2020年高考文科數(shù)學(xué)(全國卷Ⅰ)Word版含解析

1、絕密啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項：1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2 .回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂 黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫 在答題卡上.寫在本試卷上無效.3 .考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項 中，只有一項是符合題目要求的.1 .已知集合 A x|x2 3x 4 0, B 4,1,3,5,則 AB ()A. 4,1B. 1,5C. 3,5D. 1,3【答案】D【解析

2、】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A,之后利用交集中元素的特征求得A|B,得到結(jié)果.【詳解】由x2 3x 4 0解得1x4,所以 A x | 1 x 4 ,又因為 B 4,1,3,5，所以 AB 1,3 ,故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)集合的問題，涉及到的知識點有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交運算，屬于基礎(chǔ)題目.2 .若 z 1 2i i3 ,則 |z|二()B. 1A. 0D. 2【答案】【解析】【分析】先根據(jù)i21將z化簡，再根據(jù)向量的模的計算公式即可求出.【詳解】因為 z 1+2i i3 1+2i i 1 i,所以 |z Ji2 12 42.故選：c.【點睛】本題主要考

3、查向量的模的計算公式的應(yīng)用，屬于容易題.3 .埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高 為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）【分析】21 .設(shè)CD a,PE b,利用PO2 -CD PE得到關(guān)于a,b的方程，解方程即可得到答案2【詳解】如圖，設(shè) CD a,PE b,則PO JPE2 OE2 小2 1 ,12由題意PO2 ab，即b2 241 b 2 b-ab ,化簡得 4(一)210,2a a解得b 15L （負(fù)值舍去） a 4故選：c.【點晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計算，

4、考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力，是一道容 易題.3點共線的概率為4 .設(shè)。為正方形ABCD的中心，在 O, A, B, C, D中任取3點，則取到的A.C.B.D.2545【解析】【分析】列出從5個點選3個點的所有情況，再列出3點共線的情況，用古典概型的概率計算公式運算 即可.【詳解】如圖，從 O, A, B, C, D 5個點中任取3個有O,A,B,O,A,C,O,A,D,O,B,CO,B,D,O,C,D, A,B,C, A, B, DAC,D, B,C,D共10種不同取法,3點共線只有A,O,C與B,O,D共2種情況,由古典概型的概率計算公式知,什， 21取到3點共線的概率為一-105故選：A【點

5、晴】本題主要考查古典概型的概率計算問題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，是 一道容易題.5 .某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x （單位：°C）的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)（x,yJ（i 1,2,1,20）得到下面的散點圖:由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（）2A.ya bxB.yabxxC.ya beD.yablnx【解析】 【分析】根據(jù)散點圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.【詳解】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，

6、最適合作為發(fā)芽率 y和溫度X的回歸方程類型的是 y a bln x.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點圖的分布，屬于基礎(chǔ)題6.已知圓x2 y2 6x 0 ,過點(1, 2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為(A. 1B. 2C. 3D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線和圓心與點(1,2)連線垂直時，所求的弦長最短，即可得出結(jié)論【詳解】圓x2 y2 6x 0化為(x 3)2 y2 9,所以圓心C坐標(biāo)為C(3,0),半徑為3,設(shè)P(1,2),當(dāng)過點P的直線和直線CP垂直時，圓心到過點 P的直線的距離最大，所求的弦長最短，根據(jù)弦長公式最小值為2 .9 |CP|2 2 ,9

7、8 2 .故選：B.【點睛】本題考查圓的簡單幾何性質(zhì)，以及幾何法求弦長，屬于基礎(chǔ)題.冗 一 一7.設(shè)函數(shù)f(x) cos( x 一)在陽/的圖像大致如下圖，則 f(x)的最小正周期為()6A.10 7t八 4冗C.3B.D.72t63冗2【答案】C【解析】【分析】由圖可得：函數(shù)圖象過點4 cr r ,0 ,即可得到cos9函數(shù)f X圖象與x軸負(fù)半軸的第一個交點即可得到,0是32，再利用三角函數(shù)周期公式即可得解【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過點將它代入函數(shù)f X可得：cos,0是函數(shù)f x圖象與x軸負(fù)半軸的第一個交點,所以T 2_ 2_ £所以函數(shù)f x的最小正周期為 一T -32故選：C

8、【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力,還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.8.設(shè) alog3 4 2,則 4 a()1111A. B.-C.-D.-16986【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的式子，結(jié)合對數(shù)的運算法則，得到 log3 4a 2 ,即4a 9 ,進(jìn)而求得.a 1一49 ,得到結(jié)果.【詳解】由alog3 4 2可得log34a 2 ,所以4a 9 ,所以有4 a -, 9故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)指對式的運算的問題，涉及到的知識點有對數(shù)的運算法則，指數(shù)的運算法則，屬于基礎(chǔ)題目.9 .執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的n=()/輸出苗/ t (結(jié)束)A. 17

9、B. 19C. 21D. 23【答案】C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖的算法功能可知，要計算滿足1 3 5 n 100的最小正奇數(shù)n,根據(jù)等差數(shù)列求和公式即可求出.3 5 | n 100的最小正奇數(shù),因為b I L13 5 1n. n 1 .1 n 12124,解得n 19 ,100【詳解】依據(jù)程序框圖的算法功能可知， 輸出的n是滿足1所以輸出的n 21.故選：C【點睛】本題主要考查程序框圖的算法功能的理解,以及等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用，屬于2 ,則 a6a7%基礎(chǔ)題.10 .設(shè)an是等比數(shù)列，且 為 a2 a3 1 , a? a3+a4A. 12B. 24C. 30D. 32根據(jù)已知條件求得

10、q的值，再由a6a7a8a1a2a3可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為a2a3a1q21 ，a2 a3 a4aq23)a1qa1qa1q 1 q因此，a6 a? a8567a1qaqaq5 .&q 132.故選：D.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.211 .設(shè)F1,F2是雙曲線C :x2 1的兩個焦點，。為坐標(biāo)原點，點P在C上且|OP|2, 3則PF1F2的面積為（）7A. 一2B. 35C.2D. 2【分析】由fF2P是以P為直角直角三角形得到| PF1 |2 | PF2 |2 16 ,再利用雙曲線的定義得到 ._1IPFil IPF2I 2,聯(lián)立即可得

11、到 IPF1IIPF2I,代入 S/x FiF2P |PFi IIPF2 | 中計算即可.2【詳解】由已知，不妨設(shè) Fi（ 2,0）, F2（2,0）,1 _ _則 a 1,c 2,因為OP1 1 -1 F1F21 ,2所以點P在以F1F2為直徑的圓上，即F1F2P是以P為直角頂點的直角三角形，故 IPF1I2 IPF2I2 IF1F2I2,即 IPF1I2 IPF2I2 16,又 IPF1I IPF2 I 2a 2,所以 4 IIPF1I IPF2I2 IPF1 2 IPF2r 2IPF1IIPF2I 16 2IPFJIPF2I,1解得 IPF1IIPF2I 6,所以 SA F1F2P IP

12、F1IIPF2I 32故選：B【點晴】本題考查雙曲線中焦點三角面積的計算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題.12 .已知A,B,C為球O的球面上的三個點，O 。1為&ABC的外接圓，若。1的面積為4冗,AB BC AC OO1 ,則球O的表面積為（）A. 64 nB. 48 兀C. 36 冗D. 32 九【答案】A【解析】【分析】由已知可得等邊 &ABC的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長，得出OO1的值，根據(jù)球截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論 .【詳解】設(shè)圓。1半徑為r ,球的半徑為 R,依題意，得r2由正弦定理可得 AB 2rsin60 2J3 ,O

13、O1 AB 2M ,根據(jù)圓截面性質(zhì) OOi平面ABC,OO1 O1A,R OA Joo； O1A2 Joo； r2 4, 球O的表面積S 4 R2 64 .故選：A【點睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于 基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.2x y 2 0,13 .若x, y滿足約束條件 x y 1 0,則z=x+7y的最大值為. y i 0,【答案】i【解析】【分析】 首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，r r11目標(biāo)函數(shù)z x 7y即：y x -z, 77其中z取

14、得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大,據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點A處取得最大值，2x y 2 0八聯(lián)立直線方程：，可得點A的坐標(biāo)為：A 1,0 ,x y 1 0據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：Zmax 17 0 1.故答案 ：1 .【點睛】求線性目標(biāo)函數(shù) z= ax+by(abw0的最值，當(dāng)b>0時，直線過可行域且在 y軸上截距 最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最?。划?dāng)b<0時，直線過可行域且在 y軸上截距 最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.14 .設(shè)向量 a (1, 1),b (m 1,2m 4),若 a b，則 m .【答案】5【

15、解析】【分析】根據(jù)向量垂直，結(jié)合題中所給的向量的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示，求得結(jié)果【詳解】由a b可彳#a b 0,又因為 a (1, 1),b (m 1,2m 4),m/V14b 54am所 即(1) (2m 4) 0,故答案為:5.【點睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識點有向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.15 .曲線y lnx x 1的一條切線的斜率為 2,則該切線的方程為 .【答案】y 2x【解析】【分析】設(shè)切線的切點坐標(biāo)為(Xo,y0),對函數(shù)求導(dǎo)，利用 y |x0 2 ,求出比，代入曲線方程求出y0, 得到切線的點斜式方程，化簡即可.1 【詳斛】設(shè)切線的切點坐標(biāo)為(x

16、0,y0),y lnx x 1,y - 1,x，1， c，c，y|xx0 1 2,xo 1,y0 2,所以切點坐標(biāo)為(1,2), x。所求的切線方程為y 2 2(x 1),即y 2x.故答案為：y 2x.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題 16 .數(shù)列an滿足 an 2 ( 1)nan 3n 1,前 16項和為 540,則 q .【答案】7【解析】【分析】對n為奇偶數(shù)分類討論， 分別得出奇數(shù)項、 偶數(shù)項的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項遞推公式將奇數(shù)項用a1表示，由偶數(shù)項遞推公式得出偶數(shù)項的和，建立a1方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】an 2 ( 1)nan 3n 1,當(dāng)n為奇數(shù)時，an 2 an

17、3n 1；當(dāng)n為偶數(shù)時，a02 an 3n 1.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,S16 a1 a2 a3 a4 a16a3a5 | | a15 (a2a4)(a14a16)(a1 2) (a1 10) (a1 24) (a1 44) (a1 70)(ai102)140) (517 2941)8al392928al 484540 ,a17.故答案為：7.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，以及數(shù)列的并項求和，考查分類討論思想和數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答(

18、一)必考題：共60分.17.某廠接受了一項加工業(yè)務(wù)，加工出來產(chǎn)品(單位：件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A, B, C, D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于 A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元;對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為 20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù),在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等4整理如下等級ABC頻數(shù)402020甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABC頻數(shù)281734乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來一件產(chǎn)品為(

19、2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的 100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)？【答案】(1)甲分廠加工出來的 A級品的概率為 0.4 ,乙分廠加工出來的A級品的概率為0.28; (2)選甲分廠，理由見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)兩個頻數(shù)分布表即可求出；(2)根據(jù)題意分別求出甲乙兩廠加工100件產(chǎn)品的總利潤，即可求出平均利潤，由此作出選擇.【詳解】(1)由表可知，甲廠加工出來的一件產(chǎn)品為 A級品的概率為 &0.4,乙廠加工出10028來的一件產(chǎn)品為A級品的概率為 0.28；100(2)甲分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤為40 90 252050 2520 20

20、 25 2050 251500 元，所以甲分廠加工100件產(chǎn)品的平均利潤為15元每件；乙分廠加工100件產(chǎn)品的總利潤為28 90 201750 2034 20 20 2150 201000 元，所以乙分廠加工100件產(chǎn)品的平均禾I潤為10元每件.故廠家選擇甲分廠承接加工任務(wù).【點睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用，以及平均數(shù)的求法，并根據(jù)平均值作出決策，屬于基礎(chǔ)題.18. 4ABC的內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c.已知B=150 :(1)若 a=V3c, b=2 5/7,求 &ABC 的面積；、2(2)右 sinA+6sinC=,求 C.2【答案】(1)由；(2)

21、15 .【解析】【分析】(1)已知角B和b邊，結(jié)合a,c關(guān)系，由余弦定理建立 c的方程，求解得出 a,c,利用面積公式，即可得出結(jié)論；(2)將A 30C代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡得出有關(guān)C角的三角函數(shù)值，結(jié)合 C的范圍，即可求解.【詳解】(1)由余弦定理可得b2 28 a2 c2 2ac cos150 7c2，c 2,a 273, AABC 的面積 S 1acsin B 33 ；(2) ;A C 30 ,sin A . 3sinC sin(30 C) 3sinC-cosC sin C sin(C 30 )-,222“0 C 30, 30 C 3060 ,IC 3045 ,

22、C 15 .【點睛】本題考查余弦定理、三角恒等變換解三角形，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19 .如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，/ABC是底面的內(nèi)接正三角形， P為DO 上一點，/ APC=90°.(1)證明：平面 PABL平面PAC;(2)設(shè)DO= J2,圓錐的側(cè)面積為 J3,求三棱錐P-ABC的體積.【答案】(1)證明見解析;(1)根據(jù)已知可得PAPB PC ,進(jìn)而有 PAC PBC ,可得APCBPC 90",即PB PC,從而證得PC 平面PAB,即可證得結(jié)論;(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為母線 l和底面半徑r的關(guān)系，進(jìn)而求出底面半徑，由正

23、弦定理，求出APO中，求出PO,即可正三角形ABC邊長，在等腰直角三角形 APC中求出AP,在求出結(jié)論.【詳解】(1)D為圓錐頂點，O為底面圓心,OD 平面ABC ,|P 在 DO 上，OA OB OC, PA PB PC,AC BC , PAC PBC ,APC BPC 90 ,即 PB PC,PA PC PApPB P, PC 平面 PAB,PC 平面 PAC, 平面PAB平面PAC ；(2)設(shè)圓錐的母線為l ,底面半徑為r ,圓錐的側(cè)面積為rl 3,rlOD2 l2 r2 2,解得 r 1,l 33, AC 2r sin 60在等腰直角三角形 APC中，ap 42 AC 匹,在.2324

24、求錐體的體積，注意空間垂【點睛】本題考查空間線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直, 直間的相互轉(zhuǎn)化，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題20 .已知函數(shù) f (x) ex a(x 2).(1)當(dāng)a 1時，討論f (x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.【答案】(1)減區(qū)間為(，0),增區(qū)間為(0,); (2) (1,).e【解析】【分析】(1)將a 1代入函數(shù)解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，分別令導(dǎo)數(shù)大于零和小于零，求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間；xe(2)若f(x)有兩個零點，即ex a(x 2) 0有兩個解，將其轉(zhuǎn)化為a 有兩個解，令x 2xh(x) (x2),求導(dǎo)研究函數(shù)

25、圖象的走向，從而求得結(jié)果x 2【詳解】(1)當(dāng) a 1 時，f (x) ex (x 2), f'(x) ex 1,令f (x) 0 ,解得x 0 ,令f (x) 0 ,解得x 0,所以f (x)的減區(qū)間為(，0),增區(qū)間為(0,);(2)若f (x)有兩個零點，即ex a(x 2) 0有兩個解,x從方程可知，x 2不成立，即a有兩個解,x 2x.e令 h(x) (xx 22),則有 h (x)xxe (x 2) e(x 2)2ex(x 1)(x 2)2令h(x) 0,解得x 1,令h(x) 0,解得x 2或2 x 1,所以函數(shù)h(x)在(2)和(2, 1)上單調(diào)遞減，在(1,)上單調(diào)遞

26、增,且當(dāng)x 2時，h(x) 0,而x 2時，h(x) ,當(dāng)x時，h(x)所以當(dāng)a1h( 1) 一， ex有兩個解時，有ax 2_ ，八 一1所以滿足條件的a的取值范圍是：(1,).e【點睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題，涉及到的知識點有應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 的單調(diào)性，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，也可以利用數(shù)形結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為曲線y ex和直線y a(x 2)有兩個交點，利用過點(2,0)的曲線yex的切線斜率，結(jié)合圖形求得結(jié)果21.已知A、B分別為橢圓2E： 22 y2 1 (a>1)的左、右頂點，G為E的上頂點, aaG gB 8,P為直線x=6上的動點,PA

27、與E的另一交點為 C, PB與E的另一交點為 D.(1)求E的方程;(2)證明：直線CD過定點.(1)y21 ; (2)證明詳見解析.(1)由已知可得:A a,0 , B a,0 , G 0,1 ,即可求得 G gB即可求得：a2 9,問題得解.聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方(2)設(shè)P 6, y(),可得直線AP的方程為：y程即可求得點C的坐標(biāo)為-23y0276y0y。2 9y。29,同理可得點D的坐標(biāo)為23y032y02 T，y01y°1,即可表不出直線CD的方程，整理直線CD的方程可得:4 y0 r x3 3y0【詳解】(1)依據(jù)題意作出如下圖象:2由橢圓方程E : ,y2a1(a

28、1)可得:A a,0B a,0 , G 0,1AG a,1a,AG gB a2 1a2,一一x2橢圓方程為：一 9(2)證明：設(shè)P 6,y0則直線ap的方程為：yy。6聯(lián)立直線AP的方程與橢圓方程可得:2y。-2-2-29 x 6y0 x 9y03y02 27y029代入直線解得:y09比x 3可得:93y02 272y。6y0V； 9所以點c的坐標(biāo)為c 23 y0-2y02796 y02y0同理可得：點D的坐標(biāo)為23y02" y02 y0-2y0直線CD的方程為:2 y02y06 y°y029整理可得:2 y0y y018 y0 y02整理得：y4 y0_ _23 3y0

29、6 9y042 y0x 2y033 y02 272y092 y0v?"c 2 c3y03y02 1_2_3 y032 T ，y0123y032y。6 3y0223 y03y0214 y0_ _23 3y0故直線CD過定點3 ,02【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則 按所做的第一題計分.選彳44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程kx cos t,22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為k （t為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，y sin tx軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 4 cos 16 sin 3 0 .（1）當(dāng)k 1時，Ci是什么曲線？（2）當(dāng)k 4時，求&與C2的公共點的直角坐標(biāo).1 1【答案】（1）曲線C1表示以坐標(biāo)原點為圓心，半徑為 1的圓；（2）（一, 一 ）.4 4【解析】【分析】（1）利用sin2t