北師大九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊期中復(fù)習(xí)

1、北師大九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊期中復(fù)習(xí)資料第一章 特殊的平行四邊形矩形菱形止方形邊對邊平行且 相等對邊平行， 四邊相等對邊平行，四邊相等性角四個(gè)角都是 直角對角相等四個(gè)角都是直角質(zhì)對 角 線互相平分且 相等互相垂直平 分，且每條 對角線平分 一組對角互相垂直平分且相等， 每條對角線平分一組 對角判定后二個(gè)角 是直角；是平行四 邊形且有一 個(gè)角是直 角；是平行四 邊形且兩條 對角線相 等.四邊相等 的四邊形；是平行四 邊形且有一 組鄰邊相 等；是平行四 邊形且兩條 對角線互相 垂直。是矩形，且有一組鄰 邊相等；是菱形，且有一個(gè)角 是直角。對稱 性既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形矩形，菱形和正方形之間的聯(lián)系

2、如下表所示:R對附例郴IhI 。一四個(gè)內(nèi)角為yiFlF7； 叵閑裝卡訐而際而布闋叵M用顯野分普內(nèi)他I例：如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點(diǎn)， 過。點(diǎn)的直線EF與AB, CD的延長線分別交于 E, F .(1)求證：BOE04DOF;(2)當(dāng)EF與AC滿足什么關(guān)系時(shí)，以 A, E, C, F 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？證明你的結(jié)論.79 0;第二章：一元二次方程一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：解與解法一元二次方程 根的判別韋達(dá)定理二、考點(diǎn)精析考點(diǎn)一、概念(1)定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,這樣的整式方程就是一元二次方程。2(2)一般表達(dá)式：ax bx c 0(a 0)難點(diǎn)：如何理解“未知數(shù)

3、的最高次數(shù)是 2” ：該項(xiàng)系數(shù)不為“ 0” ；未知數(shù)指數(shù)為“ 2” ；若存在某項(xiàng)指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需 建立方程或不等式加以討論。例：方程 m 2xm 3mx 1 0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為?？键c(diǎn)二、方程的解概念：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值 ，就是方程的解。應(yīng)用：利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：例：關(guān)于x的一元二次方程 a 2 x2 x a2 4 0的一個(gè)根為0,則a的值為?？键c(diǎn)三、解法 方法：直接開方法； 因式分解法； 配方法；公式法關(guān)鍵點(diǎn)：降次類型一、直接開方法：x2 mm 0, x . m22_2對于 x a m , ax m bx n 等形式均適用直接開方法

4、22例：斛方程：1 2x 8 0;2 25 16x =0;3 1 x類 型 二、 因 式 分 解法：x x1 x x2 0 x x1,或x x2方程特點(diǎn)：左邊可以分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊為 “0”，類型四、公式法0Mb2 4ac 02方程形式： 如 ax m bx n22x a x b x ax c , x 2ax a 0典型例題：例1、2x x 35 x 3的根為（）Ax5B x 3C2條件：a求根b , b2 4acx2a，例：選擇適當(dāng)方法解下列方程:一2 一 31 x 6.x2 4x 1 0公式2_a 0,且 b 4ac 0 x 3 x 68.，、一 2一 3x 4x 1 05x1,

5、 x23 D x22 一例 2、右 4x y 3 4x為。類 型 三2ax bx c 0 a 025y 4 0 ,貝U 4x+y的值配 方法22b b 4acx -2-2a 4a考點(diǎn)四、根的判別式 b2 4ac根的判別式的作用：定根的個(gè)數(shù)；求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它。典型例題：例1、若關(guān)于x的方程x22ax 1在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解 代數(shù)式的值或極值之類的問題。典型例題：例1、試用配方法說明2x 3的值恒大于0。例2、已知 xy 為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式22x y 2x 4y 7的取小值。的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是。例2、關(guān)于x的方程m1 x2 2mx m0后實(shí)數(shù)根，則m的取值

6、范圍是（）A. m 0且m1B. m 0C.m 1D. m 1考點(diǎn)五、方程類問題中的“分類討論”典型例題：例1、關(guān)于x的方程mi 1 x2 2mx 30有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m為，只有一個(gè)根，則m為。例 2、不解方程,判斷關(guān)于x的方程2_2x 2 x k k3根的情況。0有兩個(gè)不相等例3、 分解因式：4x2 12x 3考點(diǎn)六、應(yīng)用解答題1、列一元二次方程應(yīng)用題的一般步驟：【1】審題、【2】設(shè)元、【3】列方程、【4】解方程、【5】檢驗(yàn)、【6】寫答；2、若百位數(shù)字為a,十位數(shù)為b,個(gè)位數(shù)字為c,則這個(gè)三位數(shù)為;3、若設(shè)共有a人患病，每輪平均一個(gè)人傳b個(gè)人，則一輪后傳染了 人，共有 人患病，第二輪傳染了

7、人， 共有 人患病。4、變化率：基本關(guān)系 b a（1 x）n,其中a是增長（或降低）的基礎(chǔ)量，x是平均增長（或降低）率，n是增長（或降低）的次數(shù)，b是增長（或降低）后的數(shù)量。實(shí)際問題與一元二次方程解決有關(guān)面積問題應(yīng)掌握以下面積公式：S三角形=、S正方形二、S長方形=、 S平行四邊=一些不規(guī)則圖形求面積問題，可以通過 等方法， 把不規(guī)則 圖形編 程,利用規(guī)則圖形的面積 公式列方程求解。若三角形的一邊長是該邊上高的2倍，且面積是32,則該邊長為第三章：概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)一、頻率與概率的關(guān)系在進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)很多時(shí)，某個(gè)事件發(fā)生的 頻率會(huì)穩(wěn)定在相應(yīng)的 概率附近.可以通過 多次試驗(yàn)用一個(gè)事

8、件發(fā)生的 頻率來估計(jì)這一 事件發(fā)生的概率.知識(shí)點(diǎn)二、用實(shí)物模擬試驗(yàn)估計(jì)事件發(fā)生的概率在用試驗(yàn)法求某些事件發(fā)生的概率時(shí)，往往受試驗(yàn)條件 的限制，試驗(yàn)很難做或所做的結(jié)果誤差較大，或者試驗(yàn) 次數(shù)太多，因而完成即費(fèi)時(shí)又費(fèi)力.這時(shí)，我們可以采用模擬試驗(yàn)的方法來估計(jì)事件發(fā)生的概率.注意：必須保證利用替代物進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的概率與原事件發(fā)生的概率相同。即在用實(shí)物進(jìn)行模擬試驗(yàn)時(shí)，選取的替代物不能影響試驗(yàn)的結(jié)果知識(shí)點(diǎn)三、概率的計(jì)算方法1、列表法用列表法進(jìn)行計(jì)算的概率往往是兩次操作作為一次試驗(yàn)（例如摸撲克牌兩次，扔硬幣兩次等），或者在事件中有兩個(gè)并列條件（例如兩個(gè)轉(zhuǎn)盤）2、畫樹狀圖當(dāng)一次試驗(yàn)涉及時(shí) 兩次或兩次

9、以上（3個(gè)或更多個(gè)因素） 操作，列表法就不方便了，為了不重復(fù)、遺漏地列出所 有可能的結(jié)果，通常采用畫樹狀圖法 .注意：用樹狀圖和列表的方法求概率時(shí)，應(yīng)該注意各 種結(jié)果出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同事件A包含的結(jié)果數(shù)3、概率的計(jì)算公式:P（A）=所有等可能的結(jié)果數(shù)考點(diǎn)七、根與系數(shù)的關(guān)系 前提：對于ax2 bx c 0而言，當(dāng)滿足a 0、0時(shí)，才能用韋達(dá)定理。bc王要內(nèi)谷：x1 x2,x1x2 一aa應(yīng)用：整體代入求值。典型例題：例：已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x2 8x 7 0的兩根，則這個(gè)直角三角形的斜邊是（）A. . 3B.3C.6D. 6例：小婷和小英做游戲，她們在一個(gè)盒子里裝了標(biāo)號(hào)為1

10、、2、3、4的四個(gè)乒乓球，現(xiàn)在小婷從盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)乒乓球后，小英再從盒子里剩下的三個(gè)乒乓球中隨機(jī)摸出第二個(gè)乒乓球，如果摸出的乒乓球上的數(shù)字和為4或5,則小婷獲勝，否則小英獲勝，你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)λ齻?公平嗎？請說明理由.第二章圖形的相似第一節(jié)成比例線段知識(shí)點(diǎn)一、兩條線段的比如果選用同一個(gè)長度單位量得兩條線段AB,CD的長度分另是m, n,那么這兩條線段的比就是它們的長度之 比，即AB:CD=m:n,或?qū)懗葾B m,其中，線段 AB,CD nCD分別叫做這個(gè)線段比的前項(xiàng)和后項(xiàng)。如果把 m表示nAB成比值k,那么 k ,或者AB=k- CDCD一、/» 注息：1、求兩條線段的比的時(shí)候兩

11、條線段的長度單位要統(tǒng)一，當(dāng)長度單位不統(tǒng)一時(shí)，要先化成同一單位長度；2、兩條線段的比是一個(gè)沒有單位的正實(shí)數(shù)，與所選線 段的單位無關(guān)，只要選取相同的長度單位即可。知識(shí)點(diǎn)二、成比例線段對于四條線段 a,b,c,d ,如果a與b的比等于ca c與d的比，即一 一，那么這四條線段是成比例線段，b d簡稱比例線段。a b注忌：1、如果一一，那么b叫做a和c的比例中項(xiàng)；b c2 、在比例式a:b=c:d中，d叫做a, b, c的第四比例項(xiàng)；3 、成比例線段是有順序的，即a,b,c,d 是成比例線段，則是a:b=c:d 知識(shí)點(diǎn)三、比例的性質(zhì)1、比例的基本性質(zhì)：如果如果 ad=bc (a, b, c, d都不等

12、于0),那么a - b d2、等 比 性 質(zhì)： 如 果acm.(b d . n 0), 那 abdna c . mab d . nb方法：(1)使用等比性質(zhì)，比例的后項(xiàng)之和不能為0,它是對多條成比例線段進(jìn)行變形的依據(jù);(2) 引入連比的比值k,是解決這類問題的常用方法：如令錯(cuò)誤！未找到引用源。，則錯(cuò)誤！未找到 引用源。.3、合比性質(zhì)：如果a £ ,那么LJb Jdb db d第二節(jié)平行線分線段成比例知識(shí)點(diǎn)1、平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得到的對應(yīng)線段成比例.點(diǎn)撥：(1)對應(yīng)線段 是指一條直線被三條平行直線截得的線段與另一條直線被這三條平彳T直線截得的線段對應(yīng).

13、(2)對應(yīng)線段成比例是指同一直線上所截兩條線段的比 (部分與部分之比或部分與整體之比)等于另一條直線上所截兩條線段的比(部分與部分之比或部分與整體之 比).知識(shí)點(diǎn)2、平行線分線段成比例定理的推論： 平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，截 得的對應(yīng)線段 成比例.第三節(jié)相似多邊形 知識(shí)點(diǎn)1、各角分別相等，各邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比。知識(shí)點(diǎn)2、相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成 比M；相似多邊形的判定：邊數(shù)相等；對應(yīng)角相等； 對應(yīng)邊成比例。判斷兩個(gè)多邊形相似，這三個(gè)條件缺一不可。 第四節(jié)相似三角形的判定知識(shí)點(diǎn)1、相似三角形：三角分別相等，三邊成比例的

14、兩個(gè)三角形叫做相似三角形。如圖所示： ABC與A'B'C'相似，記做 ABCABBCAC A'B'C',其中-BCJACk,k為相似比。A'B'B'C'A'C'注意：(1)對應(yīng)性：兩個(gè)三角形相似時(shí)通常把表示對應(yīng) 頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上，這樣寫比較容易找到相 似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊。(2)順序性：相似三角形的相似比是有順序的，如： ABCs A'B'C',它們的相似比為k ,則k幽-BC至；如果寫成砥,A'B' B'C' A'C&#

15、39;A' R'B'C' A'C'ABC它們的相似比為 k',則k' AB BC AC, ABBCAC因此k' 1 k知識(shí)點(diǎn)2、相似三角形的判定方法判定方法1:兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似。即：已知 ABC 和A'B'C',若/A=/A',/B=/ B',則 ABgzXA'B'C'。注意：(1)在兩個(gè)三角形中，只需找到有兩組角分別相等，就可以判定兩個(gè)三角形相似；(2)這種方法說明我們不用邊就可以判定兩個(gè)三角形相似。(3)傳遞性：若 ABO A'B

16、9;C' , A'B'C's A'E'C'',則 ABSZXA'B'C'。二、探索：如何判斷兩個(gè)三角形相似？判定方法2:兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。AB AC即：已知 ABC A'B'C',若一AB -ACA'B' A'C'/ A=Z A',則 ABB A' B'C'。注意：通過此法判定三角形相似類似于判定三角形全等 中的“ SAS'。相似三角形常見構(gòu)圖 方式：(1)平行線型：若 DE/ BC,則 AA

17、DEs ABC(2)相交線型 AEDs ABCABA' B'即：已知 ABC和A'B'C',若BC AC ，則 ABS A'B'C'。B'C' A'C'知識(shí)點(diǎn)3、黃金分割:如圖所示，點(diǎn) C把線段AB分成兩條線段 AC和BG若AC BC,那么就稱線AB AC段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，記憶口訣：大：全二小:AC與AB的比叫做黃金比。注意：(1)由黃金分割的意義可知：AC2 AB?BC;(2)黃金比 AC 匹 一5二1 0.618AB AC 2(3)線段AB有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，其中

18、一個(gè)點(diǎn) D靠近 A 點(diǎn)，有 -BD- -1 ;另一點(diǎn)靠近點(diǎn)B,有AB 2AC "5 1 ,并且 AD=BC,AC=BD.AB 2 ACDA ABC ADCB第五節(jié) 利用相似三角形測高知識(shí)點(diǎn)1、利用陽光下的影子測量旗桿的高度：讓一名同學(xué)恰好站在旗桿影子的頂端，然后一部分 同學(xué)測量該同學(xué)的影長， 另一部分同學(xué)測量同一 時(shí)刻旗桿的影長?？谂卸ǚ椒?:三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。原理：.太陽是平行光線AB/ C口 / B=Z DCE/ ACBW DEC=90. .AC。 DEC. 不里即de ac?ceDE CE 'BC結(jié) 論： 同一 時(shí)刻被測物體實(shí)際高度 參照物體高度被測物體影子長

19、度參照物體影子的長度 知識(shí)點(diǎn)2、利用標(biāo)桿測量旗桿的高度工具：皮尺、標(biāo)桿步驟：(1)測量出標(biāo)桿 CD的長度，測出觀測者眼 部以下高度EF;(2)讓標(biāo)桿豎直立于地面，調(diào)整觀測者EF的位置，當(dāng)旗桿頂部、標(biāo)桿頂端、觀測者的眼睛三者在 同一條直線上，測出觀測者距標(biāo)桿底端的距離FD和距旗桿底部的距離FB;(3)根據(jù)CG 空，求得AH的長，再加 AH EH上EF的長即為旗桿 AB的高度。下Z依據(jù)：如圖，過點(diǎn) E作EH/一 、-VLAB于點(diǎn)H,交CD于點(diǎn)G/丸十一 11y_ CD/ AB / ECGh EAH/ CEGh AEH EC莊 EAH_CD EG AH EH EG=FD,EH=FB,CG=CD-GD

20、=CD-EF, 且 FD, FB,CD,EF 可測可求AH的長度AB=AH+HB=AH+EF知識(shí)點(diǎn)3、利用鏡子的反射桿測量旗桿的高度工具：皮尺、鏡子步驟：(1)在觀測者與旗桿之間放一面鏡子，在鏡 子上做一個(gè)標(biāo)記；(2)測出觀測者眼睛到地面的距離；(3)觀測者看著鏡子來回移動(dòng)，直至看到旗桿頂端 在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合，此時(shí)測出鏡子上標(biāo) 記。到人腳底D的距離OD及鏡子上的標(biāo)記。到旗桿底 部的距離OB;(4)把測得的數(shù)據(jù)代入CD OD,即可求得旗桿AB OB的高度AR依據(jù)：在 CODW4AOB中/ CODW AOB / CDO= ABO=90.CO' AOBCD ODAB OBCD,

21、OD,OB皆可測得AB可求。第六節(jié)相似三角形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1、相似三角形的性質(zhì)：1、相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；2、相似三角形的對應(yīng)高之比、對應(yīng)角平分線之比、對應(yīng)中線之比都等于相似比；3、相似三角形的周長比等于相似比；4、相似三角形的面積比等于相似比的平方。注意：1、相似三角形的面積比等于相似比的平方，在 計(jì)算時(shí)平方切記不可忘；2 、性質(zhì)中的高、中線、角平分線必須是對應(yīng)邊上的，要對應(yīng)；3 、面積比是相似比的平方切記不可與等底或等高的兩個(gè)三角形面積比等于高或底之比想混淆。提示：以上性質(zhì)為我們的推理與計(jì)算帶來了方便，可直 接利用其求角、線段、周長、面積等，也可以證明角相 等、線段成比例等。

22、知識(shí)點(diǎn)2、相似多邊形的性質(zhì)：1、相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；2、相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似 比的平方；3、相似多邊形對應(yīng)對角線的比等于相似比；4、相似多邊形被對角線分成的對應(yīng)三角形相似，其相似比等于相似多邊形的相似比。第七節(jié)圖形的位似知識(shí)點(diǎn)1、位似多邊形的概念：如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對應(yīng)頂點(diǎn)P, P'所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)O,且有 OP =k - OP(kw0),那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)。叫做位似中心，k就是相似比。例如下圖：知識(shí)點(diǎn)2、位似多邊形的性質(zhì)：1、位似多邊形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比；2、位似多邊形上對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；3、位似多邊形上的對應(yīng)線段平行或在同一條直線上；4、位似多邊形