基于MATLAB的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成圖形的動(dòng)態(tài)演示13.5.18 1224

1、作者簡(jiǎn)介：谷曉琪，女(回)，1991年，黑龍江省雞西市，學(xué)生，本科，主要研究方向：電子信息科學(xué)與技術(shù)。地址：北京市清華東路35號(hào)北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，E-mail： a410427843；周修文，女，1992年，山東省青島市，學(xué)生，本科，主要研究方向：電子信息科學(xué)與技術(shù)。地址：北京市清華東路35號(hào)北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，E-mail：zhouxiuwen0323；田振國(guó)，男，1992年，湖北，學(xué)生，本科，主要研究方向：電子信息科學(xué)與技術(shù)。地址：北京市清華東路35號(hào)北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院，E-mail：740118745。基于MATLAB的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成圖形的動(dòng)態(tài)演示谷曉琪 周修文 霍虎* 田振國(guó)（北京林業(yè)

2、大學(xué) 理學(xué)院，北京 100083）摘要：利用MATLAB編程制作GUI用戶界面，通過用戶輸入簡(jiǎn)諧振動(dòng)的各個(gè)參數(shù)，得到一維、二維簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的圖形，并研究不同參數(shù)對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的影響，觀察合成圖像的變化。在此基礎(chǔ)上，利用MATLAB實(shí)現(xiàn)三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的仿真實(shí)驗(yàn)。【關(guān)鍵字】 MATLAB；簡(jiǎn)諧振動(dòng)；合成；動(dòng)態(tài)演示【中圖分類號(hào)】O4-39 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【作者單位】 北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院 100083【通訊作者】 霍虎 E-mail：huzi2099簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成是力學(xué)的主要內(nèi)容之一，在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)中已經(jīng)對(duì)多個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成進(jìn)行了較為詳細(xì)的討論,但研究?jī)H局限于兩、三個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)在一、

3、二維坐標(biāo)中的合成情況，三維無法體現(xiàn)。利用MATLAB 繪出多不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)在一、二及三維坐標(biāo)中合成的波形及軌跡, 并依據(jù)這些波形與軌跡, 探討多個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成規(guī)律。1.研究意義利用MATLAB GUI軟件的制作，對(duì)一維、二維及三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的授課方式及仿真實(shí)驗(yàn)提供了新的方法。在傳統(tǒng)教學(xué)的過程當(dāng)中，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成通過示波器來觀察，其合成圖像往往與理論值有較大偏差，其主要存在的問題有以下幾個(gè)方面：（1） 課堂時(shí)間緊迫，圖像合成演示的直觀顯示多要在實(shí)驗(yàn)課當(dāng)中進(jìn)行操作，不利于學(xué)習(xí)的及時(shí)記憶和直觀了解。（2） 電路布線不合理引起的交叉干擾、電感漏磁容易引起合成圖像失真【1】。（3） 示波器無法

4、合成及演示三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成圖像。（4） 示波器探頭種類繁多，對(duì)于精確的理論圖形的演示難以企及，且探頭可提供測(cè)試需要的保真度往往較低。（5） 對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的計(jì)算比較復(fù)雜，示波器無法高精度的實(shí)現(xiàn)圖形的模擬合成。針對(duì)以上問題制作的MATLAB GUI簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的程序，能幫助授課教師在課堂上直觀的演示簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，直觀對(duì)比理論測(cè)量與實(shí)際測(cè)量。2.基本原理2.1一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成原理2.1.1 多個(gè)一維同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成設(shè)質(zhì)點(diǎn)在方向上同時(shí)參與個(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程【2】為：其中，其中為振幅， 為角頻率，為初相位，則質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)為：式中，分別為和振動(dòng)的振幅和初相位，由（1）式可知多個(gè)一維同頻

5、率簡(jiǎn)諧振動(dòng)可合成為一個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其軌跡是余弦(或正弦)曲線。利用MATLAB進(jìn)行合成演示，上述推證可得到證實(shí)。2.1.2 多個(gè)一維不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一般情況下，多個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而是復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。利用MATLAB進(jìn)一步研究可知，多個(gè)一維頻率比為有理數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)雖然復(fù)雜但具有周期性，而多個(gè)一維頻率比為無理數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)則既復(fù)雜又無周期性【3】。由圖1可知，多個(gè)一維同振幅、同相位頻率相差不大簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，其結(jié)果形成多個(gè)大小不一的拍4。進(jìn)一步研究可知，多個(gè)一維同振幅、同相位頻率相差不大簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)是這些簡(jiǎn)諧振動(dòng)兩兩合成的幅度減小的拍的疊加，其結(jié)果形

6、成個(gè)大小不一的拍多拍現(xiàn)象。其中，主拍的拍幅很大(為單個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)振幅的倍)，而次拍的拍幅則比較小【5】。圖1 一維多個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成2.2 二維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成李薩茹圖形2.2.1相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)不同方向的振動(dòng)時(shí)，一般情況下質(zhì)點(diǎn)將做平面曲線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡的形狀將由兩個(gè)分振動(dòng)的周期、振幅和它們的相位差決定6。沿兩個(gè)振動(dòng)的方向分別建立x，y軸，并以質(zhì)點(diǎn)的平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，則這兩個(gè)分振動(dòng)可分別表示為： 在t 時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位置可由坐標(biāo)x，y 確定。上述方程是以時(shí)間 作為參變量的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程，從中消去，便得軌跡方程：此式是橢圓方程，它表示兩個(gè)相互垂直且同

7、頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的軌跡是橢圓。隨著相位差值的不同，合成橢圓的形狀也不同【7】。2.2.2相互垂直不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成 如果兩個(gè)相互垂直的振動(dòng)頻率不相同，它們的合運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，若隨意選取兩種分振動(dòng)，可以看到合成軌跡是不穩(wěn)定的，而且沒有規(guī)律可循。（1）兩振動(dòng)的頻率有很小的差異，可近似看成同頻率振動(dòng)的合成，不過相位差在緩慢地變化，在范圍內(nèi)由直線變成橢圓再變成直線等。（2）如果兩振動(dòng)頻率相差較大，但有簡(jiǎn)單整數(shù)比，則合成運(yùn)動(dòng)有穩(wěn)定封閉的運(yùn)動(dòng)軌跡，稱為李薩如圖形，其形狀與互相垂直的分振動(dòng)的角頻率之比、各自初相位以及初相位差都有關(guān)系5。圖2為兩振動(dòng)的頻率有簡(jiǎn)單的整數(shù)比，合成運(yùn)動(dòng)為李薩如圖形。運(yùn)行中可以看

8、到以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的方式呈現(xiàn)的動(dòng)畫。圖2 一維多個(gè)不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成2.3三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成設(shè)分別沿z、y和z向的頻率不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的表達(dá)式為： 此方程組就是合運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程。設(shè)x、y和z向振動(dòng)滿足頻率比為整數(shù)比： 其中，為不可約的整數(shù)，和為不可約的整數(shù)，那么存在：其中是x方向的振動(dòng)周期，是和的最小公倍數(shù)，就是(1)式描述的空間曲線的參數(shù)周期，也就是上述曲線為閉合曲線。以x、y和z為坐標(biāo)的空間點(diǎn)在時(shí)間內(nèi)完成閉合曲線的一次掃描，然后重復(fù)掃描，這就是三維李薩如曲線。如果不滿足(2)式，那么(1)式描述的曲線不是閉合曲線【8】。利用MATLAB進(jìn)行三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，得到圖3。可看出，當(dāng)分振動(dòng)為

9、簡(jiǎn)單整數(shù)比時(shí)，三維合成的圖像也有類似李薩茹圖像的情況。圖3 三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成3.GUI界面及仿真流程利用MATLAB制作的用戶界面人工操作，用戶通過主頁面選擇所需功能，進(jìn)入各功能頁面后完成各函數(shù)讀取目標(biāo)，完成函數(shù)識(shí)別與圖像的合成。整個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)的流程如圖4。圖4仿真流程圖設(shè)置個(gè)控件屬性編輯各方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)開 始掃描各輸入?yún)?shù)的調(diào)用comet9函數(shù)進(jìn)行合成送用axes顯示圖像結(jié) 束4.結(jié)束語該實(shí)驗(yàn)通過MATLAB制作，利用MATLAB作為仿真平臺(tái)，動(dòng)態(tài)顯示多個(gè)不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)、互相垂直的不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)、三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，讓學(xué)生能在計(jì)算機(jī)上形象直觀的認(rèn)識(shí)并掌握三維的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成圖象，

10、尤其是多個(gè)、稍大頻率的李薩如圖形的合成，得出大頻率李薩如圖形仿真實(shí)驗(yàn)圖象。參考文獻(xiàn)：1百度文庫.示波器知識(shí)百問EB/OL. 2011-1-12. 2馬文蔚等.物理學(xué)M. 北京市:高等教育初版社2001:134-136.3藍(lán)海江.多個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成J.廣西科學(xué)院學(xué)報(bào),2009,1:22-25.4 王寧星.拍圖形的對(duì)稱性J. 廣州大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，1(5)：89-91.5吳俊，張毓麟，晏世雷等.三個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的拍現(xiàn)象和實(shí)驗(yàn)儀J.物理與工程，2008(03):38-39.6劉慧，王玉連，李勇. MATLAB在簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成教學(xué)中的應(yīng)用J.科技信息博士·專家論壇， 2010(20)：43

11、4-436.7熊德永，馬慧.互相垂直同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成軌跡方程的推導(dǎo)J.安徽科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2012(02)：278康文秀.三維李薩如圖J.物理與工程， 2004(01):11-12.9張國(guó)輝.基于MATLAB的函數(shù)作圖J.湖南城市學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，18(1):35-37.Study on composograph of simple harmonic vibration using MATLABGU Xiao-qi, ZHOU Xiu-wen, Huo hu*,TIAN Zhen-guo(College of science, Beijing Forestry University, Be

12、ijing 100083, China)Abstract: Based on MATLAB programming ,producing the GUI user interface. User inputs parameters and could get one-dimensional, two-dimensional harmonic synthesis of graphics,and to study the effect of diffe- rent parameters on the composition of simple harmonic vibration effects,

13、observation of synthetic image changes.On this basis,using MATLAB to achieve three-dimensional composition of simple harmonic vibra- tion simulation experiment. Keywords: MATLAB; harmonic vibration; synthesis; dynamic demonstration全文總字?jǐn)?shù):3308;谷曉琪 Gu Xiaoqi 出生年：1991年出生地：黑龍江省雞西市工作單位：北京林業(yè)大學(xué)；通信地址：北京市海淀區(qū)清華東路35號(hào)北京林業(yè)大學(xué)；郵編：100083；聯(lián)系電話E-mail：a410427843周修文 Zhou Xiuwen出生年：1992年出生地：山東省青島市工作單位：北京林業(yè)大學(xué)；通信地址：北京市海淀區(qū)清華東路35號(hào)北京林業(yè)大學(xué)；郵編：100083；聯(lián)系電話E-mail：zhouxiuwen0323田振國(guó) Tian