固體物理學(xué)例題

1、補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題 03 試做出簡單立方晶格、面心立方晶格和試做出簡單立方晶格、面心立方晶格和體心立方晶格的維格納體心立方晶格的維格納 塞茨原胞塞茨原胞(Wingner-Seitz) WSWS原胞原胞 由某一個(gè)格點(diǎn)為中心由某一個(gè)格點(diǎn)為中心 做出最近各點(diǎn)和次近做出最近各點(diǎn)和次近 各點(diǎn)連線的中垂面各點(diǎn)連線的中垂面 這些包圍的空間為這些包圍的空間為 維格納維格納塞茨原胞塞茨原胞補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題 01 做出石墨烯做出石墨烯Graphene 的原胞的原胞Graphene (石墨烯石墨烯) 的兩種原胞取法，的兩種原胞取法，每個(gè)原胞有每個(gè)原胞有2個(gè)個(gè)碳原子碳原子Graphene補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題 02 做出石墨

2、做出石墨 Graphite的原胞的原胞 石墨原胞取法，石墨原胞取法，每層每層2個(gè)原子，個(gè)原子，取兩層取兩層原胞有原胞有4個(gè)個(gè)碳原子碳原子GraphiteA層B層簡單立方的簡單立方的WSWS原胞原胞原點(diǎn)和原點(diǎn)和6個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的立方體個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的立方體面心立方晶格面心立方晶格的的WS原胞原胞 為原點(diǎn)和為原點(diǎn)和12個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的的正十二面體正十二面體 體心立方體心立方的的WS原胞原胞為原點(diǎn)和為原點(diǎn)和8個(gè)近鄰格點(diǎn)個(gè)近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面圍成的正連線的垂直平分面圍成的正八面體，和沿立方軸的八面體，和沿立方軸的6個(gè)個(gè)次

3、近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分次近鄰格點(diǎn)連線的垂直平分面割去八面體的六個(gè)角，形面割去八面體的六個(gè)角，形成的成的14面體面體（截角八面體）（截角八面體）其中八個(gè)面是正六邊形，六個(gè)面是正四邊形其中八個(gè)面是正六邊形，六個(gè)面是正四邊形 習(xí)題習(xí)題1.2習(xí)題習(xí)題1.1習(xí)題習(xí)題1.3晶格常數(shù)為晶格常數(shù)為 a 的簡立方晶格，與正格矢的簡立方晶格，與正格矢 R 正交的晶面族指數(shù)是什么？正交的晶面族指數(shù)是什么？晶面間距晶面間距d是？是？kaj aiaR224習(xí)題習(xí)題1.4 繪畫石墨烯的普通原胞繪畫石墨烯的普通原胞 和和WS原胞原胞a1a2a3- a3- a2- a1四指數(shù)四指數(shù)晶向指數(shù)晶向指數(shù)，取與坐標(biāo)軸的，取與坐標(biāo)軸的

4、垂直截距垂直截距，而非平行四邊形截距。而非平行四邊形截距。1,0,-1,0a1a2- a2- a11, 1/2, 0 2, 1, 0三指數(shù)三指數(shù)晶向指數(shù)晶向指數(shù)取與坐標(biāo)軸的取與坐標(biāo)軸的平平行四邊形行四邊形截距截距(坐標(biāo)坐標(biāo))。（為取指數(shù)方便，例子中紅色的晶向的表示矢量可以任意伸縮）六角晶格特殊的晶面指數(shù)表示六角晶格特殊的晶面指數(shù)表示 習(xí)題習(xí)題1.7 證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方；證明：體心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是體心立方面心立方晶格的倒格子是體心立方 。習(xí)題習(xí)題1.8 證明：倒格子矢量證明：倒格子矢量 垂直于密勒指垂直于密勒指數(shù)為數(shù)為 (h1 h2 h3) 的

5、晶面系。的晶面系。1 1223 3Ghbh bh b習(xí)題習(xí)題1.6(試用倒格矢關(guān)系證明試用倒格矢關(guān)系證明)習(xí)題習(xí)題1.5計(jì)算二維六角的倒格子基矢，畫出其計(jì)算二維六角的倒格子基矢，畫出其1BZ 123BCC:(),(),()222aaaaijkaijkaijk 2 /hkldG123FCC:()/2,()/2,()/2aa jkaa kiaa ij習(xí)題二提示提示1)：提示提示2)：12222()41 1sin ()mMmMaqmMmM2241 |cos|1 |cos|2aqaqmm雙原子鏈：雙原子鏈：M=m:4|cos|2aqm4|sin|2aqm得到等質(zhì)量一維雙原子鏈： 4|cos|2aqm4

6、|sin|2aqm等質(zhì)量一維雙原子鏈： 一維單原子鏈： 2sin()2aqm 等價(jià)性？等價(jià)性？等質(zhì)量一維雙原子鏈相當(dāng)于取單原子鏈等質(zhì)量一維雙原子鏈相當(dāng)于取單原子鏈原胞兩倍為晶胞原胞兩倍為晶胞，對應(yīng)，對應(yīng)1BZ大小大小減半，單原子鏈超出部分的色散曲線減半，單原子鏈超出部分的色散曲線折疊入折疊入1BZ成為光學(xué)支，保持成為光學(xué)支，保持1BZ總格波模式為總格波模式為 “N=原子數(shù)原子數(shù)”-這也是為什么使用原胞概念這也是為什么使用原胞概念.練習(xí) 3.1解釋概念 格波 色散關(guān)系 聲子幾種簡單情況下振動(dòng)模式密度的表示幾種簡單情況下振動(dòng)模式密度的表示 例例1：計(jì)算：計(jì)算一維單原子鏈一維單原子鏈的振動(dòng)模式密度。

7、的振動(dòng)模式密度。 最大頻率最大頻率4mm4sin()sin() ,22maqaqm振動(dòng)模式密度定義：振動(dòng)模式密度定義：1( )22( )qdnL dqLgddq一維情況下一維情況下 LNa每個(gè)波矢占據(jù)寬度每個(gè)波矢占據(jù)寬度 1 2qLN a單位長度里的波矢密度：單位長度里的波矢密度：12qqNaLdq長度里的波矢數(shù)：長度里的波矢數(shù)：22qNaLdndqdqdq( )dngd考慮到一個(gè)頻率可以有考慮到一個(gè)頻率可以有 兩個(gè)值兩個(gè)值q1( )22( )qLgq222( )cos()1 sin ()22222mmqmaaaqaqqa2221( )mNg振動(dòng)模式密度振動(dòng)模式密度sin()2maq2221(

8、 )mNg一維單原子鏈一維單原子鏈的振動(dòng)模式密度的振動(dòng)模式密度 dgdn)(類似的，類似的， 一維雙原子鏈一維雙原子鏈的振動(dòng)模式密度的振動(dòng)模式密度 幾種簡單情況下振動(dòng)模式密度的表示幾種簡單情況下振動(dòng)模式密度的表示 例例2：計(jì)算：計(jì)算三維長聲學(xué)波在彈性波近似下三維長聲學(xué)波在彈性波近似下的振動(dòng)模式密度。的振動(dòng)模式密度。 3( )d(2 )qVdndVgvq其中彈性波色散關(guān)系，其中彈性波色散關(guān)系， 由于波速由于波速(色散關(guān)系色散關(guān)系)與傳播方向與傳播方向q無關(guān)，無關(guān)，故在故在q空間等頻面為球面，球殼體積：空間等頻面為球面，球殼體積：24qdVq dq彈性波態(tài)密度呈彈性波態(tài)密度呈現(xiàn)拋物線形?，F(xiàn)拋物線形

9、。10/36 直接由態(tài)密度定義，直接由態(tài)密度定義，dn = 密度密度*體積體積234/d( )(2 )Vq dqg1,dqqdvv由色散關(guān)系有：1.由于波速由于波速(色散關(guān)系色散關(guān)系)與傳播方向與傳播方向q無關(guān)，故在無關(guān)，故在q空間等頻空間等頻面為球面，面為球面，ds 積分即該球面面積：積分即該球面面積：24dsq于是：于是：231( )4(2 )qVgq,dv qdqv由色散關(guān)系有：方法方法2.3( )(2 )( )qVdsgq直接利用公式：直接利用公式：2( )g為拋物線形。 固體物理教程-王矜奉 習(xí)題 3.10習(xí)題3.13( )(2 )( )qVdsgq 色散關(guān)系沒有方向性色散關(guān)系沒有方

10、向性(qx,qy 無區(qū)分無區(qū)分), 等頻率面在二維等頻率面在二維情況下為圓環(huán)，圓環(huán)周長為：情況下為圓環(huán)，圓環(huán)周長為： 例例3： N個(gè)相同原子組成二維簡單晶格，面積為個(gè)相同原子組成二維簡單晶格，面積為S， 用徳拜模型計(jì)算比熱用徳拜模型計(jì)算比熱, 證明其低溫下與證明其低溫下與 T2 正比。正比。222( )(2 )(2 )( )qSdlSqgvq證：徳拜模型使用彈性波近似，色散關(guān)系為證：徳拜模型使用彈性波近似，色散關(guān)系為 = vq。2dlqqxqyq2( )22SvSvgv二維晶格有兩支格波，一支橫波、一支縱波，二維晶格有兩支格波，一支橫波、一支縱波，速度分別為速度分別為vL , vT 。2222

11、11pLTvvv222( )22LTpSSSgvvv令令先確定德拜頻率先確定德拜頻率 D：/2/022022()()(1)(1)BBBDBDk Tk TVBkBTBk TpBeCkgSekdvk Tdk Tee2222200222DDDpppSSSNdvvv23/220,(1)DxTBBDVDxpBSkk Te xCdxvek其中熱容表示為，熱容表示為， 二維格波總模式數(shù)二維格波總模式數(shù) 2N, 4DpNvSBxk T把態(tài)密度和德拜頻率把態(tài)密度和德拜頻率 D帶入熱容公式：帶入熱容公式：22( )Sgv做變量代換做變量代換, 23/220,(1)DxTBBDVDxpBSkk Te xCdxvek

12、其中熱容表示為，熱容表示為， 1xBxexk T是小量，2223/22220(1)22DxTBBBBDVxppBSkk TSkk Te xCdxvevTNk23/2202(1)DxTBBVxpSkk Te xCdxve=AT高溫時(shí)高溫時(shí) ， 對積分內(nèi)只保留對積分內(nèi)只保留x的一階小量的一階小量, 與經(jīng)典熱容理論一致與經(jīng)典熱容理論一致. 低溫時(shí)低溫時(shí) ， /DT 33/2200(1)(1)DxxTxxe xe xdxdxee積分是常數(shù)，熱容與溫度平方成正比熱容與溫度平方成正比. 固體物理教程-王矜奉 習(xí)題 3.10習(xí)題3.2 3( )( )2qVdsgq其中ds為該支格波的等頻面，由于題中色散關(guān)系

13、沒有方向性，故為球面：24dsq推廣可以證明：如果色散關(guān)系推廣可以證明：如果色散關(guān)系 提示：2cq1/2( ) g0( ) g1/2( ) g二維二維 三維三維 一維一維 習(xí)題3. 3 對一維簡單晶格對一維簡單晶格(一維單原子鏈一維單原子鏈)，按照徳拜模型，求晶格熱容；，按照徳拜模型，求晶格熱容； 并證明高溫?zé)崛轂槌?shù)并證明高溫?zé)崛轂槌?shù) NkB , 低溫?zé)崛菡扔诘蜏責(zé)崛菡扔?T。 固體物理教程-王矜奉 習(xí)題 3.13注：徳拜模型即使用彈性波注：徳拜模型即使用彈性波近似，色散關(guān)系為近似，色散關(guān)系為 = vq。1( )22( )qDLLgvqva/2/20()( )(1)DBBk TVBk

14、TBeCkgdk Te 色散關(guān)系沒有方向性色散關(guān)系沒有方向性(qx,qy 無區(qū)分無區(qū)分), 等頻率面在二維等頻率面在二維情況下為圓環(huán)，圓環(huán)周長為：情況下為圓環(huán)，圓環(huán)周長為： 例例3： N個(gè)相同原子組成二維簡單晶格，面積為個(gè)相同原子組成二維簡單晶格，面積為S， 用徳拜模型計(jì)算比熱用徳拜模型計(jì)算比熱, 證明其低溫下與證明其低溫下與 T2 正比。正比。222( )(2 )(2 )( )qSdlSqgvq證證2：徳拜模型使用彈性波近似，色散關(guān)系為：徳拜模型使用彈性波近似，色散關(guān)系為 = vq。2dlqqxqyq2( )22SvSvgv233220/22222000212121mDDBBxBBBBk T

15、k TxdS k TS k Tk Tk TSdx dxEEveveve2( )2Sgv2320/222003222022111mDBBDBBBk Tk TxBxdS k Tk Tk TSdEEveveS k Tx dxve二維簡單晶格共有二維簡單晶格共有2支格波支格波 ： 20,()vsDECTTTxET 3時(shí)，積分內(nèi)為常數(shù) 例例1：分別以定義和態(tài)密度計(jì)算自由電子的分別以定義和態(tài)密度計(jì)算自由電子的0K費(fèi)米能。費(fèi)米能。 方法1電子電子濃度濃度 方法2 E 到 E+dE 間電子數(shù) 1 2003 2( )23FFFEENN EdEVCEdEVC E3 223(2),/2mwhere CnN V( )

16、( )dNf EN EdE總電子數(shù) 0( )( )NdNf EN EdE1,(E)0,0FFEEfEETK習(xí)題：證明 二維自由電子的態(tài)密度(除以單位面積)為常數(shù) ; 一維自由電子的態(tài)密度(除以單位長度) E-1/2 ； （并求出各自費(fèi)米面處態(tài)密度）223322( )( ),24(3D)32(2D)22(1D)2kkdZkN EEdEmVkSZkLk自由電子模型自由電子模型 ，溫度溫度 T 下電子滿足下電子滿足: TEST test 例例1：分別以定義和態(tài)密度計(jì)算自由電子的分別以定義和態(tài)密度計(jì)算自由電子的0K費(fèi)米能。費(fèi)米能。 TEST 例題例題1 計(jì)算一維單原子鏈的緊束縛能帶計(jì)算一維單原子鏈的緊束縛能帶 ( L = na ) 對于中心原子，只考慮左右近鄰， Rs=a利用利用snmRRR具有相同的值具有相同的值)(sRJ( )()1(),()2cosik ai