概率論試題與答案

1、、填空題：（每題4分，共24分）已知事件 A與B相互獨(dú)立，P（A） 0.4,P(A B) 0.7 ,則概率 P(B A)3 / 152.某次考試中有4個(gè)單選選擇題，每題有4個(gè)答案，某考生完全不懂，只能在 4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇1個(gè)答案，則該考生至少能答對(duì)兩題的概率為 3.若有N(0,1) ,=21 ,則N (4.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為 的泊松分布，且EX4 DX，則參數(shù)5.2,則設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為f（x） 2（1 x）0的概率密度為6.設(shè)總體XN（ , 2）的分布，當(dāng) 已知，XhX2,LXn為來(lái)自總體的樣本，則n統(tǒng)計(jì)量i 1（當(dāng)一）2服從分布。、選擇題:（每小題4分，共20分）1.設(shè)事件

2、A, B,C是三個(gè)事件，作為恒等式，正確的是（A. ABC AB(CU B)B.AU BUCABCC.(AU B) A BD.(AU B)C(AC)U(BC)2 . n張獎(jiǎng)券有m張有獎(jiǎng)的,k個(gè)人購(gòu)買，每人一張,其中至少有一人中獎(jiǎng)的概率是（A.)°C1 c k 1CmCn mCkB.mC：C. 1Ck 一n mCkD.CmC：3 .設(shè) EXDX,則由切比雪夫不等式知P（X4)()14A.16B.1516C.15D.1615-10210.100.350.104.如果隨機(jī)向量（，）的聯(lián)合分布表為:20.200.200.05則協(xié)方差cov（,）=（）A.-0.2 B.5.設(shè)總體N (-0.1

3、C.0 D. 0.1的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則為使2) , ( Xi,X2,L Xn)是n 1C （Xi 1 Xi）2為2的無(wú)偏估計(jì)，常數(shù)C應(yīng)為（） i 1B.C.12(n 1)D.1n-2待用數(shù)據(jù) (to.975(35)2.0301,to.975(36)2.0281,to.95(35)1.6896, to.95(36)1.6883,(1) 0.8413, (2) 0.9772 (1.96) 0.975, (1.645) 0.95)1 .三個(gè)人同時(shí)射擊樹(shù)上的一只鳥，設(shè)他們各自射中的概率分別為 0.5, 0.6, 0.7 若無(wú)人射中鳥不會(huì)墜地；只有一人射中的鳥墜地的概率為 0.2;兩人射中的鳥 墜地的概

4、率為0.6;三人射中的鳥一定墜地的；（1）當(dāng)三個(gè)人同時(shí)向鳥射擊實(shí)，問(wèn)分別有一人、兩人、三人射中鳥的概率？ （2）三人同時(shí)向鳥射擊一次 求鳥墜地的概率？2 .已知隨機(jī)變量的概率密度為（x） Ae兇，的分布函數(shù)。X Y的概率密度。求：（1）系數(shù)A; （2）求概率P（01）;（3）3 .已知隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度12e(3x4y) 0 x,0 yf(x,y)0 其他求（1）二維隨機(jī)變量（X,Y）的邊緣概率密度；（2）4 .設(shè)總體 U0,待定參數(shù) 0。X1,X2,L Xn是來(lái)自總體的樣本。 求 的極大似然估計(jì)；（2）求 的矩估計(jì)？； （3）證明：矩估計(jì)量？為參數(shù) 的無(wú)偏估計(jì)。（14分）5 .（共

5、10分）某中學(xué)入學(xué)考試中，設(shè)考生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)服從正態(tài)分布，從中任取36位考生的成績(jī)，其平均成績(jī)?yōu)?66.5分，標(biāo)準(zhǔn)差為15分。(1)問(wèn)在0.05的顯著性水平下，是否認(rèn)為全體考生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?70分?(2)給出全體考生的數(shù)學(xué)平土§成績(jī)?cè)谥眯潘綖?.95下的置信區(qū)問(wèn)。0 y 1,其他，答案.1. 0.5 ; 2.1 1, (-1,4); 4.2; 5. p(y) &0,26.(n).1. B; 2. C; 3. B; 4. B; 5. C.1解：設(shè)A第i個(gè)人射中，(i=1,2,3 ),由題意知P(A) 0.5, PO 0.6; P(A3) 0.7(1)又設(shè) R=三人都射不

6、中; B=一人射中; B=恰有兩人射中; R=三人 同時(shí)射中, C=鳥墜地P(CBo) 0,P(CBi) 0.2,P(CB2) 0.6,P(CB3) 1, P(B°) 0.06,P(B1) 0.29,P(B2) 0.44,P(B3) 0.21(2)由全概公式3P(C)P(Bi)P(C Bi)(2分)0.5321 02 .解：(1)由于 (X)dx Ae1x1 dx 112A e xdx 1 故 A 021(2) P(01) 1e xdx1 分)1( ex) (1 分)-e-(1 分)0 22021exdx 1 exx 0(如)(3) F(x) x1exdx(冷)222x 1 、， x

7、 1 、，1、，,，e dxe dx 1 e x 0( 2分)20 223. (1) fx(x)f (x, y)dy(1 分)o 12e(3x4y)d y1 分)3e 3x3e (1 分)0 x其他fy(x)f (x, y)dyi分)12e (3x 4y)dx1 分)4e4y 0 y4e其I(1分)f(z)f (x, z x)dX2分)z12e00,(4z x) dx,0(2分)00, z 012e3z 12e4z, z 014 .似然函數(shù)為L(zhǎng)( ) 二 , In L( ) nln令d1nL( ) n 0 解得？ maxXd1 i n(2)因?yàn)镋X a，故矩估計(jì)量得？ 2X2 nc n2E :

8、 2EX - EXi - n i 1n i 1 25 .解：(1)設(shè)考生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)作為總體X N( , 2),由題意知X 66.5, S 15。H0:70, H1:70.、生反、上目丁 X口 166.5 701構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量T X 且|T| J -36 1.4Sn15而t(n 1) t0975(35) 2.0301,即 T t (n 1)1 -1 -2 2故可以認(rèn)為這次全體考生的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分。t (n 1)1 -2的臨X(2)因?yàn)門 Xt(n 1)故查表滿足PS 一、n界值得到置信水平為0.95的區(qū)間即區(qū)間61.42475,71.57525。填空題(共20分，每小題4分)1 .設(shè)事件A

9、, B僅發(fā)生一個(gè)的概率為0.3,且P(A) P(B) 0.5，則A,B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為 。2 .設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0x2F (x)22x313 x則X的分布律為3 .設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為3的泊松分布，用切比雪夫不等式估計(jì)得到P(|X 3| 4) 4 .若隨機(jī)變量 U1,6,則方程x2 x 1 0有實(shí)根的概率為5 .設(shè)X1,X2,X3,X4是來(lái)自正態(tài)總體N (0,4)的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則當(dāng)a , b _時(shí)統(tǒng)計(jì)量X a(Xi 2X2)2 b(3X3 4X,)2服從2分布。二、選擇題(共20分，每小題4分)1 .若對(duì)任意的隨機(jī)變量X , EX存在，則E(E(EX)等于()2A.

10、 0 B . XC . EXD . (EX)22 .設(shè)A和B是任兩個(gè)概率不為0的不相容事件，則下列結(jié)論中肯定正確的是()(A) A和B不相容(B) A和B相容(C) P(AB) P(A)P(B)(D) P(A B) P(A)21 / 153 .設(shè)袋中有a只黑球，b只白球，每次從中取出一球，取后不放回，從中取兩次, 則第二次取出白球的概率為()。A. J (a b)24.在下列函數(shù)中,2xA. f(x) 0b(b 1) B.(a b)(a b 1)可以作為隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的是(0 x 1其他2B.f(x) x0 x其他C. f(x)cosx00 x其他D. f(x)2e x5.若XP(3)

11、,YN(2,5), x,yA. 8 而 B. 8 2V15 三、計(jì)算證明題(共60分)1 一1,且 Z X 2Y 2 ,貝U DZ=(C. 13 v15 D. 23 2屈1 . ( 10分)設(shè)有2臺(tái)機(jī)床加工同樣的零件，第一臺(tái)機(jī)床出廢品的概率為 0.03 ,第二臺(tái)機(jī)床出廢品的概率為0.06，加工出來(lái)的零件混放在一起， 并且已知第一臺(tái)機(jī)床加工的零件比第二臺(tái)機(jī)床多一倍。(1)求任取一個(gè)零件是廢品的概率(2)若任取的一個(gè)零件經(jīng)檢查后發(fā)現(xiàn)是廢品，則它是第二臺(tái)機(jī)床加工的 概率。2. (14分)若D是以點(diǎn)(0, 0), (-1 ,1),(1, 1)為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部區(qū) 域，二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D內(nèi)服

12、從均勻分布(1)求出(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)(4分)，一、1,(2) P(Y -x) (4 分)(3)求Z X Y概率密度的函數(shù) (6分)3. (12分)假設(shè)生產(chǎn)線上組裝每件產(chǎn)品的時(shí)間服從指數(shù)分布，統(tǒng)計(jì)資料表 明該生產(chǎn)線每件產(chǎn)品的組裝時(shí)間平均為 5分鐘，各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間彼此 獨(dú)立。試用中心極限定理求：(1)組裝100件產(chǎn)品需要6到10小時(shí)的概率；(6分)(2)以95%勺概率在8個(gè)小時(shí)之內(nèi)最多可以組裝多少件產(chǎn)品？ ( 6分)(2.8) 0.9974, (1) 0.8413,(2) 0.9772,(1.65) 0.95,(3) 0.9987)4. 設(shè)總體X的概率密度為f(x,)0 x 1其他

13、其中 1是未知參數(shù)，(Xi,X2, ,xn)是總體X的樣本觀測(cè)值，求：(1)的矩估計(jì)(4分)AA(2) 的極大似然估計(jì) L,并問(wèn)L是的無(wú)偏估計(jì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。(8分)5. (12分)機(jī)器自動(dòng)包裝某食品，設(shè)每袋食品的凈重服從正態(tài)分布，規(guī)定每袋食品的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為500g。某大開(kāi)工后，為了檢查機(jī)器是否正常工作, 從包裝好的食品中隨機(jī)抽取9袋檢查，測(cè)得凈重為497, 507, 510, 475, 488, 524, 491,515, 512在下列兩種情況下檢驗(yàn)包裝機(jī)是否工作正常（顯著性水平為0.05）。12.若若常2未知，該選用什么統(tǒng)計(jì)量，什么分布？2=16,通過(guò)Excel計(jì)算得到以下表格，問(wèn)判斷包裝機(jī)

14、是否工作正0備查的臨界值0.97510.975 ( 20)t0.95(19)0.951. 962. 0861. 72911. 6449.1. 0.4; 2.P(X 2) -,P(X 3)53; 3. ; 4. 0.8; 5.51620100z-檢驗(yàn)：雙樣本均值分析12平均502.1111111500已知協(xié)方差161E-11觀測(cè)值91假設(shè)平均差0Z1.583333333P(Z<=z)單尾0.056672755z單尾臨界1.644853627P(Z<=z)雙尾0.113345509z1.959963985.1.C; 2. D; 3.D; 4. A; 5. D.1解：（1）設(shè)8 =取出的

15、零件是廢品，A尸零件是第一臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的,A2=零件是第二臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的,則 P(Ai)21-,P(A2)一33由全概率公式得:P(B) P(B|Ai)P(Ai) P(B|A2)P(A2) 0.030.0610.0430.020.50.04P(B | A2)P(A2)(2) P(A2| B)2-P(B)2 .解：（1）聯(lián)合概率密度為p(x,y)1 (x,y) D0 其他1 P(Y 2X)(3)根據(jù)卷積公式Pzp(x,zx)dx ,得:pz(z)P(x,zx)dx0z2 dxz 10其他解:(1)令i為第i件產(chǎn)品的組裝時(shí)間，則1 E(-)5100100P360i 6001P360 100 5i 10

16、0(2)(2.8)(2) 11100 52I (2.8)i 1100 520.9746600 100 5.21.100 52nP(ii 5n480)P(i 15.n480 5n5.n ),96 n、() 0.9581解：(1) EX21dxLx，1dx1矩估計(jì)為$ I(2)設(shè)X1,X2,.,Xn是來(lái)自總體的樣本,/，.9為相應(yīng)的樣本觀測(cè)值似然函數(shù)為:L()Tnxiln( L( ) nln(1)nln( xi)i 1令dln(L()解得:Q E(ln X)1ln0nln( xji 11)2nln(xi)i 1n1 J x 1 dx ln111x 1dx 1QE( L)1 n1 E(lnXi) 1

17、 (1)n i 1L是的無(wú)偏估計(jì)5解：（1）2未知時(shí)要選的統(tǒng)計(jì)量為：T X而，服從自由度為Sn 18（ 即n-1）的t分布（2）令 H0 :500, H1:500從表格可以看出，p 0.113345509> =0.05 ,不拒絕Ho（或則，Qz=1.583333333<1.959963985即觀測(cè)值落在接受域不拒絕H 0）填空題（共20分，每空格4分）1.設(shè)事件A,B相互獨(dú)立，且P(A) 02 P(B) 0.5,則P(BA B)2.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為F（x）,則81的分布函數(shù)為3.設(shè)是上均勻分布的隨機(jī)變量,4.設(shè)隨機(jī)變量的期望E與方差D都等于，又E（3)(4)的相關(guān)系數(shù)3,則=

18、5.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為0F(x) 0.71x1010x 0x 0則的分布律為、選擇題（共16分,每小題4分）1.設(shè)總體 N( , 2), (Xi,X2,Xn）是的樣本,Xi是的樣本均值,以下（）是總體方差2的無(wú)偏估計(jì).2.設(shè)A.t(4)XiXin 1城2XXi2 X2 N(0,1),2(5),B.t(5)C.F(2)相互獨(dú)立，則D.Xi2(5)3.設(shè) X N( , 2)Y E(,則不正確的是（）A . E(X Y).D(X Y)C . E(X2 Y2)2EY24.設(shè)袋中有a只黑球，b只白球，每次從中取出一球, 則第二次取出黑球的概率為()。取后不放回，從中取兩次,A.a B(a b)

19、a(a 1)(a b)(a b 1)2a(a b)2三、判斷題(共4分，每小題2分。對(duì)"，"，錯(cuò)"X")11 .()設(shè)* N(0,1),則 P(X 0) P(X 0)22 .()未知參數(shù)的置信水平為1的置信區(qū)間是唯一的四、(共10分)如果 A、B、C兩兩獨(dú)立，且 ABC二1 .如果P(A)=P(B)=P(C)=y,計(jì)算P(A B C),并求y的最大值,e1 一 一9,2 .如果 P(A)=P(B)=P(C ) < ,且 P(A B C) 一，求 P(C)216五、(共10分)一臺(tái)機(jī)器制造直徑為的軸，另一臺(tái)機(jī)器制造內(nèi)徑為的軸套，設(shè)的密度函數(shù)為p(x,

20、 y)0,其它2500, 0.49 x 0.51;0.51y 0.53(1)求的概率密度函數(shù)如果軸套內(nèi)徑比軸的直徑大于 0.004，但不大于0.036,二者能配合成套, 現(xiàn)隨機(jī)選取，問(wèn)二者配合成套的概率？六、(共10分)設(shè)二維隨機(jī)變量(，)的聯(lián)合密度為p(x, y)ke 3x 4y, x 0, y 00,其它1 .求常數(shù)k?2 .求相應(yīng)的分布函數(shù)?3 .求 P(01,02)七、（共10分）如果在1500件產(chǎn)品中有100件不合格品，從中任意抽取15件進(jìn) 行檢查，求從中查出的不合格品數(shù)的數(shù)學(xué)期望？八、（共10分）為檢驗(yàn)飲用水合格率，隨機(jī)抽取50升，化驗(yàn)每升水中A種細(xì)菌的 個(gè)數(shù)（一升水中A細(xì)菌的個(gè)數(shù)

21、服從poisson分布）化驗(yàn)結(jié)果如下A細(xì)菌的個(gè)數(shù)/升0123456升均每升水中A細(xì)菌的個(gè)數(shù)為多少才能使出現(xiàn)上述情況的概率為最大（用極 大似然估計(jì)的方法）？九、（共10分）如下是某廠隨機(jī)選取的20只配件裝配時(shí)間（分）9.810.410.69.69.79.910.911.19.610.210.39.69.911.210.69.810.510.110.59.7設(shè)裝配時(shí)間總體服從正態(tài)分布 N （m,s2）, m,s2均未知。是否可以認(rèn)為裝配時(shí)間的均值m顯著大于10?（取a = 0.05）備查的臨界值0.975t0.975(20)t0.95(19)0.951. 962. 086

22、1. 72911. 6449通過(guò)Excel計(jì)算得到以下表格:列1平均10.2標(biāo)準(zhǔn)誤差0.114017543中位數(shù)10.15眾數(shù)9.6標(biāo)準(zhǔn)差0.509901951力差0.26峰度-0.817841244偏度0.521388375區(qū)域1.6最小值9.6取大值11.2求和204觀測(cè)數(shù)20答案：,y 1、一.1.4/9;2. F()； 3,0；4. 3;5, P( 10) 0.7 ,P( 0) 0.382 .D, B, B, A3 .對(duì)，錯(cuò)4 .(1)由于A、B、C兩兩獨(dú)立，則滿足P(AB) P(A)P(B) y2,P(BC) P(B)P(C) y2,P(AC) P(A)P(C) y2,又 ABC 則

23、 P(ABC) 0,P(A B C) P(A) P(AB) P(AC) P(ABC) y 2y2 00 y 0.5，故 y 的最大值為0.5.(2)P(AU BUC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC) 92_3P(C) 3P(C) P(C) 0.25, 16而另外的一個(gè)解 P(C) 0.75 0.5舍去.五.解：(1) F(z) P( z) p(x, y)dxdy y x z當(dāng) z 0 時(shí)，F(xiàn)(z) 0；當(dāng) 0 z 0.02 時(shí)，_21250z0.51z x0.51F(z) p(x, y)dxdy 2500 dx dy 2500 (z x 0.51)dx 0.51 z0.510.51 z ''y x z當(dāng) 0.02 z 0.04 時(shí)，0.53 zz x0.510.53F(z) p(x, y)dxdy 2500 dx dy 2500 dx dy0.490.510.53 z0.51 Jy x z25000.53 z0.49(zx 0.51)dx 2500g).02g0.04z)1250gz(0.04 z)當(dāng) z 0.04