屆高三數(shù)學(xué)基本函數(shù)知識點(diǎn)及典型例題

1、09級高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義一一基本函數(shù)1知識清單:1 .一元一次函數(shù)：y ax b(a 0),當(dāng)a 0時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)a 0時(shí)，是減函數(shù)；2 .一元二次函數(shù)：一般式：y ax2 bx c(a 0);對稱軸方程是x ;頂點(diǎn)為(P,4ac b2);2a2a 4a兩點(diǎn)式：y a(x x1)(x x2);對稱軸方程是 ;與*軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)式：y a(x k)2 h ；對稱軸方程是;頂點(diǎn)為;一元二次函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)a 0時(shí)： 為增函數(shù)； 為減函數(shù)；當(dāng)a 0時(shí)： 為增函數(shù)； 為減函數(shù)；.(2)二次理L數(shù)求最值問題.：一首先要采用配方法，化為 y a(x k)2 h的形式，(I )、若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在給定的區(qū)間

2、上，則當(dāng)a 0時(shí)：在頂點(diǎn)處取得最小值，最 大值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；當(dāng) a 0時(shí)：在頂點(diǎn)處取得最大值，最小 值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；(H)若頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在給定的區(qū)間上， 則當(dāng)a 0時(shí)：最小值在距離對稱軸較近 的端點(diǎn)處取得，最大值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；當(dāng) a 0時(shí)：最大值在 距離對稱軸較近的端點(diǎn)處取得，最小值在距離對稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；a f(p) 0a f (q) 0。二次方程實(shí)數(shù)根的分布問題：設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程f (x) ax2 bx c 0的根的情 況x1 > x2kx1 < x2 kx1k x2等價(jià)命 題在區(qū)間(k,)上有兩根在區(qū)間(，k)上有兩

3、根在區(qū)間(k,)或(，k)上有一根充要條 件A > 02k2aa f (k)0。A > 02k2aa f (k)0。a - f(k)<0兩根為x1 ,x2;則:另外:二次方程f(x)=0的一根小于p,另一本!大于q(p<q)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p) f(q)<0,或"p) 0 (檢a f(q) 0驗(yàn))或f(q) 0 (檢驗(yàn))。a f(P)0若在閉區(qū)間m,n討論方程f(x) 0有實(shí)數(shù)解的情況，可先利用在開區(qū)間(m,n)上實(shí)根分布的情況，得出結(jié)果，在令 x n和x m檢查端點(diǎn)的情況。注:常見的初等函數(shù)一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函

4、數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)。特別指出，分段函數(shù)也是重要的函數(shù)模型。3.指數(shù)函數(shù)：y ax (a 0,a 1),定義域R,值域?yàn)?0,).當(dāng)a 1,指數(shù)函數(shù)：y ax在定義域上為增函數(shù)；當(dāng)0 a 1,指數(shù)函數(shù)：y ax在定義域上為減函數(shù).當(dāng)a 1時(shí)，y ax的a值越大，越靠近y軸；當(dāng)0 a 1時(shí)，則相反.4對數(shù)函數(shù)：如果a (a 0,a 1 )的b次幕等于N ,就是ab N,數(shù)b就叫做以a為底的N的對數(shù)，記作logaN b (a 0,a 1,負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù))；其中a叫底數(shù)， N叫真數(shù).對數(shù)運(yùn)算： loga(M N) loga M logaN lOgaN lOgaM loga N logaMn nl

5、oga M loganM - loga M n alogaN N換底公式:logaN庭N logba推論：logab logbc logca 1loga a loga2 %.logaman log，(以上M 0,N 0,a 0,a 1b 0,b 1,c 0,c 13,.,4 0M 1)例如：log a x 2 2log a x(Q 2log ax 中 x> 0 而 log a x2 中 x C R)y ax (a 0,a 1)與y logax互為反函數(shù).當(dāng)a 1時(shí)，y logax的a值越大，越靠近x軸；當(dāng)0 a 1時(shí)，則相反.5.幕函數(shù)(1)幕函數(shù)的定義：o(2)幕函數(shù)的性質(zhì)：所有幕函數(shù)

6、在 上都有意義，并且圖像都過點(diǎn) 。如果a 0,則幕函數(shù)圖像過原點(diǎn)，并且在區(qū)間 上為增函數(shù)。如果a 0,則幕函數(shù)圖像在0, 上是。在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖像在 y軸右方無限地逼近 。當(dāng)x趨向于時(shí)，圖像在y軸右方無限地逼近 。當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，幕函數(shù)為，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，幕函數(shù)為, (3)幕函數(shù)y xa,x 0,，當(dāng)a 1時(shí)，若0 x 1,其圖像在直線y x的下方，若x 1,其圖像在直線y x的上方；當(dāng)0 a 1時(shí)，若0 x 1,其圖像在直線y x的上方，當(dāng)a 1時(shí)，若x 1其圖像在直線y x的下方課前預(yù)習(xí)1 .當(dāng)0&x0 1時(shí)，函數(shù)y=ax+a 1的值有正值也有負(fù)值，則實(shí)數(shù) a的

7、取值范圍是()(A)a<1(B)a>1(C)a<g 或 a>1(D)；<a<11上遞增，則a的取值范圍是()2 .已知函數(shù) f (x) ax2 (a3 a)x 1 在(A) aw 百(B)向w aw 百(C)0a& 百(D)73 < a 03.已知二次函數(shù)f(x) ax2 (a2 b)x c的圖像開口向上，且f (0) 1,f(1) 0,則實(shí)數(shù)b取值范圍是()3 3(A) (, -(B) 一,0)(C) 0,)(D) (, 1)4 41, x 04 .設(shè)函數(shù)f(x) 0, x 0，則方程x 1 (2x 1)f(x)的解為5 .函數(shù)y ax 2

8、1(a 0,且a 1)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)()1, x 0(A)(0, 1)(B)(1, 1) (C) (2, 0)(D) (2, 2)6. 3log 7 2log 7 9210g 77 .設(shè) x,y,z (0,)且3x 4y 6z, 111.求證: ;比較3x,4y,6z的大小.x 2yz8 .已知 f (x) 1 1ogx3 , g(x) 21og x2 , 試比較f(x)和g(x)的大小。9 .求函數(shù)y log 1 (x2 3x 18)的單調(diào)減區(qū)問，并用單調(diào)定義給予證明。210 .求下列函數(shù)的定義域、值域： y l2 x2 1 1; y 10g 1 ( x2 4x 5)43211. 已知函數(shù)y

9、 xn 2n3 (n Z)的圖象與兩坐標(biāo)軸都無公共點(diǎn)，且其圖象關(guān)于y軸對稱，求n的值，并畫出函數(shù)的圖象.典型例題1、解析式、待定系數(shù)法EG1.若 f x x2 bx c,且 f 10, f 30,求 f 1 的化變式1：若二次函數(shù)f xax2 bx c的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 2, 1 ,與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,11),則A. a 1,b4,c11B. a 3,b 12,c 11C. a 3,b6,c 11D. a 3,b12,c 11變式2:若f xx2b 2 x 3,x b,c的圖像 x=1 對稱，則 c=.變式3:若二次函數(shù)f xax2 bx c的圖像與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A x1,0、c c

10、 26 2B x2,0 ,且為2 x22 26 試問該二次函數(shù)的圖像由f x 3 x 1的圖像向9上平移幾個(gè)單位得到？2、圖像特征EG2:將函數(shù)f x 3x2 6x 1配方，確定其對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出它的單調(diào)區(qū)間及最大值或最小值，并畫出它的圖像.f x2 （其中 x1x2）,則變式1:已知二次函數(shù)f x ax2 bx c ,如果f x1xix2A.b-B. bC. cD 4ac b24a變式2:函數(shù)f x2x px q對任息的x均有f 1 xf 1、f 1的大小關(guān)系是A. f 1 f 1 f 0 B. f 0 f 1 f 1C. f 1 f 0f 1 D. f 1 f 0 f 1變式3:已知

11、函數(shù)f xax2 bx c的圖像如右圖所示，請至少寫出三個(gè)與系數(shù)a、b、c有關(guān)的正確命題.3.單調(diào)性EG3:已知函數(shù) f x x2 2x, g x x2 2x x 2,4求f x , g x的單調(diào)區(qū)間；（2）求f x , g x的最小值.變式1:已知函數(shù)f xx2 4ax 2在區(qū)間,6內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是 A . a 3D. a 3變式2:已知函數(shù)f x 取值范圍是. 變式3:已知函數(shù)f xB . a 3C . a 32，一、 1 一x a 1 x 5在區(qū)間（2 ,1）上為增函數(shù)，那么f 2的x2 kx在2,4上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.4.最值EG4已知函數(shù)f x2.2x 2x

12、, g x x 2x x 2,4求f x , g x的單調(diào)區(qū)間；（2）求f x , g x的最小值.變式1:已知函數(shù)f x x2 2x 3在區(qū)間0,m上有最大值3,最小值2,則m 的取值范圍是A .1,2D.變式2:若函數(shù)y 3J x2 4的最大值為M,最小值為m,則M + m的值等于 變式3:已知函數(shù)f x 4x2 4ax a2 2a 2在區(qū)間0,2上的最小值為3,求a 的化5 .奇偶性EG5:已知函數(shù)f x是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f x x1 x .畫出函數(shù)f x的圖像，并求出函數(shù)的解析式.變式1:若函數(shù)f x m 1 x2 m2 1 x 1是偶函數(shù)，則在區(qū)間，0上f x是A.增函

13、數(shù) B.減函數(shù) C .常數(shù) D.可能是增函數(shù)，也可 能是常數(shù)變式2：若函數(shù)f x ax2 bx 3a b a 1 x 2a是偶函數(shù)，則點(diǎn) a,b的坐標(biāo)是.變式3:設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x) x2 |x a| 1, x R.(I)討論f(x)的奇偶性；(II)求f(x)的最小值.6 .圖像變換x2 4x 3, 3 x 0EG6、已知 f (x) 3x 3,0x1.2x 6x 5,1 x 6畫出函數(shù)的圖象；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求函數(shù)的最大值和最小值.變式1:指出函數(shù)yx2 2x 3的單調(diào)區(qū)間.變式 2:已知函數(shù) f (x) | x2 2ax b | (x R).給下列命題：f(x)必是偶函

14、數(shù)； 當(dāng)f(0) f(2)時(shí)，f(x)的圖像必關(guān)于直線x=1對稱;若a2 b 0,則f(x)在區(qū)間a, +oo)上是增函數(shù)；f(x)有最大值|a2 b| .其中正確的序號是.變式3:設(shè)函數(shù)f(x) x|x| bx c,給出下列4個(gè)命題：當(dāng)c=0時(shí)，y f(x)是奇函數(shù)；當(dāng)b=0, c>0時(shí)，方程f(x) 0只有一個(gè)實(shí)根；y f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0, c)對稱；方程f(x) 0至多有兩個(gè)實(shí)根.上述命題中正確的序號為 .7.值域EG7:求二次函數(shù)f(x) 2x2 6x在下列定義域上的值域：(1)定義域?yàn)閤 Z 0 x 3 ; (2)定義域?yàn)?2,1 .變式1:函數(shù)f (x)2x2 6x 2

15、 x 2的值域是A .20,述B .20,4C .20,22_9D.20,92變式2:函數(shù)y=cos2x+sinx的值域是.變式3:已知二次函數(shù)f (x) = a x 2 + bx (a、b為常數(shù)，且a w 0),滿足條件f(1 + x) = f (1-x),且方程 f (x) = x 有等根.求f (x)的解析式；(2)是否存在實(shí)數(shù) m、n (m < n),使f (x)的定義域和值域分別為m,n和3m,3n,如果存在，求出m> n的值，如果不存在，說明理由.8 .包成立問題EG8:當(dāng)a,b,c具有什么關(guān)系時(shí)，二次函數(shù)f xax2 bx c的函數(shù)值恒大于零？恒小于零？變式 1:已知

16、函數(shù) f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1).(I)若函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(II)若函數(shù)f (x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式2:已知函數(shù)f (x) x2ax 3 a若x 2,2時(shí)，有f(x)2恒成立,求a的取值范圍.變式 3:若 f (x) = x 2 + bx + c )<0.(I)求證：b + c = 1；不論為何實(shí)數(shù)，恒有f (sin)>0, f (2 + cos(II)求證：c>3;(III)若函數(shù) f (sin的最大值為8,求b、c的值.9.根與系數(shù)關(guān)系右圖是二次函數(shù)fax2 bx c的圖像,它與x軸交于點(diǎn)xi,

17、0 和 x2,0 ,試確定a,b,c以及x#2,Xix2的符號.變式1:二次函數(shù)y ax2b與一次函數(shù)y axb(a b)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系的圖像為yOA.D.Oxi Oxx2mxCi5mx4m,C2: y(2 m 1)x3,C3: yx2 3mx 2m 3中至少有一條相交，則m的取值范圍是.變式3:對于函數(shù)f (x),若存在xo R,使f (xo) = xo成立，則稱xo為f (x)的 不動點(diǎn).如果函數(shù)f (x) = ax 2 + bx + 1 (a > 0)有兩個(gè)相異的不動點(diǎn) xi、x2.1(I)右x1 < 1 < x2,且f (x)的圖象關(guān)于直線 x = m對稱，求證

18、m > 5 ;(II)若| x1 | < 2且| x1-x2 | = 2,求b的取值范圍.10.應(yīng)用EG:綠緣商店每月按出廠價(jià)每瓶 3元購進(jìn)一種飲料.根據(jù)以前的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若 零售價(jià)定為每瓶4元，每月可銷售400瓶；若每瓶售價(jià)每降低0.05元，則可多銷售40瓶.在每月的進(jìn)貨量當(dāng)月銷售完的前提下， 請你給該商店設(shè)計(jì)一個(gè)方安: 銷售價(jià)應(yīng)定為多少元和從工廠購進(jìn)多少瓶時(shí)，才可獲得最大的利潤？變式1:在拋物線f x x2 ax與x軸所圍成圖形的內(nèi)接y y 矩形(一邊在x軸上)中(如圖)，求周長最長的內(nèi)接矩形兩邊 之比，其中a是正實(shí)數(shù).變式2:某民營企業(yè)生產(chǎn)A, B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與 預(yù)測

19、，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖一；B產(chǎn)O B品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比， 其關(guān)系如圖二(注： 利潤和投資單位：萬元)(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的 函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A, B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這 10 萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最 大利潤約為多少元(精確到1萬元)？變式3:設(shè)a為實(shí)數(shù)，記函數(shù)f (x) aVix2 Ji x 71 x的最大值為g(a)(I)求g(a); (II)試求滿足gg(1)的所有實(shí)數(shù)a. a11、指數(shù)函數(shù)EG:已知下列等式，比較 m, n的大小：(1) 2m 2n(2)0.2m 0.2n

20、11 -1 .變式1:設(shè)2 (2)b (-)a 1,那么 ()A.aa<ab<baC.ab<aa <baB.aa < ba <abD.ab <ba <aa變式2:函數(shù)y ax在0, 1上的最大值與最小值的和為3,則a的值為()A. 1B.2C.4D.124變式3:已知函數(shù)y f(x)的圖象與函數(shù)y ax (a 0且a 1)的圖象關(guān)于直線1y x對稱，記g(x) f(x) f (x) 2f(2) 1.若y g(x)在區(qū)間,2上是增函數(shù), 2則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()1 一 1A. 2,)B. (0,1) (1,2)C.,1)D. (0,T2 212、

21、對數(shù)函數(shù)EG:已知函數(shù) f(x) loga(x 1), g(x) loga(1 x)(a 0,且 a 1)(1)求函數(shù)f (x) g(x)定義域(2)判斷函數(shù)f(x) g(x)的奇偶性，并說明理由.變式1:變式2:已知f (x) ax2 bx 3a b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閍 1,2a.則a , b若函數(shù)f (x) loga(x 辰27)是奇函數(shù)，則a變式3:設(shè) g(x)I：x； 0.則 遍)變式4:已知f(x)(3a 1)x 4a, x loga x, x 1)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是A.(0,1)B.一 1、- _1 1(0,-) C. ,-) 37 31D.y,1)EG2:若 loga

22、1(a 0,且 a 1),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式1 :若10g2a0 ,則a的取值范圍是(1A仁，)2變式2：設(shè)0 aB. (1,)1,函數(shù)f (x)1C仁,1)2 loga(a2x 2axr1D 叼)2),則使f(x) 0的x的取值范圍是(A) (,0)(B) (0,(C), log a 3)(D) (log a 3,)變式3:已知log 12log1 a2log1 c ,則2A .2b 2a2cB.2a2b 2cB. 2c 2b2aD. 2c 2a 2b13、幕函數(shù)EG.已知點(diǎn)(近2)在幕函數(shù)f(x)的圖象上，點(diǎn)在幕函數(shù)g(x)的圖象上.問當(dāng)x為何值時(shí)有：(1) f (x) g(x) ;

23、 (2) f (x)g(x) ; ( 3 ) f (x) g(x).分析：由幕函數(shù)的定義，先求出f(x)與g(x)的解析式，再利用圖象判斷即可.變式：函數(shù)y 取值范圍是(2(mx 4x).1m2)4 (m2 mx 1)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)1,2)B .(展 1, 8)c . (2,2) D. (1 甚 1 問實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練、選擇1 .設(shè)a 1 ,函數(shù)f (x) log a x在區(qū)間a,2a上的最大值與最小值之差為B. 2c. 242D. 42.函數(shù) y log24 2 (x0)的反函數(shù)是A. y 4x 21(x2)B. y1(x 1)C. y 4x 22(x2)D. y2x2(x 1)3.設(shè)a

24、,b,c均為正數(shù)，且2log1 a,21 log 1 b,-2210g 2 c,則()A. a b cB. cC. c aD. b. 、L14.設(shè) a 1,1,-,32的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有值為(A) 1,3(B)1,1 (C)1,3(D)1,1,35.以下四個(gè)數(shù)中的最大者是_2(A) (1n2)(B) ln(ln2)(C) ln . 2(D) ln26.函數(shù)f (x)3x(0x< 2)的反函數(shù)的定義域?yàn)锳. (0,)B. (1,9(0,1)D. 9,7.設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖像關(guān)于直線 x1對稱，且當(dāng)x1時(shí),f(x) 3x 1 ,則有(13A. f(1) f(3)C

25、. f(|)38.設(shè) f(x) lg(f(3)21 x23B f(2) f(-) 3232D. f(3) f(2) 23a)是奇函數(shù)，則使f(x) 0的x的取值范圍是(A)A . ( 1,0)B . (0,1)C (,0)D. (,0)U(1,)9.函數(shù)f(x) 1 log2x與g(x) 2 x 1在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是()二、填空1 .函數(shù) y lg(x2 2x)的定義域是2 .若函數(shù)f(x) x2 lga 2x 2在區(qū)間(1,2)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.3 .已知函數(shù)f(x) loga(x 1)的定義域和值域都是0,1,則實(shí)數(shù)a的值是.4.定義：區(qū)間 區(qū)？2(、x2)的長度為x2x1.已知函數(shù)y | logo.5 x |定義域?yàn)?.函數(shù)y f(x)的圖象與函數(shù)y log3x (x 0)的圖象關(guān)于直線y x對稱，則f(x)10 .函數(shù)f x gx-的定義域?yàn)?x 311 .方程9x 6 3x 7 0的解是 12 .設(shè)函數(shù)y