明：Rxy(Rxy() )圖形中，第一峰值是原圖形中，第一峰值是原始信號始信號x(t)x(t)和直接傳送信號和直接傳送信號y1(t)y1(t)的相關結果；第二個峰值是原始信的相關結果；第二個峰值是原始信號號x(t)x(t)和由墻壁反射的信號和由墻壁反射的信號y2(t)y2(t)的相關結果。由兩個峰值的振幅比的相

23、關結果。由兩個峰值的振幅比，可以確定墻壁的吸收系數。，可以確定墻壁的吸收系數。圖圖2.3.102.3.10設 X = ( X1 , X2 , , Xp ) 為 p 維隨機向量, 均值向量E(X) = 0 , 協方差陣 pppppppppppXaXaXaXaZXaXaXaXaZXaXaXaXaZ2211222211222122111111設 X = ( X1 , X2 , , Xp ) 為 p 維隨機向量. 稱 Zi = ai X為X的第i主成分( i =1 , p ),如果:(1) ai ai = 1 ( i =1 , p ); (2)當i 1時, ai aj = 0 ( j =1 , i -

24、1 ); (3)(max)()1, 1(0, 1XVarZVarijij 設 p 維隨機向量X 的均值向量E(X) = 0 , 協方差陣設 X = ( X1 , X2 , , Xp ) 是 p 維隨機向量, 且的特征值為 1 2 p , a1 , a2 , , ap 為相應的單位正交特征向量, 則 的第i主成分為 Zi = ai X ( i =1 , p ).記 = (i j ) , = diag(1, 2 , , p )其中1 2 p 為的特征值，1 , 2 , , p 是相應的單位正交特征向量, 記正交矩陣 A = (1 , 2 , , p ).主成分Z = ( Z1 , Z2 , , Z

25、p ) , 其中Zi = ai( i =1 , p ) .主成分 Zk 與原始變量Xi 的相關系數為并把主成分 Zk與原始變量Xi的相關系數稱為(或).), 1,(/),(pikaXZiikikik ),(),(),(),(),(),(),(),(),(122212111111pppkpppkpkpkXZXZXZXXZXZXZXXZXZXZXZZZ ), 1(1),(1212piaXZpki ikikpkik ),(),(pkXZkpiiki i112主成分Zk 的貢獻率;主成分Z1 , , Zm的累計貢獻率. piik1/ piimkk11/ 主成分 Z1 , , Zm 對原始變量Xi 的定

26、義為Xi 與Z1 , , Zm 的相關系數的平方 mki ikikmia12)(/ i ikikikaXZ 22),( 在實際問題中,不同的問題往往有不同的, 而通過來求主成分總是優(yōu)先考慮方差大的變量, 有時會造成很不合理的結果, 為了消除由于量綱的不同可能帶來的一些不合理的影響,常采用將的方法. 若記 E(Xi) = i , Var(Xi) = i2 ，即令 這時標準化后的隨機向量X= (X1, X2 , , Xp ) 的協方差陣就是原隨機向量X的相關陣 .), 1()()(piXXVarXEXXiiiiiii 標準化后的隨機向量X= (X1, X2 , , Xp ) 的協方差陣就是原隨機向

27、量X的相關陣 .從相關陣出發(fā)求主成分, 記主成分向量為 Z= (Z1, Z2 , , Zp )則Z有與總體主成分相應的性質.X 的相關陣的特征值為 1 2 p , 1 , 2 , , p 為相應的單位正交特征向量, 則X 的第i主成分為 Zi ai Xi ( i =1 , p ).1 2 p X= (X1, X2 , , Xp ) Z= (Z1, Z2 , , Zp )Zi ai Xi 主成分Zk與Xi的相關系數為其中ak = (a1k , a2k , , apk ) 是 對應于k的.),2, 1,(),(pikaXZkikik ), 1(1)(),(1212piaXZpkkikpkik ),

28、 1()(),(1212pkaXZkpikikpiik 主成分Zk 的貢獻率;主成分Z1 , , Zm的累計貢獻率. piik1 / mkpiik11 /主成分 Z1 , , Zm 對原始變量Xi 的定義為Xi 與Z1 , , Zm 的相關系數的平方 mkkiimia12)( )(mi 22),(kiiikaXZ 變量標準化后的因子負荷量變量標準化后的因子負荷量 pkpikipkpikipppkpkppppkkppkkpkkipkpaaaXaaaXaaaXZZZ11211211222112111111121111 設總體X = (X1 , X2 , X3 )N3, 的 均值向量 = (0, 0

29、, 0 )，協方差陣為(1) 求總體X的三個主成分；(2) 求X的等概率密度橢球的主軸方向；(3) 求每個主成分的貢獻率;(4)求前兩個主成分對變量X1 , X2 , X3的貢獻率.2200202200202.六、簡單算例六、簡單算例 求總體X的三個主成分； 的特征值為.)(.)(.)()(.)(.)(.2022202222022222020222200202022020222200202200202022222 I.,.202222022321 求的第一大特征值對應的單位特征向量 2121212221122022020020202200202020202200202022002020201213111231221211112131213121312111211131211111/,/,.,)( 即即，所所以以又又即即aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaI 求的第二大特征值對應的單位特征向量 21021021100200202002000200200200200022232122322222121232222232122232221222/,/,.,)( 即即，所所以以又又即即aaaaaaaaaaaaaaaaI 求的第三大特征值對應的單位特征向量 21212122211220220200202022002020202022002020220020202032333