絕對(duì)值與一元一次方程(含問題詳解)-

1、實(shí)用文檔絕對(duì)值與一元一次方程知識(shí)縱橫絕對(duì)值是初中數(shù)學(xué)最活躍的概念之一，？能與數(shù)學(xué)中許多知識(shí)關(guān)聯(lián)而生成新的問題，我們把絕對(duì)值符號(hào)中含有未知數(shù)的方程叫含絕對(duì)值符號(hào)的方程，簡(jiǎn)稱絕對(duì)值方程.解絕對(duì)值方程的基本方法有：一是設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為常見的方程求解；一是數(shù)形結(jié)合，借助于圖形的直觀性求解.前者是通法，后者是技巧.解絕對(duì)值方程時(shí)，常常要用到絕對(duì)值的幾何意義，去絕對(duì)值的符號(hào)法則，？非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、絕對(duì)值常用的基本性質(zhì)等與絕對(duì)值相關(guān)的知識(shí)、技能與方法例題求解【例1】方程I 5x+6 =6x-5的解是.（2000年重慶市競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥設(shè)法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將原方程化為一般的一元一次方程來求

2、解.解:x=11提示：原方程5x+6=（6x-5）或從5x+6R0、5x+60討論.【例2適合| 2a+7 + 2a-1=8的整數(shù)a的值的個(gè)數(shù)有（）.A.5B.4C.3D.2（第11屆“希望杯”邀請(qǐng)賽試題 ）思路點(diǎn)撥用分類討論法解過程繁瑣，仔細(xì)觀察數(shù)據(jù)特征，借助數(shù)軸也許能找到簡(jiǎn)捷的解題途徑.解：選B提示：由已知即在數(shù)軸上表示2a的點(diǎn)到-7與+1的距離和等于8, ?所以2a表示-7到1之間的偶數(shù).【例3】解方程：x- 3x+1=4;（ 天津市競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥從內(nèi)向外，根據(jù)絕對(duì)值定義TIe質(zhì)簡(jiǎn)化方程.解:x=- 5或x=3 提示：原方程化為x- 3x+1=4或x- | 3x+1 =-442【例4】

3、解下列方程(1) x+3 - x-1=x+1;( 北京市“迎春杯”競(jìng)賽題)(2) x-1+ x-5=4.( “祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題 )思路點(diǎn)撥解含多個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的方程最常用也是最一般的方法是將數(shù)軸分段進(jìn)行討論，采用前面介紹的“零點(diǎn)分段法”分類討論；有些特殊的絕對(duì)值方程可利用絕對(duì)值的幾何意義迅速求解.解：(1)提示：當(dāng)x-3時(shí)，原方程化為x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;當(dāng)-3 Wx1時(shí)，原方程化為x+3-(x-1)=x+1,得x=3.綜上知原方程的解為x=-5,-1,3.(2) 提示：方程的幾何意義是，數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到表示數(shù)1及5的距離和等于4,畫 出數(shù)軸易得滿足條件的數(shù)為1 wxw

4、 5,此即為原方程的解.【例5】已知關(guān)于x的方程1 x-2+ x-3 =a，研究a存在的條件，對(duì)這個(gè)方程的解進(jìn)行討論.思路點(diǎn)撥方程解的情況取決于 a的情況,a與方程中常數(shù)2、3有依存關(guān)系，這種關(guān)系決定了方程解的情況，因此，探求這種關(guān)系是解本例的關(guān)鍵 ，？運(yùn)用分類討論法或借助數(shù)軸 是探求這種關(guān)系的重要方法與工具，讀者可從兩個(gè)思路去解.解：提示：數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到數(shù)軸上表示數(shù) 2,3的點(diǎn)的距離和的最小值為1,由此可得方程解的情況是：(1) 當(dāng)a1時(shí)，原方程解為x=5二a;2(2) 當(dāng)a=1時(shí)，原方程解為2W x 3;(3) 當(dāng)a0,b0,則使| x-a + x-b =a-b成立的x的取值范圍是

5、.（武漢市選撥賽試題）14 .若0Vxnk B.nkm C.kmn D.mkn17 .適合關(guān)系式I 3x-4+ 3x+2 =6的整數(shù)x的值有（）個(gè).A.0B.1C.2 D.大于2的自然數(shù)18 .方程 1 x+5 -3x-7 =1 的解有（）.A.1 個(gè) B.2個(gè)C.3 個(gè) D.無數(shù)個(gè)19 .設(shè)a、b為有理數(shù)，且1 a 0,方程| | x-a -b =3有三個(gè)不相等的解，？求b的值.（“華杯賽”邀請(qǐng)賽試題）20.當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，關(guān)于x的方程1 x-2x-5=a有一解？有無數(shù)多個(gè)解？無解？三、綜合創(chuàng)新21 .已知1 x+2 + 1-x =9- y-5- 1+y 1 ,求x+y的最大值與最小值.

6、(第15屆江蘇省競(jìng)賽題)22 .(1)數(shù)軸上兩點(diǎn)表示的有理數(shù)是a、b,求這兩點(diǎn)之間的距離；(2) 是否存在有理數(shù)x,使| x+1 + x-3=x?(3) 是否存在整數(shù) x,使1 x-4+ x-3+ x+3 + x+4 =14?如果存在，？求出所有的整數(shù)x;如果不存在，說明理由【學(xué)力訓(xùn)練】(答案)1. 10、2 或 0 2.0 或-1 3.574 .-1,a 0 提示：由 1 a+1 = a +1 得 ax 1 0,即 a05 .D 6.B 7.A 8.D9 .(1)x=3 或 x=l;3(2)x=9 或 x=- 3 ;7(3)x=- 4 或 x=2;3(4)提示：分x-1、-1 x-、 ？ -

7、 x x2四種情況分別去掉絕對(duì)值符號(hào)解方22程，當(dāng)考慮到-x2時(shí)，？原方程化為(2x-1)-(x-2)=x+1, 即1=1,這是一個(gè)恒等式2說明凡是滿足 1W xw 2的x值都是方程的解.210 .當(dāng)k0時(shí)，原方程無解；當(dāng)k=0時(shí)，原方程有兩解：x=-1或x=-5;當(dāng)0k2時(shí)，原方程有兩解：x+3= 2( ? 2+k).11 . 5 12.1-x 13.bxa 提示：利用絕對(duì)值的幾何意義解.14.7、21提示：當(dāng)0Vx3時(shí)，則有| x-3=3-x=a,a的解是1,2;當(dāng) 3Wx10 時(shí)，則有 1 x-3=x-3=a,a 的解為 0,1,2,3,4,5,615.D提示:mW0 16.A 17.C 提示:-2 3x4 18.B19 .提示：若b+3、b-3都是非負(fù)的，而且如果其中一個(gè)為零，則得3個(gè)解；如果都不是零，則得4個(gè)解，故b=3.20 .提示：由絕對(duì)值幾何意義知：當(dāng)-3a3或a-3時(shí)，方程無解.21 .提示：已知等式可化為：| x+2 + x-1+ y+1+ y-5=9