難點14數(shù)列綜合應(yīng)用問題

1、難點14數(shù)列綜合應(yīng)用問題縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題顯現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方 程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何緊密相關(guān)：數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實 際問題中有著普遍的應(yīng)用，如增加率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險，圓鋼堆壘 等問題.這就要求同窗們除熟練運用有關(guān)概念式外，還要擅長觀看題設(shè)的特點，聯(lián)想有關(guān)數(shù) 學(xué)知識和方式，迅速確信解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度.難點磁場()已知二次函數(shù)產(chǎn)f(x)在戶F 處取得最小值一 : (t>O),f(l)=O.(1)求尸/(X)的表達式；假設(shè)任意實數(shù)x都知足等式f(x) g(x)+a.H&二4£

2、;*)為多項式，aCN*),試用 £表示融和次(3)設(shè)圓C的方程為(x-a>+(y-A)JJ,圓G與心，外切(爐1,2,3)；1是各項都 是正數(shù)的等比數(shù)列，記$為前個圓的面積之和，求右、£.案例探討例1從社會效益和經(jīng)濟效益動身，某地投入資金進行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此進展旅 行產(chǎn)業(yè)，依照計劃，今年度投入800萬元，以后每一年投入將比上年減少今年度本地旅 行業(yè)收入估量為400萬元，由于該項建設(shè)對旅行業(yè)的增進作用，估量爾后的旅行業(yè)收入每一 年會比上年增加4(1)設(shè)a年內(nèi)(今年度為第一年)總投入為七萬元，旅行業(yè)總收入為A萬元，寫出盤,立 的表達式：(2)至少通過幾年，旅行業(yè)的總

3、收入才能超過總投入？命題用意：此題要緊考查成立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識：考查綜合運 用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，此題有很強的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的 熱點和重點題型，屬級題目.知識依托：此題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不 等式的解法等知識點.錯解分析：(1)問為、。“事實上是兩個數(shù)列的前。項和,易與“通項”混淆；(2)問是既 解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易顯現(xiàn)誤差.技術(shù)與方式：正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，成立數(shù)量模型是此題的靈魂，(2)問中指 數(shù)不等式采納了換元法，是解不等式經(jīng)常使用的技術(shù).解：第1年投入為800萬元，第2年投入

4、為800X(1 一9萬元，第年投入為800X(l-|r I萬元,因此，n年內(nèi)的總投入為I1如=800+800X(l-T )+-+800X(1 一 =)=Z 800X(1- / 155 J54=4000X5第1年旅行業(yè)收入為400萬元，第2年旅行業(yè)收入為400X(1 + !),，第年旅行業(yè)4收入400X(1+!尸萬元因此，年內(nèi)的旅行業(yè)總收入為4I5仇=400+400X(l + - )+-+400X(1 + 一 尸=X 400X(-/44及.4= 1600X4(2)設(shè)至少通過年旅行業(yè)的總收入才能超過總投入，由此與一外>0,即：5441600X-4000X>0,令戶(一)，代入上式得：5

5、57x+24574?0,解此不等式，得xV=，或1(舍去),即(1)<,由此得25.至少通過5年，旅行業(yè)的總收入才能超過總投入.例2已知Sr=l+H+L(£N)設(shè)加)=5%+lS"試確信實數(shù)機的取值范圍， 2 3 n使得關(guān)于一切大于1的自然數(shù)乩不等式：H，l)>E logon 1j/m1 ?恒成命題用意：此題要緊考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題，需較強的綜合分析問 題、解決問題的能力.屬級題目.知識依托：此題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一路，構(gòu)思巧妙.錯解分析：此題學(xué)生很容易求人)的和，但由于無法求和，故對不等式難以處置.技術(shù)與方式：解決此題的關(guān)鍵是把

6、負)(n£N*)看做是的函數(shù)，現(xiàn)在不等式的恒成立就轉(zhuǎn)化為：函數(shù).火)的最小值大于10g”r(1一l) 2一? logon lj»j 2.解：-Sn=+- + 2 3 n八 27 川 + 2 + 32 + 1乂/(" + 1)二/()= 2/? + 2 + 2 + 3-十 + 2 = 2 + 2 + 2 + 32 + 4= () + -)>。2n + 2 2 + 42 + 3 2 + 4/(+1)>加)小)是關(guān)于的增函數(shù),加)min=zfl2)=+2+2 2+3920，要使一切大于1的自然數(shù)，不等式J(n)> logOn-1) 2log” W2恒成

7、立911只要宗10(«-1) 24log-nm 2成當(dāng)即可乙U4U.m > Ojn * 1/口1Fh .八，得小>1且團工2，- 1 > 0,7-1*1 »現(xiàn)在設(shè)log,(?/ - 1) 2=t 那么，>0于是，元,”而解得OVfVlr>0»由此得 0< log-on-1) 2<1解得小>匕蟲且諱2.2錦囊妙計1 .解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題既要有堅實的基礎(chǔ)知識，又要有良好的思維能力和分析、 解決問題的能力；解許諾用性問題，應(yīng)充分運用觀看、歸納、猜想的手腕，成立出有關(guān)等差 (比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識

8、來解決問題.2 .縱觀近幾年高考應(yīng)用題看，解決一個應(yīng)用題，重點過三關(guān)：3 1)事理關(guān)：需要讀懂題意，明確問題的實際背景，即需要必然的閱讀能力.4 2)文理關(guān)：需將實際問題的文字語言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號語言，用數(shù)學(xué)式子表達數(shù)學(xué)關(guān)系.5 3)事理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的進程中：要求考生對數(shù)學(xué)知識的檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建 相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成用實際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化.構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，要正確取得問題 的解，還需要比較扎實的基礎(chǔ)知識和較強的數(shù)理能力.消滅難點訓(xùn)練一、選擇題1 .()已知二次函數(shù)廣(“+1)小一(2+l)x+l,當(dāng)“=1, 2,，時，其拋 物線在x軸上截得的線段長依次為44,4,，那么1加(小+山

9、+丑曲的值是()B.2二、填空題2 .(*)在直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點，Pi(xp yD、Pz(x2, )'2)是第一象限的兩 個點，假設(shè)1，不，也，4依次成等差數(shù)列，而1, yi, ”，8依次成等比數(shù)列，那么OP|P2 的面積是.3 .(*)從盛滿“升酒精的容器里倒出升，然后再用水加滿，再倒出b升，再用 水加滿：如此倒了 次，那么容器中有純酒精 升.4()據(jù)2000年3月5日九屆人大五次會議政府工作報告：“2001年國內(nèi) 生產(chǎn)總值達到95933億元，比上年增加”若是“十五”期間(2001年2005年)每一年的 國內(nèi)生產(chǎn)總值都按此年增加率增加，那么到“十五”末我國國內(nèi)年生產(chǎn)總值約為

10、億元.三、解答題$()已知數(shù)列斯知足條件:“1=1/25/>(),且/ml是公比為q(q>0)的等 比數(shù)列,設(shè) bn=U2n -1 +d2n(n= L2/ ).求出使不等式出必+1+"“+必+2>”"+2%+3(£)成立的q的取值范惘；(2)求 bn 和 lim -7-，其中 Sn=bi+b?+,+，； Sn(3)設(shè)=-1, <?=1,求數(shù)列(惶心的最大項和最小項的值.2嚙。"£()某公司全年的利潤為b元，其中一部份作為獎金發(fā)給位職工，獎金分 派方案如下：第一將職工按工作業(yè)績(工作業(yè)績均不相同)從大到小，由1到/?排序，

11、第1位 職工得獎金2元，然后再將余額除以發(fā)給第2位職工，按此方式將獎金一一發(fā)給每位職 n工，并將最后剩余部份作為公司進展基金.(1)設(shè)“M1W女W/?)為第k位職工所得獎金金額，試求“2/3,并用鼠和表示隊(沒必 要證明)：(2)證明班>縱+1(12，-D,并說明此不等式關(guān)于分派原那么的實際意義；(3)進展基金與和有關(guān)，記為(5),對常數(shù)。當(dāng)八轉(zhuǎn)變時,求1加尸他).fl->x7()據(jù)有關(guān)資料，1995年我國工業(yè)廢棄垃圾達到XI。'噸，占地平方千米，假 設(shè)環(huán)保部門每一年回收或處置1噸舊物資，那么相當(dāng)于處置和減少4噸工業(yè)廢棄垃圾，并可 節(jié)約開采各類礦石20噸，設(shè)環(huán)保部門1996

12、年回收10萬噸廢舊物資，打算以后每一年遞增 20%的回收量,試問：(1)2001年回收廢舊物資多少噸？(2)從1996年至2001年可節(jié)約開采礦石多少噸(精準(zhǔn)到萬噸)？(3)從1996年至2001年可節(jié)約多少平方千米土地？8.(*)已知點的序列An(xn, O)JI £ N,其中>0) A是線段A1A2的中點, 4是線段A2A3的中點，A”是線段4-24-1的中點，.(1)寫出Xn與A/r-K X”2之間關(guān)系式(八>3)；(2)設(shè)%=為N一八,計算八。2M3,由此推測數(shù)列如的通項公式，并加以證明；(3)求 lim Xn.fl->x參考答案難點磁場解：設(shè)段)=4。一7

13、)2一?，由川)=0得gl.，")=/ Q+2 )x+什 1.(2)將兀r)=(x-l) b-Q+l)代入已知得：(X1) x(r+1) g(x)+"用也=父+1,上式對任意的xER都成立,取41和4H4別離 代入上式得：4 +"(1 + 1)“+/=(/ + 1嚴(yán)且f關(guān)o,解得斯=!(什1)向一1,歷尸3（3）由于圓的方程為（工一小戶+外一）小,又由知4+d=1 ,故圓Cn的圓心?！痹谥本€ x+y-上，又圓C與圓G1.i相切，故有 .1=/I a：沖La" I =& (什1嚴(yán)設(shè)%的公比為g，那么rl 一夕=氏+1嚴(yán)/h+i + i+i4 = &

14、amp;Q + D"+：得夕二3=什1，代入得“尸辿上晅f + 2 S尸 (2+/?+-+-/)=孫？:7)= 2："(/+1 嚴(yán) 1 cr -i t(t + 2y消滅難點訓(xùn)練一、1 .解析：當(dāng)"二時忤(+1)一7+8+1由 I X X2 I =-> 得“=，；山+42+4an(n +1)1 1 1 t 1 1 1 11,11-2 2-3 n(n +1)2 2 3 n n +1 n +1-lim(4 + d2 + + d)= lim (1 一一= 1?I->X n + 1答案：A二、2.解析：由1/iK2,4依次成等差數(shù)列得：2ai=X2+1,xi+x

15、2=5解得m=2k2=3.又由1 ,")28 依次成等比數(shù)列，得#2二”,#”=8,解得)口2,)歸4,/.Pi(2,2).P2(3,4).A 西= (2,2),漉=(3.4).西強= 6 + 8 = 14,西=2西=5,/.cos POP2OPOP2 _14I西II函I - 5x2直1 ，-x2V2 x5x -= 1210I *= -O II OP2sinPOP2 =答案：13 .解析：第一次容器中有純酒精a-b即”（1一2）升，第二次有純酒精41-）- aa心上）bbj,即。（1一1）2升，故第次有純酒精”（1 一巳）"升.aaa答案：a（l a4 .解析：從2001年

16、到2005年每一年的國內(nèi)生產(chǎn)總值組成以95933為首項，以為公比的等比數(shù)列，“5=95933（ 1 +%尸F(xiàn) 20000（億元）.答案：120000-ZZL、5.解：（1）由題意得均廣1+/寸>為2.由題設(shè)r>0q>0,故從上式可得：爐一一1<0,解得<q<匕;，因夕>0,故0Vq匕:；222(2) V "»"丑=q,，如二%吧生z ="弱-M + W =夕工0 ,歷=1+7#0,因此 anan an"n a2n- + a2n a2n- + a2n6是首項為l+r,公比為q的等比數(shù)列，從而瓦產(chǎn)(1+/W

17、.當(dāng)疔1 時，Sn=n(l+rX1 1 八*八 in + c (l + r)(l /)lim = lim =°；當(dāng) ° < 夕 < 1 時，5 =f x 3 T8 (1 + 廣)I q11 - q 1 - qlim = lim -=；jix Sfl T8 (1 + r)(l q )1 + r當(dāng)“時If1-q 八行z 1L,(0<<l)lim = lim- = 0,所以 lim = 1 + r-x5T8(l + r)(_g )0(q>)(3)由(2),有2=(l + r)qZlog 2 2+ = 10g2l(l + r)力 =log2(l + r

18、) + log2 y = j + 1log?勾 log2(l + r)qT log2(l + r)5 - l)log2 4 一 20.2記G = k'”吧，從上式可知,當(dāng)一 >0,即”221（£N*）時，C隨的增大而減小, log 2 21 VCWG】=1+= 1 + -21-20.20.8當(dāng)一 V 0 ,即 W 20（ £ N*）時，a也隨的增大而減小，故1 > C” 2C2o=l +!= 1420-20.20.2綜合兩式知，對任意的自然數(shù)有C20WGWC2,故C的最大項GI = ,最小項。20=-4.6,解：（1）第1位職工的獎金=9,第2位職工的獎金s=L（l-L ），第3位職工的獎 nn n金”（I -、）2江，第2位職工的獎金做=,（1 一 1）人”； n nn n小一明尸,（1一4尸。>0,此獎金分派方案表現(xiàn)了 “按勞分派”或“不吃大鍋飯” - n的原那么.設(shè)AS）表示獎金發(fā)給第k位職工后所剩余數(shù)，那么/1（/7）=（1 - - ）（/7）=（1 - n,涉,於s）=（i - -然得 ps）iq）=（i 1 y 仇 nnn故 liin PH（b）=. j18e7.解：設(shè)"”表示第年的廢舊物資回收量，S”表示前n年廢舊物資回收總量，那么數(shù)列 “”是以10為首項，1+20%為公比的等比數(shù)列.（1）