極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全

1、1 .平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換出癡 (1>0>設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換事0f>5的作用下，點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)到點(diǎn)尸(匕力，稱附為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變 換,簡稱伸縮變換.2 .極坐標(biāo)系的概念如圖所示,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)0,叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)。引一條射線 6，叫做 極軸；再選定一個(gè)長度單位，一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí) 針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.注：極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景 ,而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直 的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)的關(guān)系 ， 而極坐標(biāo)系則不可.但極坐

2、標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)°與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑,記為# ;以極 軸&為始邊，射線皿為終邊的角ZrfW叫做點(diǎn)M的極角,記為3 .有序數(shù)對 SE)叫做點(diǎn)m的極坐標(biāo)，記作MQ?).一般地，不作特殊說明時(shí)，我們認(rèn)為口A返日可取任意實(shí)數(shù).特別地，當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極坐標(biāo)為(0, )(Ke R R).和直角坐標(biāo)不同, 平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示.如果規(guī)定戶>,那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)9、團(tuán)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)S-砌表示的點(diǎn)也是唯一確定的.3 .極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作

3、為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸,并在 兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，如圖所示：(2)互化公式：設(shè)相是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是,極坐標(biāo) 是S叭>0),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：點(diǎn)建直角坐標(biāo)(耳仍極坐標(biāo)S£)互化公式JjT= pcosd y = psin &二e.7匕日= Jt在一般t#況下,由1als確定角時(shí),可根據(jù)點(diǎn)相所在的象限最小正角4.常見曲線的極坐標(biāo)方程注：由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一，即&的X"再+皈-4-網(wǎng)+我都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo),這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式 ，只要求至少

4、有一個(gè)能滿足極坐標(biāo)方程即可.例如對于極坐標(biāo)方程口=a點(diǎn)m'*'耳）可以表示為O網(wǎng)或塌：切如也爭4 44 44 4等多種形式，其中,只有4的極坐標(biāo)滿足方程二、參數(shù)方程1 .參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) 百刀都是某個(gè)變數(shù)工的函數(shù),并且對于工的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的點(diǎn) mu歷都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù) 的變數(shù)*叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)，相對于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系 的方程叫做普通方程.2 .參數(shù)方程和普通方程的互化（i）曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式，一般地可以通過消 去參數(shù)而從參數(shù)

5、方程得到普通方程.（2）如果知道變數(shù)5y中的一個(gè)與參數(shù)工的關(guān)系，例如工工大。，把它代入普通方程,求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系,那么事=W就是曲線的參數(shù)方程 在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使可了的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解 軌跡問題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的 參數(shù)方程的形式也不同。3 .圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓。的半徑為，點(diǎn),從初始位置“口出發(fā)，按逆時(shí)針方向在圓°上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)則.其防參蜘y =F9Ji&這就是圓心在原點(diǎn)。,半徑為，的圓的參數(shù)方程，其中日的幾何意義是加。 轉(zhuǎn)過的角

6、度。圓心為（哂,半徑為r的圓的普通方程是 g" +0-冷' 三，fr=ff+rcostf- - 口倒修蜘它的參數(shù)方程為：y=r&04 .橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)。為中心，焦點(diǎn)在工軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/ /工二口而5腳.一二技小-j + =Kff>*>Q）L1-時(shí)慘物0辦其參數(shù)方程為,其中參數(shù)伊稱為離心2 +7a =K®>A>01t角；焦點(diǎn)在了軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1 6其參數(shù)方程為小而、帥參命，y=am其中參數(shù)挈仍為離心角，通常規(guī)定參數(shù)中的范圍為挈o, 2天）。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)學(xué)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把 它和

7、這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角a區(qū)分開來，除了在四個(gè)頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相 等外（即在0到2n的范圍內(nèi)），在其他任何一點(diǎn)，兩個(gè)角的數(shù)值都不相等。但0<<z< 0<p<一當(dāng) 2時(shí)，相應(yīng)地也有 2 ,在其他象限內(nèi)類似。5 .雙曲線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)0為中心焦點(diǎn)在工軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為蛇處應(yīng)其參數(shù)方程為仁二:為蜘中W里&E）且伊=4-=Mz>Q八隊(duì)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是不產(chǎn)其參數(shù)方程為"一"08（成參數(shù)，其中”血狗出”工 y =£icscp以上參數(shù)1P都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角6 .拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為產(chǎn)二方產(chǎn)協(xié)參物3=珈7 .直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)%（知始，傾斜角為W9的直線工的普通方程是串一必二5噸一心而過MX%。，傾斜角為a的直線1r的參數(shù)方程為jjr = /fctre a1，=%+血16在為參數(shù)）注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點(diǎn)"K/hH ,傾斜角為值的直 flXJj+fCOBil：線F的參數(shù)方程為曲（前參勒，其中表示直線上以定點(diǎn)修為起 點(diǎn)，任一點(diǎn)"（馬力為終點(diǎn)的有向