雙曲線題型歸納含答案

1、2例1設(shè)P是雙曲線篤a二、典型例題選講（一）考查雙曲線的概念2=1上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為 3x2y =0, F1、F29分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)若| PFi |=3，則 |PF2(C. 7D. 9a的值，利用雙曲線的定義求出A. 1 或 5B .分析：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出漸近線方程，兩個(gè)方程對(duì)比求出| PF2 |的值.22解：；雙曲線 務(wù)-丄 1漸近線方程為y=_2x，由已知漸近線為3x-2y=0,a 9aa = _2,. |PFi| -|PF2| = 4 , |PF? |二 _4 | PF“ |.；PF1| = 3,|PF2| 0 , IPF2 7.故選C.歸納小結(jié)：本題考查雙曲線的定

2、義及雙曲線的漸近線方程的表示法.（二）基本量求解例2（2009山東理）設(shè)雙曲線2 x 2 a2卑=1的一條漸近線與拋物線b2y = x2 1只有一個(gè)公共則雙曲線的離心率為（,52解析：雙曲線2x2a2y_b2-1的一條漸近線為K二一X，由方程組abv xa ，消去y,得y = x21x2-一x V = 0有唯一解，所以 =()2 -4 = 0 , a所以-=2acJa2 +b2e =a2i (5，故選D.歸納小結(jié)：本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，只有一個(gè)公共點(diǎn)，則解方程組有唯一解. 本題較好地考查了基本概念、 基本方法和基本技能.2 2例3 （2009

3、全國I理）設(shè)雙曲線-x V2 = 1 （a> 0, b> 0）的漸近線與拋物線 y=x?+1相切, a b則該雙曲線的離心率等于 （）A.、3B.2 C.,5 D.解析：設(shè)切點(diǎn)P（x0,y0），則切線的斜率為'Voy |xk= 2xo 由題意有 = 2xo 又有Xo2yo = xo1，聯(lián)立兩式解得2XoP=2,e = Jl+(b)2 =亦.a- a因此選c.2 2例4 （2oo9江西）設(shè)R和F2為雙曲線 篤-每=1（a o,b o）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若 F2 ,a bP（o,2b）是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（解析：由tan 6 = 2bD. 3C. 3=2，故選B

4、. a歸納小結(jié)：注意等邊三角形及雙曲線的幾何特征，從而得出tan C 3 ,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)6 2b 3合思想的應(yīng)用.（三）求曲線的方程2 2 _例5 （2oo9，北京）已知雙曲線C:篤-篤=1（a o,b o）的離心率為.3，右準(zhǔn)線方程a b（1）求雙曲線C的方程;（2）已知直線X-y，m=o與雙曲線 C交于不同的兩點(diǎn) A, B，且線段 AB的中點(diǎn)在圓x2 y2 =5上，求m的值.分析：(1 )由已知條件列出a,b,c的關(guān)系，求出雙曲線 C的方程；(2)將直線與雙曲線方程聯(lián)立，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)在圓上求出m的值.a2乜I =解：(1)由題意，得c 3，解得a =1,c = .3.|/3a2 二b

5、2二c2-a2=2 ,所求雙曲線 C的方程為x2-*1 .2(2)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 xi, y1 , x2,y2，線段AB的中點(diǎn)為M x0, y0 ,2|x2 丄 y由*2 得 x22mx m2-2 =0 (判別式 >0),X + y + m = 0x1 +x2丄c X。- 一二 m, yo =x° m =2m ,2點(diǎn) M xo, yo 在圓 x2 y2 =5上，2 2- m2m 5, m = 1.由2，兩式相減得另解：設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 羽，比，X2,y2，線段AB的中點(diǎn)為M xo,y。,1(x1 x/xrx2)-® y2)(y1-y2)9由直線的斜率

6、為1, xo=7,yo= 3 代入上式，得 yo=2x°.2 222又M(y°,x°)在圓上，得y。 xo -5，又M(y°,x°)在直線上，可求得 m的值.歸納小結(jié)：本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)， 考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力.x2 y2例6過M (1,1)的直線交雙曲線1于a, B兩點(diǎn)，若M為弦AB的中點(diǎn)，求直線42AB的方程.分析：求過定點(diǎn)M的直線方程，只需要求出它的斜率為此可設(shè)其斜率是k，利用M為弦AB的中點(diǎn)，即可求得k的值，由此寫出直線 AB的方程.也可設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)用“

7、點(diǎn)差法”求解.解法一：顯然直線 AB不垂直于x軸，設(shè)其斜率是k，則方程為y 1=k(x 1).2 2x y 4|11111Iooo由 42 消去 y 得(12k)x 4k(1k)x2k 4k6=0y-仁k(x-1)設(shè)A(x1,y1), B(x2, y2)，由于M為弦AB的中點(diǎn)，所以xi生/豹為)"所以k.21-2k21顯然，當(dāng)k時(shí)方程的判別式大于零.21所以直線AB的方程為y -1(x -1)，即x-2y 1 =0 .2解法二：設(shè) A(x1,y1), B(x2,y2)，則 242=1=1Y1 22y22一得 任X2)(x! X2)-2(力y2)(y1 y2)=0.又因?yàn)?x1 X2

8、=2, *目2=2，所以X1-X2 =2(y1 -y?).右 X1 = X2,則 丫1 = 丫2，由 X1 X2 = 2,y1 y = 2 得 x= x= 1, y1= y2= 1.則點(diǎn)A B都不在雙曲線上，與題設(shè)矛盾，所以 論=x2.力一丫2X1 X21所以直線AB的方程為y -1 (x -1)，即x-2y 1 =0 .2經(jīng)檢驗(yàn)直線x -2y 1 = 0符合題意，故所求直線為 x -2y 1 = 0 .解法三：設(shè)A ( x, y )，由于A、B關(guān)于點(diǎn)M (1, 1)對(duì)稱，所以B的坐標(biāo)為(2 x,2-y ),(2-x) 2x2(2-y)22消去平方項(xiàng),x-2y 1=0 .即點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程，

9、同理點(diǎn) B的坐標(biāo)也滿足方程.故直線AB的方程為x _2y 0 .歸納總結(jié)：由于雙曲線（拋物線）不是“封閉”的曲線，以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦不一定存在，所以在求雙曲線（拋物線）中點(diǎn)弦方程時(shí)，必須判斷滿足條件的直線是否存在.（四）軌跡問題X y2例7已知點(diǎn)R（xo,y。）為雙曲線 2 =1（ b為正常數(shù)）上任一點(diǎn)，F(xiàn)2為雙曲線的右8b b焦點(diǎn)，過R作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，連接F2A并延長交y軸于F2.求線段R F2的中點(diǎn)P的 軌跡E的方程.P是線段R F2的中點(diǎn)，可利分析：求軌跡問題有多種方法，如相關(guān)點(diǎn)法等，本題注意到點(diǎn)用相關(guān)點(diǎn)法.解：由已知得F2（3b,0）, A（8b, y0），則直線3F2A的方程

10、為:3 yoy(x-3b).令 x=0得 y=9y°，即 F2(0,9y。).設(shè)P( x, y),則彳y =x（0 =2x即v代入y0蔦2X。28b2b22y0 =1 得:4x28b22=1. (x R)即P的軌跡E的方程為222b225b2歸納小結(jié)：將幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系是解析幾何常用方法.（五）突出幾何性質(zhì)的考查2例8（2006江西）P是雙曲線 -9器1的右支上一點(diǎn)，M,N分別是圓（x 5）2 y4和（x -5）2 y2 =1上的點(diǎn)，則|PM| - | PN |的最大值為（A.6B.7C.8D.9解析：雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F" -5,0）與F2 （5,0）恰好是兩圓的圓心

11、，欲使 | PM k I PN |的值最大，當(dāng)且僅當(dāng)IPM I最大且|PN I最小，由平面幾何性質(zhì)知，點(diǎn)M在線段PF1的延長線上,點(diǎn)N是線段PF?與圓的交點(diǎn)時(shí)所求的值最大此時(shí) |PM I|卩“|=(卩可+2)(PF21) =|PF, PF2 +3 = 9 因此選 D.例9( 2009重慶)已知以原點(diǎn)0為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為x 5 ,離心率e = '、5 5(1) 求該雙曲線的方程；(2) 如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(i、5,0) , B是圓X25)2 =1上的點(diǎn)，點(diǎn)M在雙曲線右支上，求 MA + MB的最小值，并求此時(shí) M點(diǎn)的坐標(biāo)分析：(1)比較基礎(chǔ)，利用所給條件可求得雙曲線的方程；(

12、2)利用雙曲線的定義將 MA、MB轉(zhuǎn)化為其它線段，再利用不等式的性質(zhì)求解.解：(1 )由題意可知，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)雙曲線的方程為4-41 (a 0,b0)，設(shè)c口，由準(zhǔn)線方程為x二上5得匚二,a b5 c 5由 e一5得 c 5 a2解得a=1,c=w5.從而b =2,-該雙曲線的方程為 x2-工=1.4(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(丿5,0)，則點(diǎn)A、D為雙曲線的焦點(diǎn),則 |MA| |MD |=2a =2.所以 |MA | |MB | = 2 | MB | MD |> 2 | BD | .因?yàn)锽是圓x2 (y - .5)1上的點(diǎn),其圓心為C(0,5)，半徑為1,故 | BD | CD | -1 =.匚而 1,從而 | MA | |MB |> 2 |BD |>、10 1 .當(dāng)M