三角-1981-2018年歷年數(shù)學(xué)聯(lián)賽48套真題WORD版分類匯編含詳細(xì)答案

1、1981年2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題分類匯編3、三角函數(shù)部分2018B 5、設(shè) 口，P 滿足 tan(a +) = -3 , tan(P - -) = 5 ,貝U tan(a - P)的值為答案：一74解析：由兩角差的正切公式可知 tan4-7一,即可得 tan(a - P)= -一7422017A 2、若實(shí)數(shù)x, y滿足x +2cosy=1,貝U x cosy的取值范圍為 答案：1-1, ,3 - 1 122一 一1 - X2斛析：由 x +2cosy =1 得 x = 1 一2 cosy w一1,3】，得 x 仁 L 33,<3 cos y = 所以xcosy=1(x12 1

2、, xw LJ3,d3可求得其范圍為 L1Z3+1。24 kx 4 kx.2016A 6、設(shè)函數(shù) f(k) =sin + cos ,其中k是一個(gè)正整數(shù)。若對(duì)任意實(shí)數(shù)a ,均有1010f(x)|a<x<a+1=f(x)|xWR,則 k的最小值為 答案：16解析：由條件知，f (x) = (sin2 kx + cos2 kx)2 -2sin2 kxcos2 -kx10101010/.2kx12kx31 -sincos54545 m其中當(dāng)且僅當(dāng)x =5m(m w Z)時(shí)，f (x)取到最大值.根據(jù)條件知，任意一個(gè)長(zhǎng)為1的開區(qū)間k. .5二(a, a +1)至少包含一個(gè)最大值點(diǎn)，從而<

3、;1 ,即k > 5n.反之，當(dāng)k >5n時(shí)，任意一個(gè)開區(qū)間均包含f (x)的一個(gè)完整周期，此時(shí)f(x) |a <x <a +1 = f(x)| x w R成立.綜上可知，正整數(shù)的最小值為5叼+1 = 16 .142015A 2、右實(shí)數(shù) a滿足cosa = tana ,則+ cos a的值為sin :、答案：2222,cos4 二= sin 二斛析：由條件知，cos a = sin久,反復(fù)利用此結(jié)論，并注意到cos a +sin a = 1 ,得. 222+ sin a = (1 + sin a )(1 co s a) = 2 + s ina c os a = 2 .2

4、015A 7、設(shè)w是正實(shí)數(shù)，若存在 a,b(n Ma<bM2n),使得sin wa +sin wb = 2 ,則w的取值范圍是答案:w 9,5)113, 二)4 24解析：由sinma+sin8b =2知，sincoa =sinb = 1,而 sia,8b 亡wn ,2wn,故題目條件等JtJT價(jià)于：存在整數(shù) k,l(k <l),使得 wn <2kJi + <2ln +二 < 2wn .22當(dāng)w*4時(shí)，區(qū)間wn,2wn的長(zhǎng)度不小于4兀，故必存在k,l滿足式.當(dāng)0<w<4時(shí)，注意到wn,2wn£ (0,8n),故僅需考慮如下幾種情況：二51一

5、5一一(i) w n M < < 2w 冗,此時(shí) w M 且 w A 無解；22245二9二,95(ii) wn < < <2wn ,此時(shí)一< w < ;2242.9 二13 二一.13,913.(iii) wk W < W2wn ,此時(shí)一Ww4一,得一Ww<4.22424綜合(i)、(ii)、(iii),并注意到 w之4亦滿足條件，可知 w- 5)IJ ).424 '2015B 3、某房間的室溫T （單位：攝氏度）與時(shí)間 t （單位：小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為：T =asint+bcost,tw（0,+8）,其中a,b為正實(shí)數(shù)，如果該房間

6、的最大溫差為10攝氏度，則a + b的最大值為答案：5,2解析：由輔助角公式：T =asint +bcost = Ja2+b2 sin（t十中），其中中滿足條件sin平=,b,cos* = , a,則函數(shù)T的值域是Ja2 +b2, Ja2 +b2,室內(nèi)最大溫差為 _2 b2_2 b22&2 +b2 W10,得 Ja2 +b2 <5 .故a +b< J2（a2 +b2） W5J2,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) a = b=5 J2 .22014A 10、(本題滿分 20 分)數(shù)列 Qn 卜蔭足 ai = ±，an = arctan(secan) , ( n w N *)求正整數(shù)

7、 m ,61使得 sin a1 sin a2 : sinan=。100解析：由已知條件可知，對(duì)任意正整數(shù)n,an 書匚(一一 ,1) ,且 tan a2 2n41= secan由于secan >0 ,故an+jiW(0,)。由得,2tan2 an i= sec2 an = 1 + tan2 an,故,21,2tan an = n -1 tan/ 1 3n-2a1 = n -1 一二33即 tan an10分因此,一一一 一一一一 一 一一一tana1 tana2sin a1 *sin a2 sin am =*seca1 seca2tan amsecamtan a1 tan a2 tan

8、a2 tana3tan amtan am 1(利用)_ tana1 _1tan am 11 3m 1,""11 _由 J=,得 m = 3333。 20 分,3m 110032014B 10、(本題滿分20分)設(shè)X1,X2,X3是多項(xiàng)式萬程x 10X+11 =0的二個(gè)根.已知X1,X2,X3都落在區(qū)間(-5,5 )之中，求這三個(gè)根的整數(shù)部分；(5分)TL證明：arctan X1 + arctan x2 + arctan x3 = 一。(15 分)4解析：設(shè)p(X)=x3 10X+11 ,則它至多有三個(gè)實(shí)根。由于p(5)=64, p(4) = -13,p(3)=14, p(2

9、)=23, p(1)=20, p(0)=11, p(1) = 2, p(2) =-1 , p(3)=8,我們可以看到三個(gè)區(qū)間(-4,-3 ), (1,2), (2,3)的端點(diǎn)函數(shù)p(x)的值改變符號(hào)，所有三個(gè)根分別落在這三個(gè)區(qū)間的內(nèi)部，這樣-4,1,2便可以作為滿足條件的三個(gè)根的近似值。(-4也可以寫成-3)假定x ex? <x3,由于 Xi < -1 ,所以 arctan x w冗萬,一4i ,同理 x2,x3 A 1 ,得2a rct axn,a r ct axnJlJI11cm,I,從而 arctan x1 + arctan x2 和一一arctan x3者E洛在區(qū)間4 24

10、n n 1一，一4 4中，所以我們只需證明:tan arctan x1 arctan 4x2 =tan 一 一 arctan x3 1。4由正切公式知，等價(jià)于x1x21 - x1 x21 - X3x33,即等價(jià)于 zxi +z xixj xx2x3 =1 ,i 4i -j由根與系數(shù)關(guān)系知,Zi -jxixj =一10, x1x2x3=T1,顯然上式是成立的。這樣就完成了證明。2008AB13、已知函數(shù) f (x) = sinx的圖像與直線 y = kx標(biāo)的最大值為a ,求證:sin .：i 1 sin3：4：證明:f (x)的圖象與直線 y =kx (k >0)的三個(gè)交點(diǎn)如答13sn4，

11、即 ct=1n a .因33A(。，一sina) , ot w (冗).由于 f (x) =-cosx , x (凡一江)，所以一cosot = 此cosisin .：: ；sin 3工cos：22cos : sin2sin22cos二4sin 工cos,4sin ： cos：4tan.：s4.：:2007*4、設(shè)函數(shù)f (x) =3sin x +2cosx +1。若實(shí)數(shù) a,b,c使得 af (x) +bf (x c) = 1 對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則1 A.-2答案:1 B.-2C. -1D. 12212解析:則對(duì)任意的xW R,都有f(x) + f (xc) =2 ,于是取a=b=對(duì)任意

12、的 xwR, af(x)+bf(xc) =1 ,由此得 bcosc = _1。 a一般地，由題設(shè)可得 f (x) = Ji3sin(x+邛)+1 , f(x c)=J13sin(x+平c)+1,其中 0c 平 <2L .2且tan中二一，于是af (x) + bf (x - c) =1可化為3JT3a sin(x +邛)+ v?3bsin(x +邛-c) +a +b =1,即<T3a sin(x +邛)+713bsin(x + 邛)cosc -v173bsin ccos(x + 邛)+(a +b 1) = 0 ,所以J13(a +bcosc)sin(x + 甲)一d13bsin c

13、cos(x + 中)+(a+b1)=0。a bcosc =0 (1)由已知條件，上式對(duì)任意 x R恒成立，故必有 bsin c = 0(2),a+b1 = 0(3)J若b=0,則由(1)知a=0,顯然不滿足(3)式，故b#0。所以，由(2)知sinc = 0,故c = 2kn +冗或 c =2kn ( k w Z )。當(dāng) c = 2kn 時(shí)，cosc = 1 ,則(1)、(3)兩式矛盾。故 c = 2kn + n (k w Z ),1 bcosc,cosc = -1。由(1)、(3)知 a =b =，所以=-1。2 a, 一sin(二x) - cos：x) 2 ，15，一2007*11、已知函

14、數(shù) f(x)=-一J-(MxE -),則 f(x)的最小值為 x44答案:4-55v 2 sin( tt x) + 215_15解析：解：實(shí)際上 f(x)=h4(M x M-),設(shè) g (x) = J2 sin(冗 x)(一M x M)，%x 444 441 3 一 3 5 3則g(x)之0, g(x)在一,一上是增函數(shù)，在,一上是減函數(shù)，且y = g(x)的圖像關(guān)于直線x =一 4 44 441 3,3 5對(duì)稱，則對(duì)任忌x=-,-,存在x2 =，一,使g(x2) = g(x1)。于是 4 44 4一、g(x1)2 g(x2) 2g(x2) 23 5,f (x1)-=4>-=L=- =

15、f (x2),而 f (x)在一,一上是減函數(shù)，所以. x1,xx24 454、51 5 4 5f(x)f()=,即f (x)在一,一上的取小值是 。454 452007*15、(本題滿分20分)設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)所有的實(shí)數(shù)x都滿足f(x+2兀)= f(x),求證：存在4個(gè)函數(shù)fi(x) ( i =1,2,3,4 )滿足：對(duì)i =1,2,3,4 , fi(x)都是偶函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x ,有fi(x + 町=fi(x)；對(duì)任意的實(shí)數(shù) x ,有 f (x) = fi(x)十 f2(x)(s x+f3(x)S x+f4(x)S 2x。證明：記g(x)=f(x) f(-x)函數(shù)，h(x)是奇函數(shù)，對(duì)

16、任意的1,h(x) =f-(x)-f( x),則 f (x) = g(x) + h(x),且 g(x)是偶 2xwR, g (x + 2n) = g(x) , h(x + 2n ) = h(x)。fg(x)-g(x + 向令 fi(x)=g(x) +g(x+ 力，f2(x)2cosx,冗x 二 k 九 一2,. 冗x = k：t "h(x) -h(x + /) f3(x) =2 sin x0'h(x) +h(x+ mf，(x) =2sin2x2k兀x :2，其中k為任意整數(shù)。kd容易3證fi(x), i =1,2,3,4是偶函數(shù)，且對(duì)任意的xW R,x =2fi(x + n)

17、= fi(x) , i =1,2,3,4。下證對(duì)任意的 x w R ,有 f1(x) + f2(x)cs x=g(x)。當(dāng)x #k冗+ 一時(shí)，顯然成立；當(dāng)* =k冗+一時(shí), 22因?yàn)?f1(x) f2(x) cosx = f1 (x);g(x)十g(x十力3兀、，而 g(x+ T1) = g(k7t十)23兀兀兀= g(k 冗 + -2(k +1)力=g(k：t ) = g(k：t+) = g(x), 222故對(duì)任意的 xWR,有 f1 (x) + f2(x)cosx = g(x)。、一 一 _，、.， 、.一，、k兀.一下證對(duì)任息的x = R ,有f3(x)sn x + f4(x)sn 2x

18、 = h(x)。當(dāng)x #時(shí)，顯然成立；當(dāng)x = kn時(shí),2h(x) = h(kn) =h(kn 2kn) = h(kn),所以 h(x) = h(kn) = 0 ,而此時(shí) f3 (x)sin x + f4(x) sin 2x = 0 ,故 f3 (x)sin x + f4 (x)sin 2x = h(x)；當(dāng) x = k：t+時(shí)，h(x+昉=h(kjt+3) = h(kjt3- -2(k +1)力=h(-k九一一3 = -h(k九十)22222=-h(x),故 f3(x)sin x =h(x) -h(x + 向= h(x),又 f4(x)sin 2x = 0 ,從而有 f3 (x)sin x

19、+ f4(x) sin 2x = h(x)。于是，對(duì)任意的 xw R,有 f3(x)sinx + f4(x)sin 2x = h(x)。綜上所述，結(jié)論得證。2006*7、設(shè)函數(shù) f (x) =sin4 x-sin xcosx+cos4 x,貝U f(x)的值域?yàn)榇鸢?0,8解析:一、 .4.4/1.c 1.2f(x)=sin x-sin xcosx+cos x =1 一一 sin 2x-一 sin 2x。令 t = sin2x ,則2211291129=0,f(x)=g=1一22t =8-2(t 2)。因此型子= g(1) = 8 一19ma羿=g(-2)=89一一9=一。即得0Ef(x)E。

20、88答案:2005*9、設(shè)% P,尸滿足0 <a < 2 <¥ <2兀，若對(duì)任意x= R, cos(x +a) +cos(x + P) +cos(x + 7)= 0 ,則 ¥ ot =3 解析：設(shè) f (x) = cos(x+ct)+cos(x + P)+cos(x+¥),由 xw R, f(x)三 0知，f(-a) = 0, f()= 0, f(_p)=0,即cos(- - - ) cos( - - ) - -1, cos(- - - ) cos(- P：) - -1,1cos(一 "- 一.cos(-2.丁 0 M0fMp &

21、lt;Y <2n,.- P _a,Y_a,Y_p w 紅，竺,又 P _a < ¥ 口 J _ P < ¥a 33只有：-：3證又x的任意性都成立)2 二(另一方面P-o(=¥-P=.時(shí)，代回原式很容易驗(yàn)32004*7、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，函數(shù)f (x) = a sin ax + cosax ( a a 0 )在一個(gè)最小正周期長(zhǎng) 的區(qū)間上的圖像與函數(shù) g(x) = Va2 +1的圖像所圍成的封閉圖形的面積為 答案：2 .a2 1a 解析：f (x) = a sin ax + cosax = ya2 +1sin(ax+中),取一個(gè)周期的圖像

22、，割補(bǔ)得面積為長(zhǎng)為,寬為2、%2 +1的矩形,由對(duì)稱性知，面積之半即為所求.故填 空也2 +1 .a2003*4、若12一，貝U y =tan(x 32 二二二+ )-tan(x +)+cos(x + )的最大值是八 12,2A.B.5答案:11、. 26C.11.36D.解析:2 二，則x ,3=日ji+ 25 二 二一，一一時(shí),IL 12 3，一,原函數(shù)即變 6-上 ,6sin 28，cos9都單調(diào)遞增，從而 y單調(diào)遞增.于2r 六 r二-+cosy，在日=-sin 27IL 4二113日=-9"時(shí)，y取得取大值 一-1,故選C2002*12、使不等式sin2 x+acosx +

23、 a221+cosx對(duì)一切xw R恒成立的負(fù)數(shù)a的取值范圍是答案:解析:因?yàn)?sin2 x +acosx +a2 >1 +cosx對(duì)一切 xw R恒成立,cosx一 25 <a2 +所以當(dāng)cosx=1時(shí)，函數(shù)y=（cosx 2 -一 .）有最大值（1 -a -1)2即(1a -1)2 M a2 + (1),即 a2+a2 2 0,解得 a M 2 或 a 之 14又a<0,所以aE2,即所求負(fù)數(shù)a的取值范圍是（叱2。2001*3、在四個(gè)函數(shù)y=sinx, y =cosx , y = cotx, y =lg sin x | 中以冗為周期、在 0,一 i上I 2；單調(diào)遞增的偶函數(shù)

24、是A. y=sinx答案：DB.y =cosxC.y 二 coD.y =lgsinx解析：y=sinx不是周期函數(shù).y = cosx 以2 n為周期.y = cotx在31 10,- i上單調(diào)遞減.只有2y =lg sin x滿足全部條件.2000*2、設(shè) sin口 >0, cos« <0aa且 sin cos 33,吟的取值范圍是A. 2kn +-,2kn + j, k w Z <63 JB.2k二 三型,36, 331 十卜 k-Z 3C.5 二,r2kn + ,2kn +n k = Z6D.2k 二一,2k 二4- 2k3,2k 二答案:解析:滿足 sin a

25、 >0 , cosa < 0 的a的范圍是12kji二一,2k 二2+ JI I2k 二二 2k 二-T6 , 3一,滿足sin Acos的一的取值范圍為2kn3 ）333<ji一 ,2k 二4a的取值范圍是35 二+故所求范4圍是 2k二,2k.： 2k 43.5 二一n +3,2M + 冗 J2000*7、arcsin(sin 20000)的值為 答案：-200解析：因?yàn)?20000 =12 父1800 1602000 12. 1：,5,1、a =arctan(-),41997*5、設(shè) f (x) =x -nxa =arcsin- p = arctan- , ，=arcc

26、os(),343則()A. f (：) . f( -) . f(。)f ( ) B. f(：) f (-) , f ( - ) . f ()C. f(二)f (： ) f ( ) f ( ) D. f (二), f(二), f( ) , f ( ) 答案：BTT解析：f(x)的對(duì)稱軸為x=-,2二二二二2二3二5二、工易得,0 <0( < 一 < 一 < P < 一 < 一 < < < CT <.選 B.64323461997*13、(本題滿分值和最小值。20分)設(shè)jix - y - z -12冗 、且 x + y+ z = - ,求

27、乘積 cosxsin ycosz的最大 12fTTffTfTTiTFffTA A-r-r LLr ,'L /LJ L J LJ L斛析： 由于x之y之z之,故 一M x三一乂 2 =一.1 cos2 x 1 cosxsin( y - z) - - cos2 = 22231262 123cosxsin y cosz = cosx Sin(y z) sin(y - z) 1 =2即為所求最小值.(由于<x < , y > z,故cosxsin( y -z) > 0),631 所以當(dāng) y=z= , x =一 時(shí)，cos xsin y cosz =-.1238.1 |1

28、121. ,、12又 cosxsin ycosz =coszm - sin(x + y) -sin(x - y)=_cos z- coszsin(x- y) < cos z ,2222L 12 J 2 n 1 -2 2 2 + V3 ,一.且一cos z£cos =- 1 +cos尸。由于 sin(x - y)之 0, cosz a 0 ,故當(dāng)5 二x = y =122212 2 k 6，81996*4、設(shè) xw1c ，-,0 I,以下三個(gè)數(shù):2a1 =coSsinnx), a2 =sin(COST!X ),久3 =cosn(x +1),的大小關(guān)系是.： 3 :二二 1 <

29、; ：- 2 D. ：- 2 < ：- 3 :二：- 1A. : 3 < ：- 2 < 1 1 B. ： 1 ：二二 3 :二二 2 C.答案：D 解析:口1 =coSsin網(wǎng))>0 , s2 =sin(coStX )>0，G3 = cosn(1 - x 0 ,排除 R D.- sin xn +cosx n = V2sin( x 兀 +) <y ,于是 cosxn sin xn , . sin(cosxn )<cos(sinxn ),故 a2 <小,選 A1另解：也可以取 x=-L代入計(jì)算可得“ 2 M 1Ml.41995*5、10gsin1co

30、s1 , 10gsin1 tan1, logcos1sin1, logcos1tan1 的大小關(guān)系是()A. logsim cos1:： logcos1 sin 1=：logsin1tan1：二logcostan1B. logcos1 sin 1: log cos1 tan 1二logsin1cos1二logsin1tan1clogsin1tan 1；logcos1 tan 1；logcos1sin 1<log/cos1D.logcos1tan 1； logsin1 tan 1<logsin1cos1：logcos1sin 1答案：C3T3T解析：因?yàn)橐?1(一，故 0 <c

31、os1 <sin1 <1 <tan1 .所以 10gsin1tan1 <0 , logcos1 tan1 < 0 , 42logsin1 cos1 >0 , logcos1 sin1 >0 ,設(shè) log sin1 cos1 =a ,則得(sin 1 a =cos1 <sin 1,所以 a a1 ；log cosi sin 1 =b ,則(cos1 b =sin1>cos1,所以 0cb<1 ；即 log cosi sin 1 < logsimcos1 .設(shè) log sin1 tan1 = c , log cos1tan1 = d

32、 ,則得(sin 1 c = (cos1 d = tan1,(結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象進(jìn)行比較),c <d .即 logsin1 tan1 <logcos1 tan1.故選 C.logb sin alog b cos a1994*4、已知 0<b<1, 0<a c,則下列三數(shù)：x = (sinaj, y=(cosaj ,4Sogbcosa , 的大小關(guān)系是()A. x : z 二 y B. y 二 z 二 x C. z 二 x 二 y D. x 二 y : z答案：A解析：由 0 <a <二得 0 <sin a <cosa <1 ,又 0 c

33、b <1 ,所以 log b sin a > log b cos a > 0 . 4. logbsina . logb cosalogb cosa i(.(sina ) b<(sina j b < (cosa ) b 即 x<z< y.選 A.01994*10、設(shè)0 日 n ,則sin萬(1 +cos日旃最大值是答案:4.39解析:所以y2口2 一令 y =sin (1 +cosH )=2sin cos ,知 y > 0, 22232 122 1c 2= 2x2sin cos cos <2 - i .22234.312 _ .即yW43 當(dāng)

34、tan = 上時(shí)等號(hào)成立.9221992*8、在區(qū)間0,冗中，三角方程cos7x =cos5x的解的個(gè)數(shù)是 .答案：71.斛析：由題息得 7x = 5x +2kn，或 7x = 5x + 2kn ,(k=Z)"lx = kn, x = kn ( kZ),6在區(qū)間0, M內(nèi)共有7解.1991*7 . cos2100 +cos2 500 -sin 400 sin 800 =.3答案：341 cos2001 cos10001(“0 ,c0斛析： 原式 =+十(cos120 -cos40 )22211_o_0_ 0=1 一一十一(cos20 -cos80 -cos40 ).4 2二11 co

35、s200 -cos 600 200 1cos600 -2004 21990*1 .設(shè) a w '±二 i；則(cosot)cosot, (sin a)cosa, (cosa )sinct 的大小順序是0 2 JcoscossincossincosA. (cos 一)-:二(sin 一)一:二(cos - ) - B. (cos 一)-:二(cos 一)-:二(sin 一) j-hjj-hjsin jvjcinpricj>jC. (sin ：) : (cos，)(cos，)- D. (cos： ) (cos，) - ；(sin ：) 答案：D 解析：ct ,泊 0 <

36、;cosa <sina <1 , 0 2J l (cosot)c0soic (sin a)cos儀；(cosot)sin"<(cosot )cos<x；選 D1990*8.設(shè) A(2,0)為平面上一定點(diǎn)，P(sin(2t 60°),cos(2t600)為動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng) t 由 15° 變至ij 45°時(shí)，線段AP掃過的面積是.1T答案：一 6解析：點(diǎn) P 在單位圓上，sin(2t 600)=cos(1500 2t) , cos(2t 60。)= sin(1500 2t).當(dāng) t 由150變至1J450時(shí)，點(diǎn)P沿單位圓從一一， 運(yùn)動(dòng)到口

37、立.線段AP掃過的面積等于扇形面積< 2 2 J I2 2 J60 g 人tj'1990*13 .已知a,b均為正整數(shù)，且a Ab , sin =27 ,(其中0<e <二)， a2 b22An =(a2+b2)nsin nB .求證：對(duì)于一切自然數(shù)n, An均為整數(shù).2 2證明:由 sin 8 = 2a 2,得 cos=a2,記 Bn=(a2+b2)nsinn8 .a2 b2a2b2 n當(dāng)a, b均為正整數(shù)時(shí)，A1 =2ab、B1 =a2-b2均為整數(shù).A2 =4ab(a2 -b2 ), B2 =2(a2 -b2 2 -(a2 +b2 2也為整數(shù).若 Ak =(a2

38、 +b2)ksin k、Bk =(a2 +b2)k sin k日均為整數(shù)，則 Ak書=(a2 +b2)k*sin(k +1 p =(a2 +b2)k41(sin k6cos6 +cosk6sin 6 )= AkB1 + A1Bk為整數(shù).By =(a2 +b2)k*cos(k +1 p = (a2 +b2)k'(coske cos6 sin k0 sin 0 )= Bk Bi - AAk 也為整數(shù).由數(shù)學(xué)歸納原理知對(duì)于一切nwN, An, Bn為整數(shù).1.33c 11一一nn I D.| 一冗一n144_ 221989*2.函數(shù) f (x) =arctanx+arcsinx 的值域是()

39、 2A.(一江,冗)B . n n I, C一 4 ,4答案：D解析：因xw 匚1,1，故 arctaxiw I-,',一 4 41.r ,，八-arcsin x w |, i ,且 f (1)=, 2_ 4 42jif (1)=.選 D21989*12 .當(dāng)s和t取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，則(s+53cost 2+(s 2sint f所能達(dá)到的最小值為.答案：222解析：令x=3cost, y = 2sint ,則得橢圓土+2-=1在第一象限內(nèi)的弧段.94再令x=s+5, y =s,則得y = x-5 ,表示一條直線.(s+5-3cost )+(s-2sint )表示橢圓弧段上點(diǎn)與直線上點(diǎn)距離

40、平方.其最小值為點(diǎn)(3,0人直線y=x-5距離平方等于2.1986*1、設(shè)1<a<0,日=arcsina ,那么不等式sin xc a的解集為()A. tx2n二 【：二 x ：二(2n 1)二-*n Z ：B. tx2n二-，：x ；(2n 1)二 川n Z：C. 'x(2n-1)二二：x ；2n二- 1,n ZD. 'x(2n-1)二-二：x ：2n二 ，n Z ：答案：D解析：一二c日<0 ,在(一兀,0 )內(nèi)滿足sinx < a的角為一兀一8 < x <日，由單位圓易得解為 D.2 一44.1985*3、已知方程 arccos- -a

41、rccos 一一 |=arcsinx 貝u（）5< 5J224_24A.x = B.x = -C.x = 0D.這1的x 不存在.2525 答案：D解析:4 即 arcsin x = 2arccos . 5設(shè) arccos-=日，貝U cos9 二一 , 55sinH = _ .524.，sin26=.即2日為銳角.251984*7、若動(dòng)點(diǎn)P(x, y)以等角速度s在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q(-2xy,y2 -x2)的運(yùn)動(dòng)方式是()A.以角速度。在單位圓上順時(shí)針運(yùn)動(dòng)B .以角速度6在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)C.以角速度28在單位圓上順時(shí)針運(yùn)動(dòng)D .以角速度26在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng) 答案：C3

42、冗 解析：令 x =coswt, y =sincot .則一2xy = 2sin2cot =cos 3 -2ot i<2 Jy2 -x2 = -cos20t =sin -20t L 顯然 一2st與 cot旋轉(zhuǎn)方向相反.故選 C.2x1984 10、方程cos = cosx的通解是 ,在（0,24n）內(nèi)不相同的解有 個(gè).-8.8 一答案：x=kn或x= m；I； 2035解析：由題意得x=2kn±x, x=8kn或x =8 mn .435、,.88當(dāng) 0< k<24 時(shí)，k =1,2,3, ,8 ；當(dāng) 0 < m<24 時(shí)，m =1,2,3,14 ；而當(dāng)

43、 k=3,m = 5 及35k=6,m=10時(shí)，解是相同的，故共有 8+142 =20個(gè)不同的解.1983*、（本題滿分 8 分）求證：arcsin x+arccosx =',其中 xe L1,1】2證明：由于x w L1,1 ,故arcsinx與arccosx有意義，nn| n nsin（arccosx） =cos（arcsosx =x ）,由于 arccos xC 0 ,兀,/. -arccosx |- , >22_ 2 2n 故根據(jù)反正弦定義，有 arcsinx =-arccosx .故證.21982*5、對(duì)任何 0 0 0, 都有()< 2；A. sin sin j

44、 .；： cos .；：- coscos :B. sin sin : . cos : coscos ：C. sin cos : cos : cossin :D. sin cos 匕二 cos c cossin :答案：D解析：由 0<sin 中中二，得 cossn Asn 中.0< cos 中 < 1,得 sn cos 中 < cos 中.故選 D. 2k 二-ris 二+由二.I1981*3、設(shè)口。(k #0,±1,年,)，t=，則下列正確的是()26 ,二 oA. t取負(fù)值 B.t取非負(fù)值C. t取正值 D.t取值可正可負(fù)答案：C2sin 二 "

45、 tan： sin 二 cos： 1 一解析：t2 0cos。)卜cot： cos "sin :；11981年2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試試題分類匯編2、函數(shù)與方程部分2018A 5、設(shè)f(x)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間10,1】上嚴(yán)格遞減，且滿足f(n)=1,f (2幾)=2,則不等式組1 <x <23左小,的解集為1 < f (x) <2答案：! '： -2,8 -2 二 1解析：由f(x)為偶函數(shù)及在區(qū)間 b,1】上嚴(yán)格遞減知，f (x)在1-1,0上遞增，結(jié)合周期性知，f (x)在 1,2 1上遞增，又 f (冗2) = f (

46、U)=1, f (82n)= f(2冗)=f(2n) = 2,所以不等式等價(jià)于 f(n -2) < f (x) < f (8-2jt),又 1<n2<82 n <2所以n -2 <x<8-2n ,即不等式的解集為缸2,82n2018A, B 9、(本題滿分 16分)一， 上.，、 log 3 x -1 ,0 <x <9 _. 一一，一_已知定義在 R + 上的函數(shù)f(x)為f(x) = " L I，設(shè)a,b,c是二個(gè)互不相同的、4 - Vx ,x >9實(shí)數(shù)，滿足f (a)= f(b)= f(c),求abc的取值范圍。 解析：

47、不妨設(shè)a<b<c,由于f(x)在(0,3】上遞減，在13,9】上遞增，在9,依)上遞減，且f (3) = 0,f (9) =1 ,結(jié)合圖像知：a (0,3), bw(3,9), c w )，且 f (a) = f (b) = f (c) w (0,1 )。由 f (a) = f (b)得 log3a +log3b =2 ,即 ab = 9 ,此時(shí) abc = 9c,又 f(c) =47c,由 0 <4而 <1得cw (9,16 ),所以 abc = 9cw (81,144)。2018B 7、設(shè)f(x)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間1,2】上嚴(yán)格遞減，且滿足f(

48、n)=1,一0 0<x<1 ，f (2幾)=0,則不等式組 )的解集為 0 < f (x) < 1 答案：2二-6,4 - 二】 解析：由f(x)為偶函數(shù)及在區(qū)間1,2】上嚴(yán)格遞減知，f(x)在匚2,-1】上遞增，結(jié)合周期性知，f (x)在0,1】上遞增，又 f (4冗)=f 3) =1 , f(2n 6)= f (2兀)=0 ,所以不等式等價(jià)于f (2n-6) < f(x) W f (4 -n)，又0 <2n 一6 <4-冗<1 ,即不等式的解集為 匕冗-6,4 -n 12017A1、設(shè)f(x)是定義在R上函數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù) x有f (x+3)

49、 'f(x 4) =1 ,又當(dāng)0Mx<7時(shí)，f (x) =logz(9 x),貝 U f(100)的值為-1答案：-1函數(shù) f (x)的周期為 14,所以 f (100)= f(2) = 1f (5)22解析：由條件知，f(x+7)f(x) = 1 ,即 f(x+7)f(x+14) = 1 ,故 f(x)= f(x + 14),即2x2017B 3、設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，若f(x)+x是奇函數(shù)，f(X)+2是偶函數(shù)，則f(1)的值為答案：工41解析：由條件知，f (1)+1 = ( f(1)+(1)_ 斛析：設(shè) an = f (-)(n =1, 2, 3,),則 a1 =

50、 f (1) = 1. n) = f(1)1 , f (1) + 2= f (-1) + -,21 7兩式相加消去f (-1),可知：2f (1)+3 = ,即f(1) = .2 42016A 3、正實(shí)數(shù) u , v , w 均不等于 1,若 log u vw + log v w = 5 , log v u + log w v = 3 ,則 log w v的值為4答案：45解析：令 loguv=a, logvw = b,則logvU1.1.一，log w v = , log u vw = logu v + logu v log v w = a +ab ab11 一 5條件化為a+ab+b=5,

51、 + =3,由此可得ab ,因此 a b44log wu = log w v *log v u =-2016A 10、(本題滿分 20分)已知f (x)是R上的奇函數(shù)，f (1) = 1 ,且對(duì)任意x <0,均有x-1111111 f ()=xf (x)。求 f (1) f()+ f () f(-) + f () f (一)+ f(-) f (一)的值。, x1 ,在 f () = xf (x)中取 x = 一一(k = N ),注息到x -1kxx -11k-1-1k1，、，及f (x)為奇函數(shù).k 1知11111f( ) 二 一 f( ) = f()k 1 kk k kn -1nJ,

52、a 11a k 111即=,從而 an =a1 *n =n - =-akkkd akkd k (n -1)!10分x -11002993985051因此5050i二.ai a101 J,二、i4i4 (i -1)!(100 -i)!49=£t i!«99 -i)!1 49一 “ C 99! t1 49, JOC 99 _i 11 c99C99 )299! 29899!20分22015A1、設(shè)a、b為兩不相等的實(shí)數(shù)，若二次函數(shù) f(x)=x +ax+b滿足f(a)= f(b),則f (2)的值為 答案：4a - ba 解析：由己知條件及二次函數(shù)圖像的軸對(duì)稱性，可得ab = -a ,即2a+ b = 0 ,所以22f (2) = 4 23 b = 42015A 9、(本題滿分16分)若實(shí)數(shù)a,b,c滿足2a +4b =2c, 4a +2b =4c,求c的最小值。 解析：將 2a,2b, 2c分別記為 x,y,z,則 x, y,z:>0.222 - 22 ,2、22 c 24由條件知， x+y =z,x +y=z，故 z y=x =(z y) =z 2yz + y