三維立體與二維投影

1、三維立體與二維投影三維和二維之間存在著一種重要關(guān)系,這就是立體和投影的關(guān)系.三維立體被光線照射,會在二維的面上投下它的陰影,即投影.投影的形狀取決于原來立體的形狀.比方說,一個球體的投影是一個圓或者橢圓.不過,如果投影是一個圓面,就不能反推形成這個投影的那個立體肯定 是一個球.原來的立體可能是一個圓柱,也可能是一個圓錐.投影顯示的只是從某一個方向照射所得到的形狀.換句話說,投影截取到的僅僅是原來立體所具有的局部信息,而不是全部信息,所顯示的原來立體的樣子是“不完全的.古希臘的哲學(xué)家柏拉圖公元前 427前347曾在公元前360年發(fā)表 過一部叫做?理想國?的著作,其中寫有一個非常著名的“洞窟比喻.

2、從小就囚禁在洞窟內(nèi)的囚徒只看見過映照在洞壁上的影子,他以為那影子就是全部世界,終其一生也不知道投下那影子的立體的真實樣子.柏拉圖用這個比喻來表達他的一個思想,即只憑經(jīng)驗來思考什么是真實的人,就猶如這名囚徒.“我們只看見了投影.柏拉圖用這句話來勸誡人們, 要把目光從洞壁轉(zhuǎn)向洞外,才能求得“真知柏拉圖稱之為“理想.柏拉圖的這些話,對于人類挑戰(zhàn)“宇宙究竟有多少維這個大課題,也 具有十分重要的意義.柏拉圖說：“我們看見的這個世界也許是一個投影小結(jié)柏拉圖的“洞窟比喻柏拉圖在其?理想國?一書中所寫的“洞窟比喻的大致意思如下：“從小就被囚禁在洞窟中的囚徒只能看見洞壁無法看到后面.他們以為 洞壁上的影子就是全

3、部世界,把影子當(dāng)成真實的物體.只有解除囚禁, 把目光投向洞窟的外面,才有可能求得真知理想.投影顯示的僅僅是立體的“橫斷面設(shè)想一個【平頭改錐螺絲刀】的頭部,光線從上向下照射時沿著 z軸方向,得到的投影是一個【圓】；光線從后向前照射時沿著y軸方向,得到的投影是一個 【正方形】； 光線從左向右照射時沿著x軸方向,得到的投影是一個 【三角形】. 也就是說,投影只截取到物體所具有的信息中屬于較低維度的一局部信 息.例如“測量身高,是將三維降低為一維的投影.我們所見到的是否是真實的立體位于眼球深處的“視網(wǎng)膜是接受來自外界光線的一個屏幕.左右眼球相隔一定的距離,因此,同一物體映照在左眼和右眼視網(wǎng)膜上的二維圖

4、像并不相同.大腦會根據(jù)這種微小的差異補上遠近信息.我們看到的三維圖像其實是大腦重新構(gòu)建的一種“間接三維圖像.從上面兩幅圖中 能看出什么二維世界與三維世界又有什么不同呢二維世界是一個面,如前面所介紹的,這上面可以有三角形、四邊形和圓等具有面積的各種圖形平面圖形.上升到三維空間,那么又有了體積的“立體平面圖形有各種不同的形狀, 立體,也是有立方體、球、三角錐、圓錐、正四面體等等各式各樣的形狀.立體有一個在二維不可能有,必須是在三維才具有的特性,那就是,立體可以具有“貫穿的孔洞管子.輪胎的形狀環(huán)就是具有貫穿孔洞的一個立體.有手柄的茶杯,也是一個有貫穿孔洞穿進手指的局部的立體.二維世界的圖形是絕不可能

5、有貫穿孔洞的.例如正方形,你可以從它的上邊向下剜去一局部,得到一個“凹字的圖形.但是假設(shè)向下剜得太深,穿過了正方形的下邊,你得到的經(jīng)不會是一個圖形,而是把原來的正方形分割成了兩個長方形.在三維可以有“環(huán)和“扭結(jié)立體“有體積,此外還具有二維所沒有的其他特性.比方說,三維中的具有貫穿孔洞的圖形環(huán),如輪胎的形狀,還有通過穿插所形成的扭結(jié)圖形 例如,國人過年過節(jié)時所喜愛的立體穿插的紅色【中國結(jié)】,這些都是在二維中所不可能有的. 由此可見,立體要比平面圖形復(fù)雜得多.在三維空間,不僅有【立體】,同時也可以有【二維的面】、【一維的 線】和【零維的點】.事實上,維數(shù)較多的空間內(nèi)部總是包含了維數(shù)比它要低的空間.

6、“立體,比平面圖形復(fù)雜得多三維的這個特性對于我們?nèi)祟悓嵲谑翘匾?要知道,我們?nèi)梭w就是一個“具有貫穿孔洞的立體.這個貫穿的孔洞一一你當(dāng)然馬上就可以想到,那就是從口向下直延伸至肛門的消化道.從受精卵到形成胎兒的身體,這個過程叫做“發(fā)育.在人體發(fā)育過程中有一件非常重要的事情,那就是在大量細(xì)胞聚集形成 的胚胎上向開出一個孔洞肛門,然后逐漸向內(nèi)延伸,直到在貫穿處 形成口.如果是二維世界的話,這個孔洞一貫穿,人體就會被分為兩半.在這種意義上,人的誕生還要多虧三維世界有這樣一個特性呢.小結(jié)三維世界中的“立體長方體、球、環(huán)、圓錐、有扭結(jié)立體穿插的立體人體與“維人是身體有貫穿的消化道的生物 也有像海葵那樣的

7、沒有貫穿消化道的 生物.貫穿身體的消化道,這只能是在三維世界可以有, 而在二維世界不可能有的結(jié)構(gòu).這是由于,在二維身體上開一個貫穿消化道的話,身體就會被分割成兩半.二維人無法形成消化道人體會被消化道分割成兩半三維人形成消化道擴展閱讀：“二維的特性輔助資料：克萊因瓶莫比烏斯帶Soliton一維世界和二維世界有什么不同呢在一維世界線,兩個區(qū)域A和B,可加以比擬的量只有它們的長度.然而在二維世界就不同了.二維世界面中的兩個區(qū)域 A和B,可以比擬它們的面積.不僅如此,除了面積,還可以比擬兩個區(qū)域的另一個特征,這就是“形狀.在二維世界,有三角形、四邊形、圓、橢圓等等,甚至曲線所包圍不規(guī)那么圖形,而一維世

8、界就不會有這種種“形狀利用二維所具有的這種性質(zhì)我們可以玩拼圖游戲.把一幅圖畫剪開成假設(shè)干局部拼塊,要求把它們重新拼合成一幅完整的圖畫.在這種拼圖游戲中,游戲者必須注意觀察每一個拼塊的形狀,想想應(yīng)該把哪一個拼塊與哪一個拼塊拼接,反復(fù)嘗試.如果來玩“一維版的這種游戲的話,那就是把一根繩子截斷成長短不同的假設(shè)干小段,再嘗試把它們重新連接成一根繩子.玩這種“一維版游戲肯定索然無味.每一小段繩子雖然長度不同, 但是每一形狀,無論把它們根據(jù)什么順序連接,都可以連接成一整根繩子.研究形狀的數(shù)學(xué)叫做“幾何學(xué),這是在一維不會有的一門數(shù)學(xué),只有二維才會有幾何學(xué).除了形狀,還有“角度、“旋轉(zhuǎn)等,也都是在二維世界才具

9、有意義的概念.在一維世界只能進行“速滑溜冰,而無法進行“把戲溜冰.“二維,有了 “形狀小結(jié)：“維與“形狀一維線上的一個區(qū)域只有“長度這一個量, 此外再沒有其他信息.二維面上的一個區(qū)域有“面積這個量,同時也就有了關(guān)于“形狀的信息.形狀是在二維和二維以上的世界才有的概念.拼圖游戲與“維把一根繩子截斷成假設(shè)干小段,然后重新將它們連接成整根繩子.玩這種游戲一維版拼圖游戲,無論怎樣連接都能成功,一點也引不起興趣.拼圖游戲的趣味在于要判斷“形狀,只有在二維和二維以上的世界才會有好玩的拼圖游戲.一維拼圖游戲和二維拼圖游戲條形碼是在水平方向并列著許多黑白條紋的暗碼,其中隱藏著數(shù)字和文字信息.近年來又出現(xiàn)了一種

10、比條形碼更加復(fù)雜的“二維碼,在水平方向和垂直方向都隱藏有信息.因此,二維碼隱藏的信息要比條形碼多得多.例如,我國的火車票防偽技術(shù),幾年前采用的是“一維的條形碼技術(shù),而現(xiàn)在,那么采用了 “二維碼技術(shù).維的定義“維 dimension 是用來描述空間或圖形的廣延性或者復(fù)雜程度的一個概念.這個“維的概念,早在公元前的古人經(jīng)已經(jīng)有了.被尊為“幾何學(xué)鼻祖的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德活潑在公元前300年前后,在其?幾何原本?一書中就對點、線、面和立體等給出了嚴(yán)格的定義：立體的截口末端是“面面的截口末端是“線線的截口末端是“點古希臘的哲學(xué)家亞里士多德活潑在公元前 350年前后,那么在其所著的?論天?一書中寫道：立

11、體已經(jīng)到達極致,不會有超過三維的高次維存在.許多人都知道“我思故我在這句名言, 正是說這話的法國哲學(xué)家笛卡爾萊恩笛卡爾,1596-1650確立了 “坐標(biāo)的概念.笛卡爾對“維所下的定義是：“確定位置所必需的數(shù)值的個數(shù).據(jù)傳說,笛卡爾是在注視房間里飛行的昆蟲時想到了確定昆蟲的位置必須要用到3個數(shù)值.根據(jù)笛卡爾的坐標(biāo)概念來對“維下定義,“維是“確定位置所必需的數(shù)值的個數(shù).維的個數(shù)與能夠?qū)⒁粋€點在其上移動的坐標(biāo)軸的數(shù)目自由度是一致的.根據(jù)笛卡爾的定義,那么,在沒有大小的“點的內(nèi)部無所謂位置,因而點是零維.零維的“點確定某一位置只需要零個數(shù)值不需要確定位置自由度為零不能向任何方向移動“直線有幾維呢只要知

12、道了直線上某一點到被選定為基準(zhǔn)的另一點的距離,即只需一個數(shù)值,就可以確定該點的位置,因而直線是一維.不限于直線,曲線也是如此,所以曲線也是一維.一維的“線 確定某一位置必須要1個數(shù)值例如,x=2自由度為1 只能在x軸方向移動“方格紙,只要知道了紙面上任意一點所在的縱線和橫線的標(biāo)度兩個數(shù)值,就確定了該點的位置,因而是二維.球形的“地球外表也是這樣, 用緯度和經(jīng)度兩個數(shù)值就能夠確定地球外表任一點的位置,因而也是二維.二維的“面確定某一位置必須要二個數(shù)值例如,x=4,y=3 自由度為2 能夠在x方向和y方向移動二維的“球面確定某一位置必須要兩個數(shù)值例如,緯度=30° ,經(jīng)度=40°

13、; 自由度為2 能夠在緯度方向和經(jīng)度方向移動那么,我們生活在其中的這個空間有幾維呢飛機或?qū)Ш较到y(tǒng)所使用的 GPS 全球定位系統(tǒng)要用緯度、經(jīng)度和標(biāo)高三個數(shù)值來確定當(dāng)前所在的位置.即使太陽系和銀河系這樣的大尺度空間,只要坐標(biāo)選擇適宜,也可以用三個數(shù)值來表示空間中的位置.由此可以說我們生活在其中的這個空間有三維.三維的“空間確定某一位置必須要3個數(shù)值例如,x=6, y = 3, z = 3自由度為3 能夠在x軸方向,y軸方向和z軸方向移動什么是維愛因斯坦指出,我們這個宇宙是一個“四維時空,在具有長、寬、高三維的空間之上,還需要加上時間這個“第四維.愛因斯坦的這種宇宙觀也受到了挑戰(zhàn),有幾種突破性的理論

14、如今正在備受科學(xué)家們的關(guān)注,具要點為：“宇宙也許還存在著第五維這些理論現(xiàn)在受到特別關(guān)注并非沒有理由： 2021年一臺最新的加速器已投入運行,2021年該加速器所進行的一系列實驗,引起了科學(xué)界的廣泛關(guān)注.如果那個看不見摸不著的“第五維 一旦得到證實,對人類觀念造成的沖擊絕不會亞于哥白尼的地動說和愛因斯坦的相對論.根據(jù)近年來對書籍、報刊、網(wǎng)絡(luò)等有關(guān)各方聚集的資料,嘗試性地探討以下命題：宇宙究竟有幾維“維 dimension 是用來描述空間或圖形的廣延性或者復(fù)雜程度的一個概念.這個“維的概念,早在公元前的古人經(jīng)已經(jīng)有了.被尊為“幾何學(xué)鼻祖的古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德活潑在公元前300年前后,在其?幾何原本

15、?一書中就對點、線、面和立體等給出了嚴(yán)格的定義：立體的截口末端是“面面的截口末端是“線線的截口末端是“點古希臘的哲學(xué)家亞里士多德活潑在公元前350年前后,那么在其所著的?論天?一書中寫道：立體已經(jīng)到達極致,不會有超過三維的高次維存在.許多人都知道“我思故我在這句名言,正是說這話的法國哲學(xué)家笛卡爾萊恩笛卡爾,1596-1650確立了 “坐標(biāo)的概念.笛卡爾對“維所下的定義是：“確定位置所必需的數(shù)值的個數(shù).據(jù)傳說,笛卡爾是在注視房間里飛行的昆蟲時想到了確定昆蟲的位置必須要用到3個數(shù)值.根據(jù)笛卡爾的坐標(biāo)概念來對“維下定義,“維是“確定位置所必需的數(shù)值的個數(shù).維的個數(shù)與能夠?qū)⒁粋€點在其上移動的坐標(biāo)軸的數(shù)

16、目自由度是一致的.根據(jù)笛卡爾的定義,那么,在沒有大小的“點的內(nèi)部無所謂位置,因而點是零維.零維的“點確定某一位置只需要零個數(shù)值不需要確定位置自由度為零不能向任何方向移動“直線有幾維呢只要知道了直線上某一點到被選定為基準(zhǔn)的另一點的距離,即只需一個數(shù)值,就可以確定該點的位置,因而直線是一維.不限于直線,曲線也是如此,所以曲線也是一維.一維的“線確定某一位置必須要1個數(shù)值例如,x=2自由度為1 只能在x軸方向移動“方格紙,只要知道了紙面上任意一點所在的縱線和橫線的標(biāo)度兩個數(shù)值,就確定了該點的位置,因而是二維.球形的“地球外表也是這樣, 用緯度和經(jīng)度兩個數(shù)值就能夠確定地球外表任一點的位置,因而也是二維

17、.二維的“面確定某一位置必須要二個數(shù)值例如,x=4,y=3 自由度為2 能夠在x方向和y方向移動二維的“球面確定某一位置必須要兩個數(shù)值例如,緯度=30° ,經(jīng)度=40° 自由度為2 能夠在緯度方向和經(jīng)度方向移動那么,我們生活在其中的這個空間有幾維呢飛機或?qū)Ш较到y(tǒng)所使用的 GPS 全球定位系統(tǒng)要用緯度、經(jīng)度和標(biāo)高三個數(shù)值來確定當(dāng)前所在的位置.即使太陽系和銀河系這樣的大尺度空間,只要坐標(biāo)選擇適宜,也可以用三個數(shù)值來表示空間中的位置.由此可以說我們生活在其中的這個空間有三維.三維的“空間確定某一位置必須要3個數(shù)值例如,x=6, y = 3, z = 3 自由度為3 能夠在x軸方向

18、,y軸方向和z軸方向移動關(guān)于空間的思考一,空間是什么空間是什么對于這個問題的思考,古人,今人,中國人,外國人都沒有停 息過,而且將來也不會停息.由于到現(xiàn)在為止,我們對空間的熟悉依然很淺薄.那 么空間到底是什么呢 二,前人的思考數(shù)學(xué)家,物理學(xué)家,天文學(xué)家都努力為揭開它的神秘面紗工作過或是正在 努力.尤其是理論物理學(xué)家,他們給與空間最前沿的解釋.牛頓的時空觀,以及愛 因斯坦對時空的解釋是其中兩個最典型的代表.牛頓認(rèn)為空間是絕對的,就像一個空的容器,它與物質(zhì)是相互割裂的,與物質(zhì)的運動也是沒有關(guān)系的.曾經(jīng)在很長 一段時間里,這種思想占據(jù)著絕對的統(tǒng)治地位.他的這種思想和符合我們的常識, 也很容易理解,就

19、像亞里斯多德的重物先落地的道理一樣,是常識欺騙了我們.對 牛頓的絕對時空觀進行大規(guī)模修正的是愛因斯坦的相對時空觀.他認(rèn)為空間,時間,物質(zhì)三者是緊密相聯(lián)的.三者之間符合相對論的原理.時間可以由于物體的 運動而膨脹,空間那么由于物質(zhì)的運動而被壓縮.這里的空間已經(jīng)不是牛頓的絕對 空間,永遠不變化,而是可以變化的.它隨著物質(zhì)運動而改變,成為一種相對的空 問.他們兩個對空間的表現(xiàn)進行了理論的闡述,也是對空間外表的熟悉,對其本質(zhì) 的熟悉和空間的起源沒有明確的答復(fù).對空間起源問題的思考,最多的要數(shù)天文學(xué)家,他們一邊觀測宇宙中發(fā)生的事情, 一邊思考宇宙的起源.現(xiàn)在,在天文學(xué)家中占主要地位的理論是大爆炸理論.這

20、 個理論認(rèn)為宇宙有一個宇宙蛋的爆炸產(chǎn)生,現(xiàn)在仍然在膨脹著.對宇宙背景輻射 的觀測為這一理論提供的強大而有力的支持.并且,大爆炸理論因此成為最普遍 接受的理論.又有一個問題出現(xiàn)了 ：既然有蛋,那么下蛋的雞在哪里呢這就涉及 一個起源的起源問題.三,我的心中的世界根據(jù)我們現(xiàn)在的熟悉,宏觀的空間是無限的.如果我們從微觀的角 度來看,空間是否可以無限小呢量子力學(xué)的最小空間尺寸是10-34米,那么比 10-34米更顯得空間是否存在呢如果存在,優(yōu)惠是什么樣子呢向我們現(xiàn)在的世 界我們這個世界的規(guī)律還成立嗎物質(zhì)在這么一個空間內(nèi)的表現(xiàn)形態(tài)是什么樣關(guān)于空間的問題實在太多！其中有一個與物質(zhì)的本質(zhì)有關(guān).我們知道, 宇宙

21、中的物質(zhì)在整個宇宙中占的體積比例很小, 絕大局部是空的.我們的物質(zhì)也 是由“松散的粒子框架組成,說它“松散是由于粒子分子,原子之間的距 離相對于粒子的體積也很大.在看原子的內(nèi)部就更加空了,如果把原子比作一幢 大樓,那么其中的電子和原子核的體積加起來都不到一個乒乓球大.如果在這么下去,把原子核和電子再拆分,拆得越細(xì),我們就會看到我們所依托的物質(zhì)在宇 宙中占據(jù)的空間越是渺小,也許分割到某種程度之后,我只將與真空相互交融, 也就是物質(zhì)與真空的界面將變得模糊不清o 就像我們對氣體液化一樣,在相平衡 線以外的狀態(tài)時將無法區(qū)分液體與氣體, 他們已經(jīng)不分彼此.如果這樣,我們的 物質(zhì)世界不就是建立在一個不存在

22、的根底之上的嗎那樣真實太令人恐怖了.而實際上這種想法又有點杞人憂大, 從宏觀上看,物質(zhì)與空間去表現(xiàn)出一種割裂的 狀態(tài),表現(xiàn)了水火不相容的的性質(zhì).物質(zhì)雖然占據(jù)一定的空間,但同時她也在排 斥周圍的空間,與周圍的空間格格不入,就像木頭放在水里,把周圍的水排開.那么到底那種觀點對呢這需要物理學(xué)的進一步開展, 對宏觀世界和微觀世界不 斷的探索,最需要革命性的理論和發(fā)現(xiàn).由于現(xiàn)在的物理學(xué)對微觀世界的研究, 其步伐越來越艱難,條件要求越來越苛刻,幾乎走進了死胡同.近三十年來,微 觀和宏觀的重大發(fā)現(xiàn)幾乎沒有,研究所依據(jù)的原理和工具都陳舊了, 所以我們熱 切地呼喚一次物理學(xué)的革命.四.我們可能被欺騙了我們熟悉這個世界絕大多數(shù)途徑是通過我們的眼睛,借助光線來了解一 個物體的形狀,大小,顏色等特征.也可以通過手來直接感覺.我們不禁要問, 光線和手不會欺騙我們嗎答案是肯定的, 確實有些虛假的東西欺騙了我們,那 么我看到的實實在在的東西就一定很實在嗎讓我自己比上眼睛像一想：所看到的到底是什么樣子的時候,就覺得它雖然存在,但是我卻無法熟悉它,但我用手 觸摸它的時候,能感到它的確實確存在,但我松開手,閉上眼睛再想的時候,突 然覺得可以熟悉了,但是再