數(shù)值分析簡明教程第二版(王超能)習(xí)題答案24頁全解word版[1]

1、數(shù)值分析簡明教程第二版(王超能)習(xí)題答案24頁全解0.1算法1、 (p.11 ,題1)用二分法求方程x3 x 1 0在1,2內(nèi)的近似根，要求誤差不 超過10-3【解】由二分法的誤差估計式|x* Xk| ¥103,得到2 k 1 2k 12k1 1000 .兩端取自然對數(shù)得k 3ln10 1 8.96,因此取k 9,即至少需ln2二分9次.求解過程見下表。kakbkxkf(xk)#0121.5+1234567892、(p.11,題2)證明方程f(x) ex 10x 2在區(qū)間0,1內(nèi)有唯一個實根；使用二分法求這一實根，要求誤差不超過 -10 2。2【解】 由于f(x) ex 10x 2,

2、則f(x)在區(qū)間0,1上連續(xù)，且f(0) e0 10 0 21 0, f(1) e1 10 1 2 e 8 0 ,即 f (0) f (1) 0,由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，f(x)在區(qū)間0,1上至少有一個零點.又f'(x) ex 10 0,即f(x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)的，故f(x)在區(qū)間0,1內(nèi) 有唯一實根.由二分法的誤差估計式|x* xj 安 士 1 10 2,得到2k 100. k 1 k 1222兩端取自然對數(shù)得k 綱10 2 3.3219 6.6438,因此取k 7 ,即至少需二分 ln27次.求解過程見下表。kakbkxkf(xk)#0010.5123456 n70.2誤差1

3、. (p.12 ,題 8)已知 e=2.71828 二試問其近似值 X12.7, x22.71 , X2=2.71 , x32.718各有幾位有效數(shù)字？并給出它們的相對誤差限?！窘狻坑行?shù)字：11因為|e X1 | 0.018280.05 10 ，所以x1 2.7有兩位有效數(shù)字；21因為|e x2 | 0.008280.05 10 1 ,所以x22.71亦有兩位有效數(shù)字；213因為|e x3 | 0.000280.0005 10 3,所以*32.718有四位有效數(shù)字;2r2r3|e x1 |0.05x12.7|e x2 |x20.052.711.85%;1.85% ；|e x3 |x30.00

4、052.7180.0184% o評 （1）經(jīng)四舍五人得到的近似數(shù)，其所有數(shù)字均為有效數(shù)字;（2）近似數(shù)的所有數(shù)字并非都是有效數(shù)字.2. （p.12,題9）設(shè)x12.72,x22.71828,x30.0718均為經(jīng)過四舍五入得出的近似值，試指明它們的絕對誤差（限）與相對誤差（限）。【解】10.005, M°°5 1.84 10 3；x12.722 0.000005,r2X20.000005s 61.84 10 ；2.7182830.0000543 0.00005,r3 6.96 10 ;x30.0718評經(jīng)四舍五入得到的近似數(shù)，其絕對誤差限為其末位數(shù)字所在位的半個單位3. (

5、p.12,題 10)已知 x1 1.42, x20.0184, x3 184 10 4 的絕對誤差限均為0.5 10 2 ,問它們各有幾位有效數(shù)字？【解】 由絕對誤差限均為0.5 10 2知有效數(shù)字應(yīng)從小數(shù)點后兩位算起，故“ 1.42,有三位；x20.0184有一位；而 x3 184 10 40.0184 ,也是有一位。1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、(p.54,習(xí)題1)求作f (x) sin x在節(jié)點x0 0的5次泰勒插值多項式 p5(x),并計算P5( 0.3367)和估計插值誤差，最后將P5(0.5)有效數(shù)值與精確解進行比較。【解】由f(x) f(4)(x) sin xsin x ,求得

6、f(x) ；f(5)(x) cosx；(2).、.cosx ； f (x)sin x ；f(6)(x) sin x,所以f(3) (x) cosx；P5(x)f(x0)f (x°)(xx0)f (x0)2!(x x°)2f (x0)5!(x x°)5f(0)f (0)x4x2 x2!Ux5x5!1 x3!插值誤差：R5(x)x6!x。)6|sin()1p5(0.3367)R5(0.3367)30.33670.33673!0.336762.026! 50.33675!(x x°)6-x6!0.3303742887 ,而6!10 60.5_ 510 ,精度到

7、小數(shù)點后0.5,則5位,故取p5(0.3367) 0.33037 ,與精確值較，在插值誤差的精度內(nèi)完全吻合！f (0.3367)sin(0.3367) 0.330374191 相比2、(p.55,題12)給定節(jié)點x01,x1 1,x2 3, x34 ,試分別對下列函數(shù)導(dǎo)出拉格朗日余項：(1) f (x) 4x15x 5! 3x 2；(2) f(x) x4 2x3【解】依題意，n 3,拉格朗日余項公式為R3(x)f(4)( ) 3I。(* xi)(1) f(4)(x) 0 - R3(x) 0；(2)因為 f (4)(x) 4!,所以f(4)()R3(x)k(x 1)(x 1)(x 3)(x 4)

8、 (x 1)(x 1)(x 3)(x 4)【解】依題意，n 3,拉格朗日余項公式為R3(x)f(4)( ) 3Ti°(x xi)似值并估計誤差。3、(p.55,題13)依據(jù)下列數(shù)據(jù)表，試用線性插彳1和拋物線插值分別計算sin(0.3367)的近i012xi0.320.340.36sin(x)0.3145670.3334870.352274(1) 線性插值因為x0.3367在節(jié)點x°和x1之間，先估計誤差R(x)2!x°)(x x)sin()2 (x % )(x1 x)max(x x0)(x1 x)0.01220xoP(x)x x1x0 x1sin(xo)xix0s

9、in(x1)x0x1 (x x0)sin(x1) (x1 x)sin(x0) x0104;須保留到小數(shù)點后 4為，計算過程多余兩位。1 y(xx0)2/4Zb ,、 y=(x-x 0)(x-x1)xx1P(x)0.02(0.33670.32)sin(0.34)(0.34 0.3367)sin(0.32)0.0167 sin(0.34) 0.0033 sin(0.32)0.020.3304(2) 拋物線插值插值誤差：R(x)f-U(x X0)(X Xi)(x X2)cos( )(x X0)(Xi x)(x X2)3!63max( x X0)(Xix)(x2 x) 3 0.011 “6 10662

10、yy=(x-X0)(x-X1)(x-X2)拋物線插值公式為:P2(x)0Max=3(x 1-X0)3/8 x(X X1)(X 均 sin(x0) (X X0)(X 雙熱(X0 X1)(X0 X2)(X1X0)(X1 X2)(x X1)(X X。)sin(x2)(X2 X1)(X2 X0)10.022(X1x)(X2x)2SinM)(X1x)(x X0)(x x0)(x2 x)sin(x1) sin(x2)F2 (0.3367)比2 3.8445 0.022sin(0.32) 38.911sin(0.34)2.7555 sin(0.36)比2 3.8445 0.022sin(0.32) 38.9

11、11 sin(0.34)2.7555 sin(0.36)0.33037439經(jīng)四舍五入后得:巳(0.3367) 0.330374,與 sin(0.3367) 0.330374191精確值相比較，在插值誤差范圍內(nèi)完全吻合!1.3分段插值與樣條函數(shù)32一 xx1、(p.56,習(xí)題33)設(shè)分段多項式S(x) 323 22x bx cx 1是以0,1,2為節(jié)點的三次樣條函數(shù)，試確定系數(shù)b, c的值.【解】依題意，要求S(x)在x=1節(jié)點函數(shù)值連續(xù)： S (1) 13 122 13 b 12 c 1 1 S (1),即：b c 1(1)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：S'(1) 3 12 2 1 6 12 2 b

12、 1 c S' (1),即：2b c 1(2)解方程組(1)和(2),得bS(x)2x3 2x2 3x2,1由于 S (1) 3 2 1 2 6 2 1 導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。c 3,即0x11x2" 2 2 S (1),所以S(x)在x=1節(jié)點的二階12、已知函數(shù)y -的一組數(shù)據(jù)，x0 0,x1 1,x21 x(1)求其分段線性插值函數(shù)；2 和 y01, y10.5, y20.2,(2)計算f (1.5)的近似值，并根據(jù)余項表達式估計誤差【解】(1)依題意，將x 分為0,1和1,2兩段，對應(yīng)的插值函數(shù)為S(x)和Sz(x),利用拉格朗日線性插值公式,求得xS1(x)一 XoXi-y。

13、Xix1Xo一 y1Xox 01 0.510.5x 1 ；e (八 X X2S2(x)y1X1X2xx1yX2X10.50.22 10.3x 0.8，、1(2) f (1.5)1 1.520.30769230769,而 S2(1.5)0.31.5 0.8 0.35 ,實際誤差為：| f (1.5) S2(1.5) 0.04230.05。(1)2x(2).由 f u (x)2-y,f (x)(1 x2)22(1 3x2) (1 x2)3f (x)24x(1 x2)(1 x2)4,可0.5知M2 f(2)(1) 0.5,則余項表達式| f ()|M224R(x) 1 j|(x 1)(x 2) |2

14、 0.50.50.06252!2!1.4曲線擬合1、(p.57 ,習(xí)題35）用最小二乘法解下列超定方程組:2x3x4y5y2y112x【解】構(gòu)造殘差平方和函數(shù)如下：2 一 _Q（x, y） （2x 4y 11）（3x 5y-23) (x_ 2_22y 6)(2x y 7),分別就Q對x和y求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零:Q(x, y)6x y 17(1)，xQ(x, y)3x 46y48(2),y解方程組（1)46 17x 和（482),得2733.04029,48 3 172、（p.57 ,習(xí)題37）用最小二乘法求形如【解】令Xx2N=5,求得5a5Xi2731.24176.2bx 的多項式,使之與下

15、列數(shù)據(jù)相擬合。bX為線性擬合，根據(jù)公式(p.39,公式 43),取 m=2, a1=0,5Xi15a xii 155a b2xii 15b x4i 15yi i 1(1)Xi yi2xi YixyiXi (=x i2)Xi2(=xi4)Xi yi (=xi2yi)191936113032168592532.362539062520187.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8157271.453277277699369321.5依據(jù)上式中的求和項，列出下表將所求得的系數(shù)代入方程組（1）和（2）,

16、得i 1i 1i 15a0 5327ao5327b 271.472776993 369321.5271.4 7277699 369321.5 53277791878.1 0.97258 ;80115665 7277699 5327 53270.05004;5 369321.5 5327 271.4400859.75 7277699 5327 53278011566即：y 0.97258 0.05004x2。2.1 機械求積和插值求積1、(p.94,習(xí)題3)確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明求積公 式所具有的代數(shù)精度：h(1) hf(x)dx A0f( h) Af(0) a

17、2f (h)；1 -一 1- 1_ 3(2) n f(x)dx A0f(-) A#() A2f(一);04241 1(3) 0 f(x)dx -f(0) A0f(x。)。04【解】(1)令f(x)1,x,x2時等式精確成立，可列出如下方程組：A0 A1A2 2h(1)A0 A20(2)A0 A2 -h(3)3h .4,hh一,、，解得：A0驗證，對f (x)A2-,A1h,即： f (x)dx - f ( h) 4f (0)f(h),可以33h334x公式亦成立，而對 f(x) x不成立，故公式(1)具有3次代數(shù)精度。(2)令f (x) 1,x,x2時等式精確成立，可列出如下方程組:A A A

18、2 1(1)A0 2A 3A22(2) 1.3f(-) 2f(f,可以242)具有3次代數(shù)精度。3A0 12A1 27 A2 16(3)解得：A0驗證，對f (x)2 1r 32、(p.95 ,習(xí)題6)給定求積節(jié)點x0 -,x1 -,試構(gòu)造計算積分I44求積公式，并指明該求積公式的代數(shù)精度?！窘狻恳李}意，先求插值求積系數(shù)： .1.1A2 -,A1.即：f (x)dx -2f(-)3 303434.x公式亦成立，而對 f(x) x不成立，故公式(3)令f (x) 1,x時等式精確成立，可解得：rr1132即：of (x)dx - f (0)- f (-),可以驗證，對一3 一 二一 f(x) x

19、不成立，故公式(3)具有2次代數(shù)精度。AxO3423f (x) x2公式亦成立，而對f (x)dx的插值型12L2Ldx0 x0 x1dx2 (2x2lx)Ai1 x0x1x。xdxx01 12(2x4x)插值求積公式:當當當10 f (x)dxf(x)f(x)f(x)nAkf(xk)k 01左邊=° f (x)dx1 12f(4)1左邊=0 f (x)dx1左邊=° f (x)dx1;左=右;右邊=-2101-;右邊=32169163；左w右;16故該插值求積公式具有一次代數(shù)精度。2.2 梯形公式和Simpson公式(1)用復(fù)化梯形法：0,b 1, n 5, hb-a10

20、.25n 4加之)小)卜1f(xk)f(b)10.25 f(0.00) 2 f (0.25) 20.125 1.00000 2 (1.655341.28358(2)用復(fù)化辛普生法：f(0.50) f (0.75)f(1.00)1.55152 1.06666) 0.72159x0.000.250.500.751.00f(x)1.000 001.655 341.551 521.066 660.721 591、(p.95,習(xí)題9)設(shè)已給出f(x) 1eI(x) dx的近似值。分別用復(fù)化梯形法與復(fù)化辛普生法求積分10xsin4x的數(shù)據(jù)表,b a 1a 0,b 1,n 2,h 0.5n 24 f(xk

21、1) 2f(Xk)kk 02 k 1f(b)n 5一 10 5,即 hhS2, f(Xk) 4f(x 1) f(Xki) -f(a)k 06k 26 05S2 f (0.00) 4 f(0.25) f (0.75) 2 f (0.50) f(1.00)6c 1S2 1.00000 10.888 3.10304 0.72159 1.309391102、（p.95，習(xí)題10）設(shè)用復(fù)化梯形法計算積分 IeXdx ,為使截斷誤差不超過0問應(yīng)當劃分區(qū)間10,1】為多少等分？如果改用復(fù)化辛普生法呢？【解】（1）用復(fù)化梯形法a 0,b 1, f (x)f'(x) f''(x)ex ,

22、設(shè)需劃分n等分,則其截斷誤差表達式為:I Rt I I ITn(b a)312n2max f''(1 0)3 e12n3'依題意，要求I RT |105,即e 112n2210e 1056212.849 ，可取 n213。（2）用復(fù)化辛普生法0,b 1, f(x)f'(x)f''''(x)ex,截斷誤差表達式為:I Rs I I ISn I5(b a)5180(2n)4max f""(e4 ， 2880n4依題意，要求I RS Ie2880n4e 10514403.70666 ，可取n 4 ,劃分8等分。2.3

23、 數(shù)值微分1、(p.96 ,習(xí)題24)導(dǎo)出三點公式(51)、(52)和(53)的余項表達式1f'(x。) 3f (x。)4f(x1) f(x2)(51)2h1f'(x1) f(x°)f(x2)(52)2h1f'd)f(x°) 4f(x1) 3f)(53)2h【解】如果只求節(jié)點上的導(dǎo)數(shù)值，利用插值型求導(dǎo)公式得到的余項表達式為R(Xk)f'X) p'(xjf(n 1)( k)(n 1)!n(Xk Xj)j 0j k由三點公式(51)、(52)和(53)可知，n 2,hX1 x0X2X1 ,則R(xo)f(21)( o)(2 1)!(Xo

24、Xj )j 1''( o)3!(XoX1)(X。X2)R(Xi)f(21)( l)(2 1)! j oj 12(X1 Xj)f , 1) (X1Xo)(X1 X2)R(X2)f(2 1)( 2)(2 1)!2(X2 Xj) j o j 2f'''(3!(X2Xo)(X2 X1)f'''( o)h2h3CW6C"233!12、(p.96,習(xí)題25)設(shè)已給出f(X) 2的數(shù)據(jù)表,(1 X)2X1.01.11.2f(x)0.25000.22680.2066【解】已知xo 1.o, X1試用三點公式計算f'(1.o),

25、f'(1.1), f'(1.2)的值,并估計誤差1.1, X21.2,h Xi xoX2 Xio.1,用三點公式計算微商0.2470，1，f'(1.o) 3f (1.o) 4f (1.1) f (1.2)2h13 0.2500 4 0.2268 0.20662 0.11 0.2500 0.2066 2 0.10.21704 0.2268 3 0.20660.1870，1 ，f'(1.2) f (1.0) 4f (1.1) 2h,13 f (1.2)0.25002 0.1f(x)1(1 x)2f'(x)(12、3X)f''(x)6(1 x)

26、4f'''(x)245 )(1 x)5用余項表達式計算誤差R(1.0)R(1.1)R(1.2)f'''( 0) j 24 0.12h T33(1 1.0)52f'''( 1)：24 0.12h53!3!(1 1.0)2f'''( 2) . 224 0.12h r33(1 1.1)50.00250.001250.049673、(p.96,習(xí)題 26)設(shè) f(x) sinx,分別取步長 h 0.1,0.01,0.001,用中點公式(52)計算f'(0.8)的值，令中間數(shù)據(jù)保留小數(shù)點后第6位?！窘?/p>

27、】中心差商公式:f'(a) f(a h)f(a h),截斷誤差:R(h) f h2?？?h見步長h越小，截斷誤差亦越小。 h 0.1,xo 0.8 h 0.7,X2 0.8 h 0.9，則11f'(0.8) 一 sin(0.9) sin(0.7) 0.783327 0.644218 0.695545;2h2 0.1(2) h 0.01, x00.8 h 0.79, x2 0.8 h 0.81，則1 1f'(0.8)sin(0.81) sin(0.79)0.724287 0.710353 0.69672h2 0.01 h 0.001,X00.8 h 0.799,X20.8

28、 h 0.801，則11f'(0.8) sin( 0.801) sin( 0.799) 0.718052 0.716659 0.69652h2 0.01而精確值 f'(0.8) cos(0.8) 0.6967067，可見當 h 0.01時得到的誤差最小。在h 0.001時反而誤差增大的原因是f (0.8h)與f (0.8 h)很接近，直接相減會造成有效22(1)y' X y2(2)y' yyxx數(shù)字的嚴重損失。因此，從舍入誤差的角度看,步長不宜太小。3.1 Euler 格式1、(p.124,題1)列出求解下列初值問題的歐拉格式(0 x 0.4) , y(0) 1

29、,取 h 0.2；(1 x 1.2), y(0) 1 ,取 h 0.2；【解】(1) yn 1yn 1yn hy'n yn h(x22ynh("瑪ynxnxn22yn)yn 0.2 (Xn20.2 (y-近)。xnxn2、(p.124，題 2)取 h0.2 ,用歐拉方法求解初值問題2y xy (0 x 0.6) , y(0) 1?！窘狻繗W拉格式：yn 1yn 0.2 ( yn Xny1 Xn£n0123Xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.4613簡后，yn 1 0.8yn20.2Xnyn ,計算結(jié)果見下表。13、(p.124,題3)取h 0.

30、1,用歐拉方法求解初值問題y' 一，2y2(0 x 4),1 X一 一2x1y(0) 0。并與精確解y 2比較計算結(jié)果?！窘狻繗W拉格式：yn1_ _12、yn 0.2 (-22 1y2)；1Xn1 X，一一n 0 2,一化簡后，yni yn 0.4y202y，計算結(jié)果見下表。1 Xn1、(p.124,題7)用改進的歐拉方法求解上述題2,并比較計算結(jié)果?！窘狻?因為y' f(x,y)公式：y xy2(0 x0.6), h 0.2,且y(0) 1 ,則改進的歐拉yp ycVn hf(Xn,yn)Yn hf(Xn,yp) (yp yc)2ynyn22h( yn Xnyn)0.8yn

31、0.2Xn yn22h( yp Xnyp) yn 0.2 (yp Xnyp)°n0123Xn0.00.20.40.6yp1.00.67300.51470.3941yc0.760.70920.55640.4319W0.880.69110.53560.413y n 1計算結(jié)果見下表。與原結(jié)果比較見下表n0123Xn0.00.20.40.6yn1.00.80.61440.4613yn(改進)0.880.69110.53560.4133.3龍格-庫塔方法1、(p.124,題11)用四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法求解初值問題y' 8 3y , y(0) 2,試取步長h 0.2計算y(0.4)

32、的近似值，要求小數(shù)點后保留4位數(shù)字。四階經(jīng)典的龍格-庫塔方法公式:K4)hyn 1 yn 6(K1 2K2 2K3K1 f (Xn, yn)-h _ _K2 f (X 1, yn K1) n22LhK3f (x 1 , ynK2)n 22K4f(Xn1,ynhK3)列表求得y(0.4)如下：nXnyn00.02.00010.22.300420.42.46544.1迭代法及收斂定理1、（p.153,題1）試取X01 ,用迭代公式Xk202 一 一Xk 2Xk 10(k 0,1,2,)，求10方程X3 2x2 10x 20 0的根，要求準確到【解】迭代計算結(jié)果列于下表kXk|Xk-Xk-1|<

33、;0.001kXk|Xk-Xk-11<0.00111.538460.53846N6P 1.365930.00937N21.295020.24344N71.370090.00416N3P 1.401820.10680N8P 1.368240.00185N41.354210.04761N91.369060.00082Y5P 1.375300.02109N因為 | X9 X8 | 0.00082 10 3,所以 xX9 1.36906 。1 一一2、（p.153,題2）證明萬程x -cosx有且僅有一實根。試確定這樣的區(qū)間a,b,使迭2,1代過程xk 1 cosxk對x0 a,b均收斂。21.

34、 一_1_1 1_【證明】設(shè)：g (x)c0sx 則當x R時，g(x) cosx,且一階導(dǎo)數(shù)222 21 .11 1 一g'(x)sinx 連續(xù)，|g'(x)| | sinx|-1 ,所以迭代過程Xk1- cosxk對2 222X0R均收斂。（壓縮映像定理），方程X1一 cosx有且僅有一實根。 3、（p.153,題4）證明迭彳t過程xk 1Xk21，一對任意初值XkX01均收斂于正?！咀C明】設(shè)：g（x）X1X1X1,對于任意x 1,因為一一212x2x2x<2，所以 g (x) J2。一，1一階導(dǎo)數(shù)g'（x） 1211,_ 一、一.-1 ,根據(jù)壓縮映像定理，迭

35、代公式 x 2xk 1-k對任意2 xk初值xo1均收斂。假設(shè)limxkkX ,對迭代式Xk 1運,兩邊取極限，則有 2XkX '工，則x2 2,解得x 也，因x72不在x 1范圍內(nèi)，須舍去。2 x22 o證畢4.2牛頓迭代法1、(p.154 ,題17)試用牛頓迭代法求下列方程的根，要求計算結(jié)果有4位有效數(shù)字:(1)(2)xk 1x3(1)xk3x3x1 0,xo0,xo設(shè) f(x) f(xk) f'(xk)xk3x，則f'(x) 3x2 3,牛頓迭代公式:3 xk "x3xk 12x3 1一 .k1(k0,1,2,),迭代計算過3(x2 1)'kxk

36、xk-xk-1|<0.0001kxk|xk-xk-1|<0.0001 111.888890.11111N31.879390.00006Y21.879450.00944N程見下列表。因為| x3(2)設(shè) f(x)x2 | 0.00006x2 3xf(xk)f'(xk)4.10 ，所以xx32 ,則 f'(x) 2x 3x2 3xk exk22xk 3 exk1.879。ex,牛頓迭代公式：x2 exk (xk 1) 2(k0,1,2,)kxk|xk-xk-1|<0.0001kxk|xk-xk-1|<0.00110.268940.73106N30.25753

37、0.00014N20.257390.01155N40.257530.00000Y,迭代計算過程見下列表。所以xk2xk 3 exkxk 1xkxx40.2575。因為 | x3 x2 | 0.00000 10 4 ,2、(p.154,題18)應(yīng)用牛頓法于方程a 0,導(dǎo)出求立方根 Va(a 0)的迭代公式,并證明該迭代公式具有二階收斂性。【證明】(1)設(shè)：f (x) x3f'(x)3x2 ,對任意x 0,牛頓迭代公式xk 1xkf(xk)f'(xk)xk3xk a3x22x3 a3x2k 0,1,2,(2)由以上迭代公式，有:kimxk37a 0 設(shè)g(x)3=(x 0)2g(x

38、 ) x ； g'(x ) 3(10； g''(x2Xk 1 xg(Xk) g(x )g'(X )(Xk x )(Xk X )1 2(k1)1(k)2XiX233(k1)1(k)1X2Xi223(2 4)【解】 雅可比迭代公式:迭代計算結(jié)果列于下表。高斯-賽德爾迭代公式:1(k)21 g(k).-x2-(2X2 )333,迭代計算結(jié)果列于卜表。1 (k 1)-Xi11(1x2k)226lim Xk1 xg''(X )，可見該迭代公式具有二階收斂性。證畢k (Xk x )2!3 a5.1線性方程組迭代公式3x1 x221、(p.170,題1)用雅可

39、比迭代與高斯-賽德爾迭代求解方程組：12,要求結(jié)x1 2x2 1果有3位有效數(shù)字。kX1(k)x2k)(k)(k 1) 1|XiXi |x2k) x2k1)|0.0005?000-12/31/22/31/2N21/21/61/61/3N311/181/41/91/12N47/127/361/3611/18N50.601850.208330.018520.01389N60.597220.199080.00463 10.00925N70.600310.201390.003090.00231N80.599540.199850.000770.00154N90.600050.200230.000510.

40、00038N100.599920.199980.000030.00025Y31(k)、X1)x1x1(10)0.600;x2x210)0.200 ；1位不為零的小數(shù)，要取3位有效數(shù)，則誤差限為由上表可見，所求根皆為小數(shù)點后第k(k)Xi(k) X2(k)(k 1).| XiXi|(k)(k 1).| X2X2|0.0005?000-12/31/62/31/6N20.61110.1944N30.60190.19910.00920.0047N40.60030.19990.00160.0008N50.60000.19990.00030.0000YXiX，0.600;X2x25)0.200 ；2、（p

41、.171，題 7）取1.25,用松弛法求解下列方程組，要求精度為1 c 410 。24X1 3x2 163X1 4x2 x3 20x2 4x312【解】歐先寫出高斯-賽德爾迭代:k(“x(k7XX1X7"X3(k3xk(2X9 一64引入松弛因子，得Xi(k 1)(1)Xi(k)i(kx2k1)(1)x2k)2(k(k 1)(k)(kX3(1)X3X3將方程組(1)代入(2),并化簡1)1(k)5 (k1)-XiX14411)*54(kX21)(2)1)1(k)5(k1)X3x3443X1(k1)X1(k)15x2k1)69婿x3k1)45256HX(k) 64 325計算結(jié)果見下表

42、。k(k)Xi(k)X2(k)X3.(k)(k 1).| X1X1|.(k)(k 1) | X2 X2|.(k)(k 1) | X3X3|e ?0000-152.5-3.12552.53.125N21.406252.65625-2.14844N32.15820；3.03223 1-2.28882N :41.611733.15872-2.19860N51.63577P 3.24423 1-2.19187N :61.549593.28508-2.17800N71.53284P 3.30793 1-2.17320N81.515613.31978-2.17001N91.50880P 3.326151-

43、2.16847N01.504533.32951-2.16762N 一11.502453.33130-2.16717N21.501293.33225-2.16694N31.50069P 3.332761-2.16672N 141.500373.33306-2.16676N51.50016:3.333181-2.16670N61.500103.33325-2.16668N71.50005:3.333291-2.166680.000050.000040.00000丫 1X2迭代解：x1x1(17)1.5001 ,x217)3.3333,x3x317)2.1667.精確解：x11033.3333,x313 一一2.1667.65.1線性方程組迭代公式1、(p.170,題2)試列出求解下列方程組的雅可比迭代公式與高斯-賽德爾迭代公式，并考察迭代過程的收斂性。10x1 xx1 8x23x1 2xx1 2x25x43x38x32x311x47x42317【解】(1