201x屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)測評

1、.第三節(jié)第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1. 平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)是研究空間圖形性質(zhì)的理論基礎(chǔ),即三個公理和公理3的三個推論.公理1:如果一條直線上的 在一個平面內(nèi),那么這條直線上 都在這個平面內(nèi).公理2:如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其他公共點,這些公共點的集合是 .基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)梳理兩點所有的點經(jīng)過這個公共點的一條直線.公理3:經(jīng)過不在同一條直線上的三點, .推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點, .推論2:經(jīng)過兩條相交直線, .推論3:經(jīng)過兩條平行直線, .2. 空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系 共面情況 公共點個數(shù)相交直線 在同一平

2、面內(nèi) 平行直線 沒有不同在任何一個平面內(nèi) 沒有有且只有一個平面有且只有一個平面有且只有一個平面有且只有一個平面異面直線在同一平面內(nèi)有且只有一個.3. 平行直線的公理及定理(1)公理4:平行于同一條直線的兩條直線 .(2)定理:如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別 并且方向 ,那么這兩個角相等.4. 異面直線的判定及所成的角(1)異面直線的判定過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線,和這個平面內(nèi) 的直線是異面直線.互相平行平行相同不經(jīng)過該點.(3)異面直線垂直的定義若兩條異面直線a,b所成的角是直角,則稱異面直線a,b ,記作 .(2)異面直線所成的角如果a,b是兩條異面直線,那么經(jīng)過空間任意一點O,作

3、直線aa,bb,直線a和b所成的 (或直角)叫做異面直線a,b所成的角.銳角互相垂直ab.【例1】下列命題:空間不同三點確定一個平面;有三個公共點的兩個平面必重合;空間兩兩相交的三條直線確定一個平面;三角形是平面圖形;平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形;垂直于同一直線的兩直線平行;一條直線和兩平行線中的一條相交,也必和另一條相交;兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形.其中正確的命題是 . .典例分析典例分析題型一題型一 點、線、面的位置關(guān)系點、線、面的位置關(guān)系.分析 根據(jù)公理及其推論作判斷.解 由公理3知,不共線的三點才能確定一個平面,所以知命題、均錯,中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當(dāng)這三個

4、公共點共線時);對于,空間兩兩相交的三條直線有三個交點或一個交點,若為三個交點,則這三條直線共面,若只有一個交點,則可能確定一個平面或三個平面;正確;中平行四邊形和梯形由公理3的推論及公理1可得必為平面圖形,而四邊形有可能是空間四邊形;對于,如圖,在正方體ABCDABCD中,直線BBAB,BBBC,但AB與BC不平行,所以錯;ABCD,BBAB=B,但BB與CD不相交,所以錯;四邊形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四邊形,所以也錯.故只有正確.學(xué)后反思 平面性質(zhì)的三個公理及其推論,是論證線面關(guān)系的依據(jù),在判斷過程中要注意反例和圖形的應(yīng)用.舉一反三舉一反三1. 給出下列命題:如果

5、平面與平面相交,那么它們只有有限個公共點;經(jīng)過空間任意三點的平面有且只有一個;如果兩個平面有三個不共線的公共點,那么這兩個平面重合為一個平面;不平行的兩直線必相交.其中正確命題的序號為 .解析: 由公理2知,錯;由公理3知,錯;對;不平行的兩直線可能異面.答案： 題型二題型二 證明三點共線證明三點共線【例2】如圖， 是正方體 的上底面 的中心，M是對角線 和截面 的交點.求證： 、M、A三點共線.1O1111ABCDABC D1111ABC D1AC11B D A1O分析 要證明 、M、A三點共線，只需證明三點都在平面 和平面 的交線上.1O11B D A11AAC C.學(xué)后反思 證明多點共線

6、的方法：以公理2為依據(jù)，先找出兩個平面的交線，再證明各個點都是這兩個面的公共點，即在交線上，則多點共線.或者，先證明過其中兩點的直線是這兩個平面的交線，然后證明第三個點也在交線上，同理其他的點都在交線上，即多點共線.證明 = , 平面 ， 平面 平面 , 平面 平面 =M， 平面 M平面 ,M平面 又A平面 ,A平面 、M、A在兩個平面 和平面 的交線上，由公理2可知 、M、A三點共線.1AC1O1BD11B D11B D A11AC11AAC C1O11B D A1O11AAC C1AC11B D A1AC11AAC C11B D A11AAC C11B D A11AAC C1O11B D

7、A11AAC C1O.舉一反三舉一反三2. 已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接,且連接點不在同一平面內(nèi),所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊AB、AD、CB、CD上的點,且直線EF和GH的延長線交于點P(如圖).求證:點B、D、P在同一條直線上.證明：由于直線EF和GH交于點P,P直線EF.又直線EF 平面ABD,P平面ABD.同理,P平面CBD.P在平面ABD與平面CBD的交線BD上,即B、D、P三點在同一條直線上.題型三題型三 證明點線共面證明點線共面【例3】求證:兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內(nèi).分析 由題知，四條直線兩兩相交且不共點，故有兩種情況：一種是三

8、條直線交于一點，另一種是任何三條直線都不共點，故分兩種情況證明.證明 (1)如圖,設(shè)直線a,b,c相交于點O,直線d和a,b,c分別相交于A,B,C三點,直線d和點O確定平面.由O平面,A平面,O直線a,A直線a,知直線a平面;同理b平面,c平面.故直線a,b,c,d共面于.學(xué)后反思 證多線共面的方法：（1）以公理、推論為依據(jù)先證兩直線共面，然后再由公理1證第三條也在這個平面內(nèi).同理其他直線都在這個平面內(nèi).（2）先由部分直線確定平面，再由其他直線確定平面,然后證明這些平面重合.(2)如圖,設(shè)直線a,b,c,d兩兩相交,且任何三線不共點,交點分別是M,N,P,Q,R,G.由直線ab=M,知直線a

9、和b確定平面.由ac=N,bc=Q,知點N、Q都在平面內(nèi),故c;同理可證d.所以直線a,b,c,d共面于.由(1)、(2)可知,兩兩相交且不共點的四條直線必在同一平面內(nèi).舉一反三舉一反三3. 在正方體 中,E是AB的中點,F是 的中點.求證:E、F、 、C四點共面.1111ABCDABC D1AA1D1AA證明：如圖，連接 ,EF, .E是AB的中點,F是 的中點,EF EF 故E、F、 、C四點共面.1AB1CD1AB1CD1AB1CD1D.題型四證明三線共點題型四證明三線共點【例4】(14分)已知空間四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD的中點,G、H分別是BC、CD上的點,且 .求證:

10、直線EG、FH、AC相交于同一點P.分析 先證E、F、G、H四點共面，再證EG、FH交于一點，然后證明這一點在AC上.證明 E、F分別是AB、AD的中點,EFBD且EF= BD.3又 ,GHBD且GH= BD,EFGH且EFGH,.5四邊形EFHG是梯形,其兩腰所在直線必相交,2HCDHGCBG2HCDHGCBG2131.設(shè)兩腰EG、FH的延長線相交于一點P. .7EG平面ABC,FH平面ACD,P平面ABC,P平面ACD. .9又平面ABC平面ACD=AC,PAC. .12故直線EG、FH、AC相交于同一點P. .14學(xué)后反思 證明三線共點的方法:首先證明其中的兩條直線交于一點，然后證明第三

11、條直線是經(jīng)過這兩條直線的兩個平面的交線；由公理2可知，兩個平面的公共點必在這兩個平面的交線上，即三條直線交于一點.舉一反三舉一反三4. 已知正方體 中，E、F分別為棱AB、 的中點. 求證：三條直線DA,CE, 交于一點.1111ABCDABC D1AA1D F證明： 如圖，直線DA平面 ，直線 平面 ，顯然直線DA與直線 不平行，設(shè)直線DA與直線 交于點M.同理，直線DA與直線CE都在平面AC內(nèi)且不平行，設(shè)直線AD與直線CE相交于點M.又E，F(xiàn)為棱AB， 的中點,易知MA=AD，MA=AD,所以M、M為直線AD上的同一點,因此，三條直線DA，CE， 交于一點.1AD1D F1AD1D F1D

12、 F1AA1D F.易錯警示易錯警示【例】如圖,過已知直線a外一點P,與直線a上的四個點A、B、C、D分別畫四條直線.求證:這四條直線在同一平面內(nèi).錯解 P、A、B三點不共線,P、A、B共面,即PA、PB、AB共面.同理,PB、PC、BC共面,PC、PD、CD共面.A、B、C、D均在直線a上,PA、PB、PC、PD四條直線在同一平面內(nèi).錯解分析 錯解在證明了四條直線分別在三個平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)內(nèi)后,用A、B、C、D均在a上,而認(rèn)為三個平面重合在同一個平面上,這種方法是錯誤的.錯誤在于沒有根據(jù)地用一條直線來保證三個平面重合.正解 過直線a及點P作一平面,A、B、C、D均在

13、a上,A、B、C、D均在內(nèi).直線PA、PB、PC、PD上各有兩點在內(nèi),由公理1可知,直線PA、PB、PC、PD均在平面內(nèi),即四條直線共面.考點演練考點演練10. 異面直線a、b所成的角為60，P為空間一點，求過P與a、b均成60角的直線的條數(shù).解析： 先利用平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個平面上的相交直線，且夾角為60，交點為P，然后利用圖形判斷把直線進行旋轉(zhuǎn)，可以得到這樣的直線僅有3條.11. 如圖，在空間四邊形ABCD中，E、G分別是BC、AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有 試判定EF,GH,BD的位置關(guān)系，并證明.23DHDFHAFC解析： EF，GH，BD交于一點.證明如下: ,FHAC，F(xiàn)H= AC.又G，E分別為AB，BC的中點，GEAC，GE= AC，于是GEFH且GEFH，四邊形EGHF是梯形.GH與EF的延長線必相交于一點P.則PGH,又GH 平面ABD，P平面ABD.同理可證P平面BCD，而平面ABD平面BCD=BD，PBD,直線EF、GH、BD交于一點.23DHDFHAFC2512.12.