清華大學(xué)謝金星數(shù)學(xué)實驗-作業(yè)3

1、土木系 結(jié)23 李會平 2011012208實驗5線性方程組解法實驗6非線性方程求解【實驗?zāi)康摹?學(xué)會用MATLAB軟件數(shù)值求解線性代數(shù)方程組，對迭代法的收斂性誤差作初步分析；2通過實例學(xué)習(xí)用線性代數(shù)方程組解決簡化的實際問題。3學(xué)會用MATLAB軟件數(shù)值求解線性代數(shù)方程組，對迭代法的收斂性誤差作初步分析；4通過實例學(xué)習(xí)用線性代數(shù)方程組解決簡化的實際問題?！緦嶒瀮?nèi)容】一.種群繁殖問題（教材5.9）（1）建立數(shù)學(xué)模型根據(jù)問題描述，建立如下所示的模型：-=令，, , 則有：Ax-h=x,(當(dāng)穩(wěn)定后xk和是一樣的)所以x=(A-I)-1h(2)求解x1x5:l 用matlab編程如下：.l 當(dāng)給定b,

2、s,h的數(shù)值以后，可以求出滿足條件的x，運行結(jié)果如圖所示：（3）將h的數(shù)值改變，仍然運行以上代碼即可，所得結(jié)果如下：l 給出的結(jié)果中出現(xiàn)了負數(shù)，因此認為提給的要求是無法實現(xiàn)的。另外在解決該題的過程中發(fā)現(xiàn)整個建模的過程中沒有用到hn這個值，這可能是原題的失誤或者自己理解的錯誤（也希望老師可以指出其中的問題所在）。二.(6.6)共沸混合物問題l 1）該題的模型已經(jīng)在教材中建立，只需要用matlab進行計算即可，需要注意的是第四種物質(zhì)可以直接由1-前三種物質(zhì)的比例得到，這樣可以減少用fsolve命令解方程組帶來的誤差。相應(yīng)的程序如下所示：其中的M函數(shù)如下所示：2）運行結(jié)果如下所示：3）為了得到更多情

3、況下的組成結(jié)構(gòu)，改變初始比例和初始溫度，會得到不同的結(jié)果，比如在XT=（0.5，0.5，0，70）時候，得到結(jié)果如下當(dāng)XT=（0，0，0.5，80）時候，得到結(jié)果如下：當(dāng)XT=（0.6，0.1，0.1，40）時候，得到結(jié)果如下所示：l 簡單地繪制一個表格表示如下：初值解XT0X1X2X3X4T0.25,0.25,0.25,500.00000.58580.41420.000071.96570.5,0.5,0,700.00000.78030.00000.219776.96130,0,0.5,800.0000-0.00001.00000.000082.55670.6,0.6,0.1,400.0000

4、0.58580.41420.000071.9657l （1）從表格中看出，不同的初值會對最后的平衡產(chǎn)生影響，可能最后達到一個共同的平衡，比如第一組和第四組數(shù)據(jù)，也可能達到不同的平衡。表格中的數(shù)據(jù)不一定包含所有的平衡狀況，但是較好的說明了問題；（2）計算結(jié)果中有的部分出現(xiàn)了微小的負數(shù)的情況，這可能是matlab本身算法存在的誤差或者攝入誤差等帶來的三.（6.8）期望價格問題l 首先根據(jù)題意給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型、迭代公式：qt+1=1-rqt+rc-arctanqt/d帶入數(shù)值即為：qt+1=0.7qt+1.2c-arctan4.8qt以上為q(t)進行迭代的依據(jù)l 下面給出相關(guān)的matlab程序進

5、行不同c值下的迭代運算。迭代的chaos程序在教材中已經(jīng)給出，如下所示：然后給出迭代公式的M函數(shù)：運行chaos函數(shù)，可以得到不同c值下的迭代過程的混沌圖案，相應(yīng)代碼如下：其相應(yīng)的圖形為：由于是中心對稱的，故只研究如下的右側(cè)部分：與課本展示的圖案不同，該圖從左右兩邊向中間變得更加復(fù)雜，分叉點在左右兩邊均有，而中間會變得非常復(fù)雜，于是從左右兩側(cè)分別估計出分叉點的c值，然后繪制出在一系列給定c值的情況下的迭代波動情況。l 給定右側(cè)的c值為2,1,0.92,0.89時，相應(yīng)的代碼如下所示得到的圖形為：相應(yīng)的數(shù)值：kc=2c=1c=0.92c=0.89000001.00002.40001.20001.

6、10401.06802.00002.29900.36130.21570.16183.00002.23280.19560.29170.38884.00002.18960.43230.16740.04555.00002.16160.15660.40890.84186.00002.14350.53620.07070.06357.00002.13170.13510.76070.75768.00002.12420.60430.07230.03549.00002.11930.13640.75370.890810.00002.11610.59970.07020.082311.00002.11410.1361

7、0.76290.674212.00002.11280.60100.07300.014613.00002.11190.13620.75080.994114.00002.11140.60060.06940.126815.00002.11100.13610.76670.500516.00002.11080.60070.07410.006717.00002.11070.13610.74571.034118.00002.11060.60070.06800.145519.00002.11050.13610.77320.438420.00002.11050.60070.07610.022321.00002.

8、11050.13610.73690.955822.00002.11040.60070.06550.109623.00002.11040.13610.78430.563424.00002.11040.60070.07960.002425.00002.11040.13610.72181.055626.00002.11040.60070.06150.155827.00002.11040.13610.80270.406528.00002.11040.60070.08560.035929.00002.11040.13610.69590.888330.00002.11040.60070.05520.081

9、331.00002.11040.13610.83170.678432.00002.11040.60070.09580.015533.00002.11040.13610.65400.989934.00002.11040.60070.04690.124935.00002.11040.13610.87100.507436.00002.11040.60070.11050.005737.00002.11040.13610.59621.038938.00002.11040.60070.03980.147839.00002.11040.13610.90540.431140.00002.11040.60070

10、.12420.025041.00002.11040.13610.54580.942042.00002.11040.60070.03870.103643.00002.11040.13610.91090.586644.00002.11040.60070.12650.003245.00002.11040.13610.53781.051946.00002.11040.60070.03900.154047.00002.11040.13610.90920.411948.00002.11040.60070.12580.033349.00002.11040.13610.54020.901050.00002.1

11、1040.60070.03890.086451.00002.11040.13610.90980.656552.00002.11040.60070.12600.011353.00002.11040.13610.53941.010654.00002.11040.60070.03890.134455.00002.11040.13610.90960.474456.00002.11040.60070.12600.011757.00002.11040.13610.53961.009058.00002.11040.60070.03890.133759.00002.11040.13610.90970.4770

12、60.00002.11040.60070.12600.0111不同的c值分別對應(yīng)了1，2，4，8個收斂點（最后一個不明顯，因為迭代的次數(shù)不夠多），如上所示。l 給定左側(cè)的c值為0,0.200,0.450,0.525,相應(yīng)代碼為：繪出的圖形如下所示：相應(yīng)的數(shù)據(jù)為：KC=0C=0.200C=0.450C=0.525000001.000000.24000.54000.63002.00000-0.6191-0.5251-0.43073.000001.30211.60411.67284.00000-0.5431-0.06710.06475.000001.30520.86680.31396.00000-0

13、.5414-0.4551-0.33217.000001.30521.59121.61028.00000-0.5414-0.07490.02669.000001.30520.90160.496410.00000-0.5414-0.4413-0.430611.000001.30521.58681.672812.00000-0.5414-0.07760.064713.000001.30520.91340.314014.00000-0.5414-0.4365-0.332215.000001.30521.58501.610216.00000-0.5414-0.07860.026617.000001.30

14、520.91790.496218.00000-0.5414-0.4346-0.430619.000001.30521.58431.672820.00000-0.5414-0.07900.064721.000001.30520.91980.314022.00000-0.5414-0.4338-0.332223.000001.30521.58401.610324.00000-0.5414-0.07920.026625.000001.30520.92050.496026.00000-0.5414-0.4335-0.430627.000001.30521.58391.672828.00000-0.54

15、14-0.07930.064729.000001.30520.92090.314030.00000-0.5414-0.4334-0.332331.000001.30521.58391.610332.00000-0.5414-0.07930.026733.000001.30520.92100.496034.00000-0.5414-0.4333-0.430635.000001.30521.58381.672836.00000-0.5414-0.07930.064737.000001.30520.92100.314138.00000-0.5414-0.4333-0.332339.000001.30

16、521.58381.610340.00000-0.5414-0.07930.026741.000001.30520.92110.495942.00000-0.5414-0.4333-0.430643.000001.30521.58381.672844.00000-0.5414-0.07930.064745.000001.30520.92110.314146.00000-0.5414-0.4333-0.332347.000001.30521.58381.610348.00000-0.5414-0.07930.026749.000001.30520.92110.495950.00000-0.541

17、4-0.4333-0.430651.000001.30521.58381.672852.00000-0.5414-0.07930.064753.000001.30520.92110.314154.00000-0.5414-0.4333-0.332355.000001.30521.58381.610356.00000-0.5414-0.07930.026757.000001.30520.92110.495958.00000-0.5414-0.4333-0.430659.000001.30521.58381.672860.00000-0.5414-0.07930.0647從上表看出，不同的c分別對

18、應(yīng)了1，2，4，8個收斂點，如上所示。比較有趣的是c=0正好對應(yīng)了整個混沌圖形中間那一個黑點，該點嚴(yán)重偏移了整個圖形，只要c有一個微小的變化，就會引起收斂點的突躍，所以c=0是不穩(wěn)定的。l 接下來求分叉點，按照標(biāo)準(zhǔn)的方法，應(yīng)該先接觸迭代函數(shù)的不動點，然后求導(dǎo)，觀察該不動點出的導(dǎo)數(shù)的絕對值是否小于1。但本題中的迭代函數(shù)qt+1=0.7qt+1.2c-arctan4.8qt難以求出解析解，而且導(dǎo)數(shù)十分復(fù)雜，進一步迭代下去的話，即使是用matlab求解也十分困難，而且可能會有較高的累積誤差，故采用細化局部然后直接觀察的方式。1）1.07,1.09之間作圖，可以估計出右側(cè)12分叉點為1.0827（最后一位估讀）；.3-.2）0.945,0.955之間作圖，可以估計出右側(cè)2-4分叉點為0.9483；3）0.90,0.91之間作圖，可以估計出右側(cè)4-8分叉點為0.9068；4）0.89,0.90之間作圖，可以估計出右側(cè)8-16分叉點為0.8967；5）0.41,0.42 之間作圖，可以估計出