最新201X版 章末綜合測評3 導數(shù)及其應用

1、章末綜合測評(三)導數(shù)及其應用(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)f(x)2cos x，則f()等于()A.sin B.cos sin sin 【解析】f(x)(2cos x)sin x，當x時，f()sin .【答案】Ay在點P處的切線斜率為4，則點P的坐標是()A.B.或C.D.【解析】y，由4，得x2，從而x±，分別代入y，得P點的坐標為或.【答案】B3.觀察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，歸納可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x)，記g(x

2、)為f(x)的導函數(shù)，則g(x)()A.f(x)B.f(x)C.g(x)D.g(x)【解析】觀察可知，偶函數(shù)f(x)的導函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，所以g(x)g(x).【答案】Da為函數(shù)f(x)x312x的極小值點，則a() 【導學號：97792123】A.4B.2【解析】f(x)3x212，由f(x)0得x±2，當x(，2)時，f(x)>0，函數(shù)f(x)遞增；當x(2，2)時，f(x)<0，函數(shù)f(x)遞減；當x(2，)時，f(x)>0，函數(shù)遞增所以a2.【答案】Df(x)xln x，若f(x)在x0處的函數(shù)值與導數(shù)值之和等于1，則x0的值等于()B.1C.±

3、;1【解析】因為f(x)xln x，所以f(x)ln x1，于是有x0ln x0ln x011，解得x01或x01(舍去)，故選A.【答案】A6.過點(0,1)且與曲線y在點(3,2)處的切線垂直的直線方程為() 【導學號：97792124】xy10B.x2y20C.x2y20xy10【解析】y，y|x3，故與切線垂直的直線斜率為2，所求直線方程為y12x，即2xy10.故選D.【答案】D7.下列圖象中，有一個是函數(shù)f(x)x3ax2(a21)x1(aR，a0)的導數(shù)f(x)的圖象，則f(1)的值為()A.B.C.D.或【解析】f(x)x22axa21，其圖象為開口向上的拋物線，故不是圖(1)

4、，圖(2)中，a0，f(x)x21，與已知矛盾；故f(x)的圖象為圖(3)，f(0)0，a±1，又其對稱軸在y軸右邊，故a1，f(x)x3x21，f(1).【答案】Bf(x)在(0，)上可導，且滿足f(x)xf(x)，則一定有()F(x)在(0，)上為增函數(shù)F(x)在(0，)上為減函數(shù)G(x)xf(x)在(0，)上為增函數(shù)G(x)xf(x)在(0，)上為減函數(shù)【解析】設G(x)xf(x)，則G(x)xf(x)f(x)0，故G(x)xf(x)在(0，)上遞增，故選C.【答案】CAB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為()【解析】設內(nèi)接矩形的長為x，則寬為，S2x2·y，

5、y50xx3.令y0，得x250或x0(舍去)，S625，即Smax25.【答案】Cy的最大值為()12D.【解析】y，令y0，得xe.當x>e時，y<0；當0<x<e時，y>0.故y極大值f(e)e1.因為在定義域內(nèi)只有一個極值，所以ymaxe1.【答案】AR上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x1)f(x)0，則必有()A.f(0)f(2)<2f(1) B.f(0)f(2)>2f(1)C.f(0)f(2)2f(1) D.f(0)f(2)2f(1)【解析】若f(x)不恒為0，則當x>1時，f(x)0，當x<1時，f(x)0，所以f(x)在(

6、1，)內(nèi)單調(diào)遞增，在(，1)內(nèi)單調(diào)遞減.所以f(2)>f(1)，f(1)<f(0)，即f(0)f(2)>2f(1).若f(x)0恒成立，則f(2)f(0)f(1)，綜合，知f(0)f(2)2f(1).【答案】Df(x)xsin 2xasin x在(，)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A.1,1B.C.D.【解析】取a1，則f(x)xsin 2xsin x，f(x)1cos 2xcos x，但f(0)110，不具備在(，)單調(diào)遞增的條件，故排除A，B，D.故選C.【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.將答案填在題中的橫線上)f(x)ln xx的單調(diào)遞增區(qū)間為

7、_.【解析】令f(x)10，解不等式即可解得x1，注意定義域為(0，).所以0x1.【答案】(0,1)f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x21，則實數(shù)a的值為_.【解析】f(x)18x26(a2)x2a.由已知f(x1)f(x2)0，從而x1x21，所以a9.【答案】9f(x)ln|x|f(1)x23x2，則f(1)_.【解析】當x>0時，f(x)ln xf(1)x23x2，f(x)2f(1)x3，f(1)12f(1)3.當x<0時，f(x)ln(x)f(1)x23x2，f(x)2f(1)x32f(1)x3，f(1)12f(1)3，f(1

8、)2，f(1)8.【答案】8f(x)exx2，g(x)ln xx23，若實數(shù)a、b滿足f(a)0，g(b)0，則g(a)，f(b)的大小關系為_.【解析】因為函數(shù)f(x)exx2在R上單調(diào)遞增，且f(0)12<0，f(1)e1>0，所以f(a)0時a(0,1).又g(x)ln xx23在(0，)上單調(diào)遞增，且g(1)2<0，所以g(ag(2)ln 21>0，g(b)0得b(1,2)，又f(1)e1>0，且f(x)exx2在R上單調(diào)遞增，所以f(b)>0，所以g(a)<f(b).【答案】g(a)<f(b)三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應

9、寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)已知曲線yx3x2在點P0處的切線l1與直線l：4xy10平行，且點P0在第三象限.(1)求點P0的坐標； 【導學號：97792125】(2)若直線l2l1，且l2也過點P0，求直線l2的方程.【解】(1)由yx3x2，得y3x21.令3x214，解得x±1.當x1時，y0；當x1時，y4.又點P0在第三象限，切點P0的坐標為(1，4).(2)直線l2l1，l1的斜率為4，直線l2的斜率為.l2過切點P0，點P0的坐標為(1，4)，直線l2的方程為y4(x1)，即x4y170.18.(本小題滿分12分)設f(x)ln x，g

10、(x)f(x)f(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值.【解】由題意知f(x)，g(x)ln x，g(x).令g(x)0，得x1.當x(0,1)時，g(x)0，故(0,1)是g(x)的單調(diào)減區(qū)間.當x(1，)時，g(x)0，故(1，)是g(x)的單調(diào)增區(qū)間.因此，x1是g(x)的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點.所以g(x)的最小值為g(1)1.19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ln x，其中aR，且曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線垂直于直線yx.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.【解】(1)對f(x)求導得f(x)，由yf(x)在點(1，f(1)處的

11、切線垂直于直線yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)可知f(x)ln x，則f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因x1不在f(x)的定義域(0，)內(nèi)，舍去.當x(0,5)時，f(x)<0，故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù)；當x(5，)時，f(x)>0，故f(x)在(5，)上為增函數(shù).由此知函數(shù)f(x)在x5時取得極小值f(5)ln 5，無極大值.20.(本小題滿分12分)設函數(shù)f(x)ln xx1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明當x(1，)時，1x；(3)設c>1，證明當x(0,1)時，1(c1)xcx.【解】(1)由題設，f(x)的定義域為(0，)，f(x)

12、1，令f(x)0，解得x1.當0x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；當x1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減.(2)證明：由(1)知，f(x)在x1處取得最大值，最大值為f(1)0.所以當x1時，ln xx1.故當x(1，)時，ln xx1，ln1，即1x.(3)證明：由題設c1，設g(x)1(c1)xcx，則g(x)c1cxln c.令g(x)0，解得x0.當xx0時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；當xx0時，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減.由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故當0x1時，g(x)0.所以當x(0,1)時，1(c1)xcx.21.(本小題滿分12分)某商場銷售某

13、種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)10(x6)2.其中3<x<6，a為常數(shù).已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.【解】(1)因為x5時，y11，所以1011，a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y10(x6)2.所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)(x3)·210(x3)(x6)2,3<x<6.從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).

14、于是，當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)42由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點.所以，當x4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.即當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc的圖象經(jīng)過原點，f(1)0，曲線yf(x)在原點處的切線與直線y2x3的夾角為135°.(1)求f(x)的解析式； 【導學號：97792126】(2)若對于任意實數(shù)和，不等式|f(2sin )f(2sin )|m恒成立，求m的最小值.【解】(1)由題意，有f(0)c0，f(x)3x22axb且f(1)32ab0，又曲線yf(x)在原點處的切線的斜率kf(0)b，而直線y2x3與此切線所成的角為135°，所以1.聯(lián)立解得