邏輯第五章推理、簡化真值表和形式證明

1、推理的構(gòu)成推理的構(gòu)成 前提、結(jié)論和推出關(guān)系前提、結(jié)論和推出關(guān)系顯性部分：前提和結(jié)論顯性部分：前提和結(jié)論 前提與結(jié)論之間有個顯著的標(biāo)志前提與結(jié)論之間有個顯著的標(biāo)志”所以所以” “所以所以”前面是前提，后面是結(jié)論。前面是前提，后面是結(jié)論。 “所以所以”與與“因此、因而、可見、因此可見、總之、因此、因而、可見、因此可見、總之、總而言之總而言之”等相同。等相同。 前提與結(jié)論倒置，則用前提與結(jié)論倒置，則用“因為因為”連接。連接。隱性部分：推出關(guān)系隱性部分：推出關(guān)系 必然性推出關(guān)系必然性推出關(guān)系 或然性推出關(guān)系或然性推出關(guān)系推理的種類推理的種類第一、按思維進程方向第一、按思維進程方向推理推理演繹推理演繹推

2、理歸納推理歸納推理類比推理類比推理第二、按前提的數(shù)量第二、按前提的數(shù)量推理推理直接推理直接推理間接推理間接推理第三、推出關(guān)系第三、推出關(guān)系推理推理必然性推理必然性推理或然性推理或然性推理必然性推理必然性推理演繹推理演繹推理完全歸納推理完全歸納推理或然性推理或然性推理不完全歸納推理不完全歸納推理類比推理類比推理有效式是前提蘊涵結(jié)論的蘊涵式有效式是前提蘊涵結(jié)論的蘊涵式有效式與蘊涵式的共同點表現(xiàn)為：有效式與蘊涵式的共同點表現(xiàn)為：有效式有效式 前提真前提真 推出推出 結(jié)論必真結(jié)論必真蘊涵式蘊涵式 前件真前件真 蘊涵蘊涵 后件必真后件必真共同點共同點 前真前真 后必真后必真如果前提真，則結(jié)論必真的推理形

3、式是有效式。如果前提真，則結(jié)論必真的推理形式是有效式。如果要得出一個必然為真的結(jié)論，推如果要得出一個必然為真的結(jié)論，推理必須具備兩個條件：理必須具備兩個條件：第一，前提內(nèi)容真實第一，前提內(nèi)容真實第二，推理形式有效第二，推理形式有效3 3、前提真實性、形式有效式與結(jié)論真實性的、前提真實性、形式有效式與結(jié)論真實性的關(guān)系關(guān)系真或假真或假有效有效假假真或假真或假 無效無效假假真或假真或假無效無效真真真真有效有效真真結(jié)論結(jié)論推理形式推理形式前提內(nèi)容前提內(nèi)容前提真實性、形式有效式與結(jié)論真實性的關(guān)前提真實性、形式有效式與結(jié)論真實性的關(guān)系系復(fù)合命題推理有效式、無效式復(fù)合命題推理有效式、無效式類型類型有效式有效

4、式無效式無效式負命題推理負命題推理雙重否定雙重否定聯(lián)言推理聯(lián)言推理分解式分解式 合成式合成式相容選言推理相容選言推理 否定肯定式否定肯定式肯定否定式肯定否定式不相容選言推理不相容選言推理否定肯定式否定肯定式 肯定否定式肯定否定式充分條件假言推理充分條件假言推理肯定前件式肯定前件式 否定后件式否定后件式否定前件式否定前件式 肯定后件式肯定后件式必要條件假言推理必要條件假言推理否定前件式否定前件式 肯定后件式肯定后件式肯定前件式肯定前件式 否定后件式否定后件式充分必要條件假言推理充分必要條件假言推理肯定前件式肯定前件式 否定后件式否定后件式否定前件式否定前件式 肯定后件式肯定后件式 p 復(fù)合命題推

5、理有效性的判定復(fù)合命題推理有效性的判定例：寫出下列推理的形式，并分析是否有例：寫出下列推理的形式，并分析是否有效，簡答理由。效，簡答理由。如果物體受到摩擦，那么物體生熱。物體如果物體受到摩擦，那么物體生熱。物體受到摩擦。所以，物體生熱。受到摩擦。所以，物體生熱。（一）規(guī)則判定（一）規(guī)則判定 例：寫出下列推理的形式，并分析是否例：寫出下列推理的形式，并分析是否有效，簡答理由。有效，簡答理由。 如果我努力用功了，那么只要考試不超如果我努力用功了，那么只要考試不超出大綱范圍，我就能過關(guān)。因此等于說，出大綱范圍，我就能過關(guān)。因此等于說，如果我努力用功了并且考試不超出大綱如果我努力用功了并且考試不超出大

6、綱范圍，那么我就能過關(guān)。范圍，那么我就能過關(guān)。（二）真值表的判定作用（二）真值表的判定作用判定原則：判定原則：蘊涵式是永真式，當(dāng)且僅當(dāng)推理形式有效。蘊涵式是永真式，當(dāng)且僅當(dāng)推理形式有效。蘊涵式不是永真式，當(dāng)且僅當(dāng)推理形式無效。蘊涵式不是永真式，當(dāng)且僅當(dāng)推理形式無效。步驟：步驟：第一步：把蘊涵式放入真值表第一步：把蘊涵式放入真值表第二步：計算出蘊涵式的真值第二步：計算出蘊涵式的真值第三步：判定第三步：判定p pq q (p(pq) q) p p q q 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 1 00 1 00 01 1 0 1 1 0 1 1 0 00 0 0 1 0 0 1

7、0 (p q) p q p pq q (p(pq) q) p p q q 1 11 1 0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 10 1 10 01 1 1 0 0 1 0 0 0 00 0 1 1 1 1 1 1 (p q) p q 判定下列推理形式是否有效：判定下列推理形式是否有效：p p q q ， r r s s ， r r t t t t p p簡化真值表方法（歸謬賦值法）簡化真值表方法（歸謬賦值法） 簡化真值表方法首先假設(shè)一個推理形式無效，簡化真值表方法首先假設(shè)一個推理形式無效，然后對表示這一推理形式的蘊涵式賦值。然后對表示這一推理形式的蘊涵式賦值。 1. 1.若賦值過程中無

8、矛盾，則該推理形式無效。若賦值過程中無矛盾，則該推理形式無效。 2.2.若賦值過程中有矛盾（即若賦值過程中有矛盾（即q q q )q )，則該推，則該推理形式有效。理形式有效。 原理原理歸謬推理歸謬推理 p p q, p q, p q q p p p p q q q q p p 1. 1.轉(zhuǎn)換：把推理形式轉(zhuǎn)換成蘊涵式。轉(zhuǎn)換：把推理形式轉(zhuǎn)換成蘊涵式。 p p q q， p p q q (p (pq) q) p p q q 2. 2.假設(shè)：假設(shè)該蘊涵式為假。假設(shè)：假設(shè)該蘊涵式為假。 (p(pq) q) p p q q 0 03.3.賦值：以蘊涵為假為條件，逐層賦賦值：以蘊涵為假為條件，逐層賦值。值

9、。 注意：賦值過程中，無矛盾無效，注意：賦值過程中，無矛盾無效，有矛盾有效。有矛盾有效。1. (pq) p q 02. (pq) p q 1 0 0 簡化真值表方法的檢驗過程簡化真值表方法的檢驗過程例例1 1：1 (p1 (pq) q) p p q q 0 0 2 (p 2 (pq) q) p p q q 1 0 0 1 0 0 3 3 (p (p q) q) p p q q 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 4 (p 4 (pq) q) p p q q 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 5 (p 5 (pq) q) p p q q 0 1 1 1 1 0

10、0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 判定：無矛盾，假設(shè)成立，該推理無效。判定：無矛盾，假設(shè)成立，該推理無效。即：當(dāng)即：當(dāng)p p賦值為假，賦值為假，q q賦值為真時，蘊涵式為假。賦值為真時，蘊涵式為假。 例例2 2：1 (p1 (pq) q) p p q q 0 0 2 (p 2 (pq) q) p p q q 1 0 0 1 0 0 3 (p 3 (pq) q) p p q q 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 4 (p 4 (pq) q) p p q q 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 5 (p 5 (p q) q) p p q q 1 1 1 1 0 1

11、1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 6 (p 6 (pq) q) p p q q 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 判定：產(chǎn)生矛盾，該推理有效。判定：產(chǎn)生矛盾，該推理有效。 判定判定“( p p q) p q”是否有效。是否有效。 賦值技巧賦值技巧1 1 變項賦值一般從結(jié)論（后件）開始。理由：變項賦值一般從結(jié)論（后件）開始。理由：結(jié)論為假，容易賦值；結(jié)論比較簡單。結(jié)論為假，容易賦值；結(jié)論比較簡單。 2 2 如果結(jié)論為假的變項組合不止一種：如果結(jié)論為假的變項組合不止一種： 如果一種組合在賦值過程中無矛盾，余下的如果一種組合在賦值過程中無矛盾，余下的組合不必再賦值，即可判

12、定該推理形式無效。組合不必再賦值，即可判定該推理形式無效。 如果所有組合在賦值過程中有矛盾，則該推如果所有組合在賦值過程中有矛盾，則該推理形式有效。理形式有效。判定判定“（p qp q）（r sr s）( ( q q s s) ) p p r”r”是否有效。是否有效。判定判定“（ p qp q） （ p p q q ） （ p p q q）”是否有效。是否有效。形式證明形式證明1. 1.根據(jù)復(fù)合命題的邏輯特性，可產(chǎn)生基本根據(jù)復(fù)合命題的邏輯特性，可產(chǎn)生基本的推理有效式和等值式。的推理有效式和等值式。2.2.形式證明是一個推導(dǎo)序列，推理的有效形式證明是一個推導(dǎo)序列，推理的有效性可以在一個推導(dǎo)序列中

13、得到證明。性可以在一個推導(dǎo)序列中得到證明。3.3.形式證明的結(jié)構(gòu)分為三部分：序列號、形式證明的結(jié)構(gòu)分為三部分：序列號、真值形式和理由。真值形式和理由。形式證明就是運用真值形式（人工符號）形式證明就是運用真值形式（人工符號）之間的之間的“邏輯變形邏輯變形”表示必然性推理的表示必然性推理的全過程。全過程。例例1： p q ，q r, r, r p 序列號序列號 真值形式真值形式 理由理由 1. p q 前提前提 2. q r r 前提前提 3. r 前提前提 4. q 2、3否后式否后式 5. p 1、4否肯式否肯式例例2： p q , p r, r, q r r p 逆向思維逆向思維例例3 3：

14、(qs),rs ,pq, (tu)r ,pu t(qs),rs ,pq, (tu)r ,pu t1. (t u) r 1. (t u) r t u r t u r2. p u u 2. p u u 3. p u p 3. p u p 4. p q ,p q4. p q ,p q5. (q s) 5. (q s) q s q s6. q s ,q s6. q s ,q s7. r s, s r7. r s, s r8. t u r, u r t8. t u r, u r t(qs) ,rs ,pq, (tu) r ,pu t1. (qs) 前提前提2. r s 前提前提3. p q 前提前提4.

15、 (tu) r 前提前提5. pu 前提前提6. p 5分解式分解式7. u 5分解式分解式8. q 3、6肯前式肯前式9. q s 1德摩根律德摩根律10. s 8、9否肯式否肯式11. r 2、10否后式否后式12. (tu) 4、11否肯式否肯式13. tu 12德摩根律德摩根律14. t 7、13否肯式否肯式 例例4 4：p pq, q s, r s, u (t r p) tx 1. p p q 前提前提 2. q s 前提前提 3. r s 前提前提 4. u (t r p) 前提前提 5. t r p 4分解式分解式 6. r s 3蘊涵定義律蘊涵定義律 7. s r 6假言易位律

16、假言易位律 8 . p r 1、2、7假言連鎖假言連鎖 9 . p r 8蘊涵定義律蘊涵定義律 10 . r p 9交換律交換律 11 . (r p) 10德摩根律德摩根律 12 . t 5、11否肯式否肯式 13 . t x 12附加律附加律 14 . t x 13蘊涵定義律蘊涵定義律注意：注意：如果前提中有如果前提中有聯(lián)言命題聯(lián)言命題，那么聯(lián)言命題就做為，那么聯(lián)言命題就做為形式證明的出發(fā)點。形式證明的出發(fā)點。形式證明的方法，不但能證明推理的有效性，形式證明的方法，不但能證明推理的有效性，而且還可以在已知的前提下推導(dǎo)出相應(yīng)的結(jié)而且還可以在已知的前提下推導(dǎo)出相應(yīng)的結(jié)論。論。例例5 一天夜里，某

17、百貨商店被竊，經(jīng)偵查了解到并確認以下情況：一天夜里，某百貨商店被竊，經(jīng)偵查了解到并確認以下情況： 盜竊者或者是甲盜竊者或者是甲(p)，或者是乙，或者是乙(q)。 如果甲是盜竊者，那么作案時間不在零點之前如果甲是盜竊者，那么作案時間不在零點之前(r)。 零點時該商店的燈滅了零點時該商店的燈滅了(s)，而甲此時尚未回家，而甲此時尚未回家(t)。 若乙的陳述是真的若乙的陳述是真的(u)，則作案時間在零點之前。，則作案時間在零點之前。 只有零點時刻該商店燈未滅，乙的陳述才是撒謊。只有零點時刻該商店燈未滅，乙的陳述才是撒謊。問：誰是盜竊者？問：誰是盜竊者？將前提符號化為：將前提符號化為：p q, p r

18、, s t, ur, su運用形式證明推導(dǎo)如下：運用形式證明推導(dǎo)如下： 1. p q 前提前提 2. p r 前提前提 3. s t 前提前提 4. u r 前提前提 5. s u 前提前提 6. s 3分解式分解式 7. u 5、 6肯前式肯前式 8. r 4、7肯前式肯前式 9. p 2 、8否后式否后式 10. q 1、9否肯式否肯式例例6 下面是一起殺人案的審訊記錄：下面是一起殺人案的審訊記錄：偵查員：你剛才說的都是實話嗎？偵查員：你剛才說的都是實話嗎？受審者：是的，全是實話。受審者：是的，全是實話。偵查員：你再重復(fù)一遍。偵查員：你再重復(fù)一遍。受審者：因為那天只有張三受審者：因為那天只

19、有張三(p)和李四和李四(q)到過死者到過死者的房間，殺人的肯定在他們之中。要是張三殺了的房間，殺人的肯定在他們之中。要是張三殺了人，他就會偽造現(xiàn)場人，他就會偽造現(xiàn)場(r)。要是當(dāng)時我在現(xiàn)場。要是當(dāng)時我在現(xiàn)場(s)，我也會被殺死我也會被殺死(t)。除非我在現(xiàn)場，張三不會偽造。除非我在現(xiàn)場，張三不會偽造現(xiàn)場。我知道的就這些，殺人犯是張三?，F(xiàn)場。我知道的就這些，殺人犯是張三。問：受審者說的是否都是真話？問：受審者說的是否都是真話？將前提符號化為將前提符號化為：p q, p r, s t, s r, t根據(jù)上述前提作形式證明：根據(jù)上述前提作形式證明： 1. p q 前提前提 2. p r 前提前提

20、3. s t 前提前提 4. s r 前提前提 5. t 前提前提 6. s 3、5否后式否后式 7. r 4、6否前式否前式 8. p 2、7否后式否后式 9. q 1、8否肯式否肯式從已知前提中導(dǎo)出結(jié)論：殺人者不是張三而是李四，從已知前提中導(dǎo)出結(jié)論：殺人者不是張三而是李四，所以受審者講的不全是真話。所以受審者講的不全是真話。注意：注意：1、充分利用已知條件。、充分利用已知條件。2、正確理解自然語言，熟練轉(zhuǎn)換符號語言。、正確理解自然語言，熟練轉(zhuǎn)換符號語言。由自然語言翻譯成人工語言應(yīng)注意的問題：由自然語言翻譯成人工語言應(yīng)注意的問題：1. “只要只要p就就q”不同于不同于“只有只有p才才q”2.

21、 “或者或者p或者或者q”不同于不同于“要么要么p要么要么q”3. “甲、乙兩人必須一個上場，一個不上場甲、乙兩人必須一個上場，一個不上場”不同于不同于“甲、乙甲、乙不同時不同時上場上場”4. “甲、乙兩人甲、乙兩人都不懂都不懂法律法律”不同于不同于“甲、乙甲、乙不都懂不都懂法律法律”5. “并非如果并非如果買了股票買了股票就就能發(fā)財能發(fā)財”不同于不同于“如果不如果不買股票買股票就不就不能發(fā)財能發(fā)財”6. “除非除非p才才q”， “除非除非p不不q”不同于不同于“只有只有p才不才不q”7. “甲、乙、丙三人去兩人甲、乙、丙三人去兩人”8. “甲、乙都去或者甲、乙都不去甲、乙都去或者甲、乙都不去

22、”9. “即使即使甲去乙甲去乙也也不去不去”10. “你聽從地你聽從地不是不是蘇格拉底，蘇格拉底，而是而是更多地在聽從真理更多地在聽從真理”不同不同于于“你你不是不是在圖書館，在圖書館，就是就是在去圖書館的路上在去圖書館的路上”條件證明條件證明 p(qr) p(qr) pq r pq r p q r p （前提集合（前提集合） q 假設(shè)前提假設(shè)前提 . . . r q r 若前提集合若前提集合p加上假設(shè)前提加上假設(shè)前提q能推出能推出r，則前提集，則前提集合合p必然能推出必然能推出q r。 例例7 p q, rp qr1.pq 前提前提2. rp 前提前提3. q 假設(shè)前提假設(shè)前提4. p 1、

23、3否肯式否肯式5. r 2、4否后式否后式6. qr 3-5條件證明條件證明 例例8 8 請用形式證明的方法，證明下列推理的請用形式證明的方法，證明下列推理的形式有效（不可使用簡化真值表方法）形式有效（不可使用簡化真值表方法） p p q, q, r r s, s, t t r, r, ( ( t t p p) ) q q s s證一證一： 1. p q 前提前提 2. r s 前提前提 3. t r 前提前提 4. ( t p) 前提前提 5. t p 4德摩根律德摩根律 6. t p 5蘊涵定義律蘊涵定義律 7. r t 3蘊涵逆蘊涵交換律蘊涵逆蘊涵交換律 8. p q 1蘊涵定義律蘊涵定

24、義律 9. r q 6、7、8假言連鎖假言連鎖 10. q r 9假言易位假言易位 11. r s 2蘊涵定義律蘊涵定義律 12. q s 10、11假言連鎖假言連鎖 注意注意:如果給定的前提中沒有聯(lián)言命題如果給定的前提中沒有聯(lián)言命題,那么把析取式那么把析取式轉(zhuǎn)換成蘊涵式轉(zhuǎn)換成蘊涵式,再利用假言連鎖進行推理。再利用假言連鎖進行推理。證二：證二： 1. p q 前提前提 2. r s 前提前提 3. t r 前提前提 4. ( t p) 前提前提 5. q 假設(shè)前提假設(shè)前提 6. p 1、5否肯式否肯式 7. t p 4德摩根律德摩根律 8. t 6、7否肯式否肯式 9. r 3、8否前式否前式 10. s 2、9否肯式否肯式 11. q s 510條件證明條件證明 間接證明（歸謬證明）間接證明（歸謬證明） p （前提集合）（前提集合） q 假設(shè)前提假設(shè)前提 . . . r r q 若前提集合若前提集合p加上假設(shè)前提加上假設(shè)前提q能推出能推出r r，那么，那么就必然證明假設(shè)前提就必然證明假設(shè)前提q為假，從而間接證明了推理為假，從而間接證明了推理的結(jié)論的結(jié)論q。 例例9 p q , q r s , r pt t t1. p q 前提前提2. q r s 前提前提3. r p t t 前提前提4. t 假設(shè)前提假設(shè)前提5. (r p) 3、4否后式否后式6. r p 5德摩根律德摩