圓錐曲線與方程知識點復(fù)習(xí)及例題優(yōu)秀版

1、圓錐曲線與方程知識點復(fù)習(xí)及例題優(yōu)秀版第二章圓錐曲線與方程知識梳理1、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(1) .橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動點與兩定點F1、52的距離的和大于| F1 F2 |這個條件不可忽視.若這個距離之和小于I Fi F2 ,則這樣的點不存在；若距離之和等于I Fi F21 ,則動點的軌跡是線段Fi F2.(2) .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:2x-2a222-yy 1 -y2 與 1 ( a > b >0) b a b(3) .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法：判別焦點在哪個軸只要看分母的大小：如果x2項的分母大于y2項的分母，則橢圓的焦點在 x軸上，反之，焦點在 y軸上.2、橢圓的簡單幾何性

2、質(zhì)(a > b >0)22(1) .橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓萬程y 1,線段A1 A2、B1 B22a和2b,a2 b2c b2(2) .離心率：e 1 0 <e<1.e越接近于1時，橢圓越扁；反之，e越接近于0a a時，橢圓就越接近于圓.橢圓的焦半徑：MF1a ex, MF2 a ex. a2 =b2 + c222(4) .橢圓的的內(nèi)外部點 P(x0,y0)在橢圓與 4 1(a b 0)的內(nèi)部 a b2&2a2 y0 b2(5) .焦點三角形PFF2經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公式 將有關(guān)線段PF1 > PF2、2c,有關(guān)角F1PF2結(jié)合起來，建立PF1

3、PF2、|PF PF2等關(guān)系.§橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程典例剖析題型一橢圓的定義應(yīng)用橢圓卷4/上有一點它到描圓陋焦點E的距離為心題型二橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法53例2已知橢圓的兩個焦點為(-2, 0), (2,0)且過點(鼻，-),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程§橢圓的簡單的幾何性質(zhì)典例剖析題型一 求橢圓的長軸和短軸的長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)等.例1已知橢圓x2 (m 3)y2 m(m0)的離心率e ，3 ,求m的值及橢圓的長軸和短2軸的長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo).例2設(shè)橢圓的兩個焦點分別為 Fi、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若 FiPF為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是()A.叵 B , 2

4、L1c . 2 ” D . V2 122例3已知橢圓C的焦點Fi ( 2<2 , 0)和F2 ( 2V2 , 0),長軸長6,設(shè)直線y x 2交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標(biāo).知識梳理(1)雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點I Fi F21 )的動點M的軌跡叫做雙曲線1、雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程Fi、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a (小于.在這個定義中，要注意條件 2av | Fi F21 ,這一條件可以用“三角形的兩邊之差小于第三邊"2a=| Fi F21 ,則動點的軌跡是兩條射線；若 2a>I Fi F2 MFi < MF2時，動點M的軌跡僅為雙曲線的一個分

5、支，又若MFi > MF2時，軌跡為雙曲線的另一支.而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應(yīng)為“差的絕對值”.(2) .雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程判別方法是：如果x2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在 x軸上；如果y2項的系數(shù)是正數(shù)，則焦點在 y軸上.對于雙曲線，a不一定大于b,因此不能像橢圓那樣， 通 過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標(biāo)軸上2、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)22-(I).雙曲線xy彳I實軸長為2a,虛軸長為2b,離心率e -h 三離心率e越aba a2大，開口越大(2).雙曲線2x2a2J I的漸近線方程為y b2-x或表示為32aa2 y b20.若已知雙曲線的漸近線方程是ymx,即mx ny

6、 0,那么雙曲線的方程具有以下形式： nm2x2 n2y2 k,其中k是一個不為零的常數(shù)22(3)焦半徑公式 |PF |e(x a)|, PF2 |e( x). cc(4)雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系22若雙曲線方程為二2_ia b22漸近線方程：x2 y2>0a by -x;若漸近線方 a22程為y bx -0 雙曲線可設(shè)為勺-y2a a ba b(x2;若雙曲線與Ja公共漸近線，可設(shè)為2x-2a2 y b2(0 ,焦點在x軸上,0 ,焦點在y軸上).22一，一x y雙曲線 p 1(a,b 0)焦點三角形面積: a b2- b2 cot S F PF b cot -,局 h 2-。1

7、22c§雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程典例剖析題型一 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的判斷例I】判眇卜列方程是臺太東雙曲線T若是，求出三量小九C的咱.3 T-T;T1T0 -=1二一匕小工 _工=_|®4v：-9V=364 2222Iff-i工是雙曲戲,d=2/ =忘,£ = « t是雙曲線,u = N，b=6工=2 1是雙曲線8=3# 三；是雙曲線，a =b= 2,C ->/l3 *點評士改用我杼淮方程的心式：汪方昱.f項的系就是正的，那幺居點生工牯上，、二城的分學(xué)是口匕 門敏的系數(shù)是正的、林幺焦點在F物上，項的分母是/.題型二求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程例2已知雙曲線過 M(1,

8、1),N( 2,5)兩點，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就與"：區(qū)-I164有公共焦點，H.過由L3正，2)的雙曲方程.x2例1已知雙曲線與橢圓一9§雙曲線的簡單的幾何性質(zhì)典例剖析題型一雙曲線的性質(zhì)y2“ 一 ，一一144匚 1共焦點，它們的離心率之和為 ,求雙曲線方程.255題型二 有共同漸近線的雙曲線方程的求法2求與雙曲線92y31有共同的漸近線，并且經(jīng)過點(J3, 4)的雙曲線方程.設(shè)雙曲線x2 y 1上兩點2A B, AB中點M (1, 2)，求直線 AB方程;k代表實數(shù)，討論方程 kx2一 2 一 一一 一 2y 8 0所表示的曲線.題型三直線與雙曲線的位置關(guān)系例 已知不論b

9、取何實數(shù)，直線 y=kx+b與雙曲線x2 2y2=1總有公共點，試求實數(shù) k的取值 范圍.知識梳理1 .拋物線的概念平面內(nèi)與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l 上).定點F叫做拋物線的焦點，定直線 l叫做拋物線的準(zhǔn)線.方程 y2 2px p 0叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標(biāo)是 F ( -p ,0),它的準(zhǔn)線方程是2x £ . 2，2 .拋物線的性質(zhì)有四種不同的情況，所以拋物線的一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同,22_2標(biāo)準(zhǔn)萬程還有其他幾種形式：y 2 px, x 2 py, x2py.這

10、四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程如下表:標(biāo)準(zhǔn)方程y2 2px(p 0)y22px(p 0)x2 2py(p 0)2 x(p2py0)圖形0'F- *y 下Idxy. 計lIF *x1焦點坐標(biāo)吟,0) 2(R,0)2嗚(0,衛(wèi)) 2準(zhǔn)線方程x R2P x 2y pP y 一 2范圍x 0x 0y 0y 0對稱性x軸x軸y軸y軸頂點(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)離心率e 1e 1e 1e 1說明：（1）通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；（2）拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；（3）注意強(qiáng)調(diào)p的

11、幾何意義：是焦點到準(zhǔn)線的距離. §拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 題型一求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例1已知拋物線的焦點在 x軸上，拋物線上的點 M（3, m）到焦點的距離等于 5,求拋物 線的標(biāo)準(zhǔn)方程和 m的值.§拋物線的簡單的幾何性質(zhì)題型一焦點弦問題例斜率為1的直線經(jīng)過拋物線 y2=4x的焦點，與拋物線交于兩點A、B求線段AB的長.題型二直線與拋物線的位置關(guān)系例 焦點在y軸上的拋物線被直線 x-2y-1=0截得的弦長為 而,求這拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圓錐曲線方程一、橢圓方程.|PF1| PF 2 2a F1F2方程為橢圓，1 .橢圓方程的第一定義：PF1 pf2 2a F1F2無軌跡，PF1 P

12、F2 2a F1F2以F1,F2為端點的線段2 2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：i.中心在原點，焦點在X軸上：答 4 1(a b 0).a2 b2ii.中心在原點，焦點在y軸上：匚E1(a b 0). a2 b2一般方程：Ax2 By2 1(A 0，B。).2 一2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：三11的參數(shù)方程為x a (一象限應(yīng)是屬于0)a2 b2y bsin2頂點：(a,0)(0, b)或(0, a)( b,0).軸：對稱軸：X軸,y軸;長軸長2a,短軸長2b.焦距：F1F2 2c,c .a2 b2 .2:準(zhǔn)線：X 2或y 邑 cc離心率：e -(0 e 1). a焦點半徑：22i.設(shè)P(X0,y°)為橢圓

13、24 a b焦點：(c,0)(c,0)或(0, c)(0,c).1(a b 0)上的一點，F(xiàn)1,F2為左、右焦點，則22ii.設(shè)P(x0,y0)為橢圓卷 b2 a2歸結(jié)起來為左加右減”.通徑：垂直于x軸且文PF 1 a ex0, PF 2 a ex01(a b 0)上的一點,F1,F2為上、下焦點，則PF1a ey0, PF2 a ey02 2 2親點的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：d 2V (c,和(c3) a2 aa2共離心率的橢圓系的方程：橢圓 2 a2-yy 1(a b 0)的離心率是e - (ca a2 b2),方程ba2xy 二t(t是大于0的參數(shù)，a b 0)的離心率也是e -我們稱此方程為

14、共離心率的橢a2 b2a圓系方程. 22若P是橢圓：二 1上的點.Fi，F(xiàn)2為焦點，若F1PF2 ，則PF1F2的面積為b2tan 22a b2(用余弦定理與|PFi| PF2 2a可得).若是雙曲線，則面積為b2 cot-.二、雙曲線方程.1.雙曲線的第一定義:雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程:一般方程:PFil |PF2 2aPFi| |PF2 2aPFi| |PF 2 2a22x y , -2 -2- 1(a，b a2 b2Ax2 Cy2 1(ACF1F2方程為雙曲線F1F2無軌跡F1F2以F 1,F 2的一個端點的一條射線22、y x ,、0)占1(a,b 0).22a b0).i.焦點在x軸上：頂點：

15、(a,0), ( a,0) 焦點：(c,0), ( c,0)222準(zhǔn)線方程x J 漸近線方程：二)0或彳 J 0ca ba2b2ii.焦點在y軸上：2頂點：(0, a),(0,a).焦點：(0,c),(0, c).準(zhǔn)線方程：y .c漸近線方程：:x一 220或-2 2- 0 ,參數(shù)方程: a bx a sec 或 x b tany b tan y a sec軸xy為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2b,焦距2c.離心率e準(zhǔn)線距2a cc.a2-(兩準(zhǔn)線的距離)；通徑2b2a參數(shù)關(guān)系c2 a2 b2,e c a焦點半徑公式：對于雙曲線方程2 y b2(F 1,F 2分別為雙曲線的左、右焦點或分別為

16、雙曲線的上下焦點)“長加短減”原則：(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符MFiMF 2ex0 aex。 a構(gòu)成滿足MF1| |MF 2 2aMF 1ey oaMF 2ey o aM F iey oaM F 2ey oaMFiM F2等軸雙曲線：雙曲線x2 y2 a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y x ,離心率e 0共腕雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共腕雙曲線2 x-2 a2 匕 b2互為共腕雙曲線，它們具有共同的漸近線:22共漸近線的雙曲線系方程：5冬 （0）的漸近線方程為 a b22近線為x y 0時，它的雙曲線方程可設(shè)為4 （

17、 0）.a ba2 b2直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條;區(qū)域：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條;區(qū)域：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條;區(qū)域：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計 2條； 區(qū)域：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線 .小結(jié)：1.過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點， 可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.2.若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入“ ”法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.22若p在雙曲線匕 1,則常用結(jié)論 22a b1:從

18、雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等于b.PF12： P到焦點的距離為m , n,則P到兩準(zhǔn)線的距離比為m：n.簡證：包=-.d2 PF 2 n三、拋物線方程.3.設(shè)p 0,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì):2-y 2px2.y 2pxX2 2 py2-x 2py圖形J LO“、，/x.KO干隹百 八、八、p F(j,0)F(微,0)pF嗚）F(0, -2)準(zhǔn)線x上2x段y py p范圍x 0, y Rx 0,y Rx R, y 0x R,y 0對稱軸x軸y軸頂點(0, 0)離心率e 1隹百 八、八、1PF1 5 XilPFl p |xi|lPFly1|pf| p M注： ay2 by c

19、x 頂,點(4ac b ). 4a 2ay2 2px（p 0）則焦點半徑|pf x P ；x2 2py（p 0）則焦點半徑為pf y P .通徑為2p,這是過焦點的所有弦中最短的.2y2 2px （或x2 2py）的參數(shù)方程為x 2 Pt （或x 2Pt2） （t為參數(shù)）.y 2 pty 2 pt四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義.4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點 F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡.當(dāng)0 e 1時，軌跡為橢圓；當(dāng)e 1時，軌跡為拋物線；當(dāng)e 1時，軌跡為雙曲線；當(dāng)e 0 時，軌跡為圓（e c,當(dāng)c 0, a b時）.a5.圓錐曲線方程具有對稱性.例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對原點的一條

20、直線與雙曲線的交點 是關(guān)于原點對稱的.因為具有對稱性，所以欲證AB=CD,即證AD與BC的中點重合即可. 注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義1.到兩定點F1,F2的跑離之和 為定值2a（2a>|F1F2|）的點的軌 跡1.到兩定點F1,F2的跑離之 差的絕對值為定值2a（0<2a<|F1F2|）的點的軌跡2.與定點和直線的跑離之比 為定值e的點的軌跡.（0<e<1）2.與定點和直線的跑離之比 為定值e的點的軌跡.（e>1）與定點和直線的距 離相等的點的軌 跡.方程標(biāo)準(zhǔn) 方程22二二 1(a b>0) a b22二 _y2

21、1(a>0,b>0) a by2=2px參數(shù) 方程x a cosy bsin（參數(shù)為離心角）x asec y btan（參數(shù)為離心角）c -2x 2Pt (t為參y 2pt數(shù))范圍a x a, b y b|x|a, y Rx 0中心原點O (0, 0)原點O (0, 0)頂點r (a,0),(a,0) (0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸;實軸長2a,虛軸 長2b.x軸隹百 八、八、Fi(c,0), F2( c,0)Fi(c,0), F2( c,0)F (_p,0)2焦距2c (c=Ja2 b2 )2c(

22、c=Ja2 b2 )離心率ce -(0 e 1) ace (e 1) ae=1準(zhǔn)線2 a x=c2 a x= cx衛(wèi)2漸近線y=± - x a焦半徑r a exr (ex a)P r x 2通徑2b2 a2b2 a2p焦參數(shù)2 ac2 acP1.方程y2=ax與x2=ay的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程2.共漸近線的雙曲線系方程.圓錐曲線知識點回顧1.橢圓的性質(zhì)條件M|MF 1 |+|MF2|=2a , 2a > |F1F2|MF/吵|M|點M到11的距離一點M到l2的距離一 e °<e<1標(biāo)準(zhǔn)方程22x y2L 1(a>b>°)a2b222xy

23、t 4 1(a>b>0)b2a2頂點A1( a, °), A2(a, °)B1(°, b), B2(° , b)A1(° , a), A2(° , a)B1( b, °), B2(b, °)軸對稱軸：x軸,y軸.長軸長|A1A21=2a ,短軸長|B1B21=2b住日 八'、八、F1( c, °), F2(c, °)F1 (° , c),F2(° , c)焦距|F1 F2|=2c(c > °), c2=a2 b2離心率ce= (°

24、v ev 1) a準(zhǔn)線方程22a .a11: x=；l2 ： x=cc22a 1a11： y=；I： y= cc焦點半徑|MF1|= a+ ex0 , |MF2|= a- ex0|MF1|= a+ ey° , |MF2|= a - ey0點和橢圓 的關(guān)系>外223烏1(x°,y°)在橢圓上a bv內(nèi)切線方程(k為切線斜孝，2y=kx±Na2kb2(k可切容跳番2,2y= kx ± V b k ax°x , y°y _ 12.2ab(x0， y0)為切點x°x , y°y _1.22ba(x°

25、;， y°)為切點切點弦 方程(x0, y0)在橢圓外x°xy°y2 + .2 -1ab(x0, y°)在橢圓外 x°x y°y .,2 T - 2-=1ba弦長公式|x2 x1N1 +k 或|y1 y2|+ 2 k k其中(x1, y1),(x2, y2)為割弦端點坐標(biāo)，k為割弦所在直 線的斜率e越大橢圓越扁；e越小橢圓越圓。2.雙曲線的性質(zhì)條件P = M|MF 1|-|MF2|= 2a , a > 0 , 2av|F1F2|._|MFi|_|MF2|_P M|點M到li的距»點M到I2的距»e'

26、e>1,標(biāo)準(zhǔn)方程22x- 0 = 1（a>0, b>0）a2b222> J = 1（a>0, b>0）a2b2頂點Ai（a, 0）, A2（a, 0）A1（0 , a）,A2（0 , a）軸對稱軸：x軸,y軸,實軸長|A1A2|= 2a,虛軸長|B1 B2|= 2b住日 八'、八、F1（ c, 0）,F2（c, 0）F1（0 , c）,F2（0 , c）焦距|F1F2|= 2c（c > 0）, c2 = a2+b2離心率e= c（e>1） a準(zhǔn)線方程22,a .al1: x= ; l2 ： x= cc221a ai1： y=-；12： y= cc漸近線 方程.22,b xy-、y = ± -x（或一2 2 = 0） aab22 a ,yx小y一 ±X（或 2- 2 _ 0）bab共漸近線 的雙曲線 系方程220 = k（kW0）a2b2224=k（kW0）a2b2焦點半徑|MF1|= ex0 + a , yFk匾exa 12a b2|MF1|= ey0 + a, |MF 也 ey0Aa a2切線方程（k為b線斜率）b k > 一或 k