小學(xué)奧數(shù)：完全平方數(shù)及應(yīng)用(二).專項(xiàng)練習(xí)及答案解析

1、1. 學(xué)習(xí)完全平方數(shù)的性質(zhì)；2. 整理完全平方數(shù)的一些推論及推論過程3. 掌握完全平方數(shù)的綜合運(yùn)用。知識(shí)點(diǎn)撥一、完全平方數(shù)常用性質(zhì)1. 主要性質(zhì)1. 完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是 0，1，4，5，6， 9。不可能是 2，3，7，8。2. 在兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3. 完全平方數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。4. 若質(zhì)數(shù) p整除完全平方數(shù) a2，則 p能被 a 整除。2. 性質(zhì)性質(zhì) 1：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是 0，1，4， 5，6，9性質(zhì) 2：完全平方數(shù)被 3，4， 5，8，16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù)性質(zhì) 3：自然數(shù) N為完全平方數(shù)自然數(shù) N約數(shù)

2、的個(gè)數(shù)為奇數(shù) 因?yàn)橥耆椒綌?shù)的質(zhì)因數(shù)分解中每個(gè)質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)次，所以，如果p是質(zhì)數(shù)， n是自然數(shù)， N是完全平方數(shù)，且 p2n 1|N ，則 p2n|N 性質(zhì) 4：完全平方數(shù)的個(gè)位是 6 它的十位是奇數(shù)性質(zhì) 5：如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位是 0，則它后面連續(xù)的 0的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)如果一個(gè)完 全平方數(shù)的個(gè)位是 5，則其十位一 定是 2，且其百位一 定是 0，2，6中的一個(gè)性質(zhì) 6：如果一個(gè)自然數(shù)介于兩個(gè)連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù)3. 一些重要的推論1. 任何偶數(shù)的平方一定能被 4整除；任何奇數(shù)的平方被 4（或 8）除余 1.即被 4除余 2或 3 的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。2

3、. 一個(gè)完全平方數(shù)被 3除的余數(shù)是 0或1.即被 3除余 2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。3. 自然數(shù)的平方末兩位只有： 00，01， 21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29， 49， 69，89，16，36，56，76，96。4. 完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)（ 1， 5，9）時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5. 完全平方數(shù)個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（ 0， 4）時(shí)，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6. 完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字為 6 時(shí)，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7. 凡個(gè)位數(shù)字是 5但末兩位數(shù)字不是 25 的自然數(shù)不是完全平方數(shù)； 末尾只有奇數(shù)個(gè) “0”的 自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個(gè)位數(shù)字為1，4，9

4、 而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。3. 重點(diǎn)公式回顧： 平方差公式： a2 b2 （a b）（a b）例題精講模塊一、平方差公式運(yùn)用【例 1 】 將兩個(gè)自然數(shù)的差乘上它們的積，能否得到數(shù)45045？考點(diǎn)】平方差公式運(yùn)用 【難度】 2 星 【題型】解答解 析 】 設(shè) 這兩個(gè)數(shù)分別是 a 和 b，那么有 ab( a- b)=45045, 分析奇偶性可知這是不可能的。 因此不可能得到 45045 。答案】不能得到這樣的數(shù)例 2 】 一個(gè)數(shù)減去 100是一個(gè)平方數(shù)，減去 63也是一個(gè)平方數(shù)，問這個(gè)數(shù)是多少？考點(diǎn)】平方差公式運(yùn)用【難度】2星【題型】解答解析】設(shè)這個(gè)數(shù)減去63為 A2減 去 100

5、為 B2 ， 則A2B 2 A BAB10063 37 371，可知 AB 37 ，且 AB 1 ，所以A 19， B18，這樣這個(gè)數(shù)為2182 100 424 【答案】 424【鞏固】能否找到這么一個(gè)數(shù)，它加上 24，和減去 30 所得的兩個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)？ 【考點(diǎn)】平方差公式運(yùn)用 【難度】 3 星 【題型】解答 【解析】假設(shè)能找到，設(shè)這兩個(gè)完全平方數(shù)分別為A2、 B 2 ，那么這兩個(gè)完全平方數(shù)的差為54 A B A B ，由于 A B 和 A B 的奇偶性質(zhì)相同，所以 A B A B 不是 4 的倍數(shù)，就是奇數(shù)，不可能是像 54 這樣是偶數(shù)但不是 4 的倍數(shù)所以 54 不可能等于兩個(gè)平

6、方數(shù)的差，那么題中所說的數(shù)是找不到的【答案】不存在這樣的數(shù)【鞏固】能否找到這么一個(gè)數(shù)，它加上 24，和減去 30 所得的兩個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)？ 【考點(diǎn)】平方差公式運(yùn)用 【難度】 3 星 【題型】解答 【解析】假設(shè)能找到，設(shè)這兩個(gè)完全平方數(shù)分別為A2、 B 2 ，那么這兩個(gè)完全平方數(shù)的差為54 A B A B ，由于 A B 和 A B 的奇偶性質(zhì)相同， 所以 A B A B 不是 4 的倍數(shù)，就是奇數(shù)，所以 54不可能等于兩個(gè)平方數(shù)的差，所以這樣的數(shù)找 不到【答案】不存在這樣的數(shù)【鞏固】一個(gè)正整數(shù)加上 132和 231后都等于完全平方數(shù)，求這個(gè)正整數(shù)是多少？ 【考點(diǎn)】平方差公式運(yùn)用 【難度】

7、3 星 【題型】解答【解析】設(shè)該 正整 數(shù)為 a，根據(jù)題意得 a 132 m2 ， a 231 n2 兩式 相減 得 n m n m 99,注意到 n m和 n m的奇偶性相同，都是奇數(shù)因?yàn)?99 99 1 33 3 11 9，所以 n m 99， n m 1或 n m 33， n m 3或 n m 11， n m 9解得 n 50，m 49或 n 18， m 15或 n 10， m 1， 但 是 n 10 ， m 1 不 符 合 是 正 整 數(shù)的 條 件 因 此 a 492 132 2269 ， 或 者 2152 132 97 所以這個(gè)正整數(shù)是 2269 或 97 【答案】 2269 或 9

8、7【例 3 】 兩個(gè)完全平方數(shù)的差為 77，則這兩個(gè)完全平方數(shù)的和最大是多少？最小是多少？ 【考點(diǎn)】平方差公式運(yùn)用 【難度】 3 星 【題型】解答 【解析】設(shè)這兩個(gè)完全平方數(shù)分別是 A2和 B2，且 A2 B2 77 ，則兩個(gè)完全平方數(shù)的和可 以表示為 77 2B2，所以 B越大，平 方和越大， B越小，平方 和越小，而 A B A B 77，77 7 11 1 77，當(dāng)A B 77，A B 1時(shí)， B取得最大 值 38 ，此時(shí)兩個(gè)完全平方數(shù)的和最大， 為 2965；當(dāng) A B 11， A B 7 時(shí)， B 取 得最小值 2，此時(shí)兩個(gè)完全平方數(shù)的和最小，為85【答案】最小 85，最大 2965

9、【例 4 】 三個(gè)自然數(shù)， 它們都是完全平方數(shù)， 最大的數(shù)減去第二大的數(shù)的差為80，第二大的數(shù)減去最小的數(shù)的差為 60 ，求這三個(gè)數(shù) 考點(diǎn)】平方差公式運(yùn)用 【難度】 3 星 【題型】解答 解析】設(shè)這三個(gè)數(shù)從大到小分別為 A2、 B2、 C2 ，那么有 A B A B 80 ，A C A C 140 ，因?yàn)?140 2 2 5 7， A C、A C同奇同偶，所以有A C 14，A C 10或A C 70，A C 2 ，分別解得 A 12，C 2和 A 36， C 34，對(duì)于后者沒有滿足條件的 B，所以 A只能等于 12，C 2 ，繼而求得 B 8 ， 所以這三個(gè)數(shù)分別為 122 =144、 82

10、 =64 、 22=4答案】三個(gè)數(shù)分別為 144 、 64 、 4【例 5 】 有兩個(gè)兩位數(shù)， 它們的差是 14 ，將它們分別平方， 得到的兩個(gè)平方數(shù)的末兩位數(shù) （個(gè)位數(shù)和十位數(shù) ） 相同，那么這兩個(gè)兩位數(shù)是（請(qǐng)寫出所有可能的答案）【考點(diǎn)】平方差公式運(yùn)用【難度】 4 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】 2008 年，清華附中【解析】設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)中較小的那個(gè)為 n ，則另外一個(gè)為 n 14 ，由題知，（n 14）2 n2 100k （ k為正整數(shù) ），即7 n 7 25k ，由于 7,25 1，所以 25 n 7 ，由 于n與n 14均為兩位數(shù)， 所以17 n 7 92，故n 7可能為 25、50或者

11、 75，n可能為 18、 43 或者 68經(jīng)檢驗(yàn)， n 18、43、68 均符合題意，所以這兩個(gè)兩位數(shù)為18、32，或者 43、57，或者 68、 82【答案】這兩個(gè)兩位數(shù)為 18、32，或者 43、57，或者 68、 82【例 6】 A是一個(gè)兩位數(shù)，它的 6 倍是一個(gè)三位數(shù) B，如果把 B放在 A的左邊或者右邊得 到兩個(gè)不同的五位數(shù)，并且這兩個(gè)五位數(shù)的差是一個(gè)完全平方數(shù) （整數(shù)的平方 ） ， 那么 A 的所有可能取值之和為【考點(diǎn)】平方差公式運(yùn)用【難度】 4 星 【題型】填空【解析】如果把 B 放在 A 的左邊，得到的五位數(shù)為 100B A 601A ；如果把 B 放在 A的右 邊，得到的五位

12、數(shù)為 1000A B 1006A ；這兩個(gè)數(shù)的差為 1006A 601A 405A ， 是一個(gè)完全平方數(shù)，而 405 92 5，所以 A是 5與一個(gè)完全平方數(shù)的乘積 A又是 一個(gè)兩位數(shù)，所以可以為 5 22 、 5 32 、 5 42 ， A 的所有可能取值之和為 2225 22 5 32 5 42 145 【答案】 145例 7 】 一個(gè)自然數(shù)與自身相乘的結(jié)果稱為完全平方數(shù)已知一個(gè)完全平方數(shù)是四位數(shù)， 且各位數(shù)字均小于 7如果把組成它的數(shù)字都加上 3，便得到另外一個(gè)完全平方 數(shù)，求原來的四位數(shù)考點(diǎn)】平方差公式運(yùn)用 【難度】 2 星 【題型】解答【解 析】設(shè)這個(gè)四位數(shù)為 abcd m2 ，由于

13、其各位數(shù)字都小于 7，所以每位數(shù)字都加 3，沒有發(fā)生進(jìn)位，故2(a 3)(b 3)(c 3)(d 3) n2 23由 得： 3333 n2 m3 (nm)(n m) 將 3333 分解質(zhì)因數(shù)，有 3333 3 11101，其有 11 1 1 118 個(gè)約數(shù)，但是有n m n m ，所以只有 4種可能，即3333 1 33333 1111 1130333 101由于 m2 abcd 1000 ，故 m 30 ，所以 n mn m 2m60；又 n2 (a 3)(b 3)(c 3)(d 3) 10000 ，所以 n100 ，故 nmnm2n200一一檢驗(yàn)，只有 33 101滿足 101 3360且

14、 101 33200 ，所以 nm101， nm33，得 m 34，原來的四位數(shù)為 342 1156 【答案】 1156模塊二、完全平方數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用例 8】 如果 +=a ， - =b，×考點(diǎn)】完全平方數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用 關(guān)鍵詞】迎春杯，三年級(jí)，初賽，第 5 題 解析】根據(jù)題意，a 2，b 0 ，c 2 ，d則 1 10， 9 .答案】 9=c，÷ =d， a+b+c+d=100 ，那么，【難度】 3 星 【題型】填空1，a b c d 2 2 1 ( 1) 2 100 ，已知 ABCA 是一個(gè)四位數(shù)， 若兩位數(shù) AB 是一個(gè)質(zhì)數(shù)，BC 是一個(gè)完全平方數(shù)，

15、CA是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)不為 1 的完全平方數(shù)之積，則滿足條件的所有四位數(shù)是考點(diǎn)】完全平方數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用 【難度】 3 星 【題型】填空 解析】本題綜合利用數(shù)論知識(shí)，因?yàn)?AB 是一個(gè)質(zhì)數(shù)，所以 B不能為偶數(shù)，且同時(shí) BC 是 一個(gè)完全平方數(shù)， 則符合條件的數(shù)僅有 16和 36，所以可以確定 B為 1或 3，C 6 由 于 CA 是一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)不為 1 的完全平方數(shù)之積，在 61 69 中只有 63 和 68 符 合條件，那么 A為 3 或 8那么 AB 可能為 31，33，81，83，其中是質(zhì)數(shù)的有 31 和 83，所以滿足條件的四位數(shù)有 3163 和 8368 答案】 3163 和

16、 8368例 10 】稱能表示成 1 2 3 L k的形式的自然數(shù)為三角數(shù)有一個(gè)四位數(shù) N ，它既是難度】 4 星題型】填空三角數(shù)，又是完全平方數(shù)則 N考點(diǎn)】完全平方數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用關(guān)鍵詞】 2007 年， 走美解 析 】 依 題有 1 2 3 Lk a2，即 k(k 1) 2a2 因?yàn)?k 與 k 1是兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中必有一個(gè)奇數(shù)，有奇數(shù)相鄰偶數(shù) a2 又由相鄰自然數(shù)互質(zhì)知， “奇數(shù)”與2相鄰偶數(shù)2也互質(zhì)，于是奇數(shù)2 相鄰偶數(shù) m，22n2 ( a m數(shù)，有 32 當(dāng) m 7 時(shí)， m2a 99，即 32 m n 99，又 m2與 2n2相鄰，有 7249 ，相鄰偶數(shù)為 50時(shí)，

17、 n 5滿足條件，這時(shí) a2n)，而 a2為四位 m 12 2(7 5)2 1225 ，即1225；當(dāng)m 9時(shí)， m2 81 ，相鄰偶數(shù)為 80 和 82都不滿足條件；2當(dāng) m 11 時(shí)， m2 121，相鄰偶數(shù)為 120 和 122 都不滿足條件 所以， N 1225 答案】 1225例 11 】自然數(shù)的平方按大小排成 1，4，9，16，25，36，49，問：第 612 個(gè)位置的 數(shù)字是幾？考點(diǎn)】完全平方數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用 【難度】 4 星 【題型】解答 解析】1到 3的平方是一位數(shù)，占去 3個(gè)位置；4到 9的平方是二位數(shù)，占去 12個(gè)位置；10到 31 的平方是三位數(shù)，占去 66個(gè)位

18、置；32到 99 的平方是四位數(shù)，占去 272 個(gè)位置；將 1到 99 的平方排成一行，就占去 353個(gè)位置，從 612 減去 353，還有 259個(gè)位置 從 100 到 300的平方都是五位數(shù)， 因此，第 612 個(gè)位置一定是其中某個(gè)數(shù)的平方中的一個(gè)數(shù)字因?yàn)?259 51 5 4，即從 100 起到 150，共 51 個(gè)數(shù)，它們的平方都是五位數(shù)，要占去255個(gè)位置，而 151 151 22701，它的第 4 個(gè)數(shù)字是 0，所以第 612 個(gè)位置的數(shù)字是 0 【答案】 0149162536，則從題型】填空鞏固】不是零的自然數(shù)的平方按照從小到大的順序接連排列，是： 左向右的第 l6 個(gè)數(shù)字是 考

19、點(diǎn)】完全平方數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用 【難度】 3 星 關(guān)鍵詞】希望杯， 4 年級(jí)，初賽， 11 題解析】 通 過列舉可得 1。答案】 1例 12 】 由 26 12 52 12 32 42 ，可以斷定 26最多能表示為 3個(gè)互不相等的非零自然數(shù) 的平方和，請(qǐng)你判定 200 最多能表示為 個(gè)互不相等的非零自然數(shù)的平方之和考點(diǎn)】完全平方數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用 【難度】 4 星 【題型】填空 解析】12 22 L 82 204>200 ，所以 200不能表示成 8個(gè)互不相等的非零自然數(shù)的平 方之和，而 204 22 200 ，所以 200可以表示成 7 個(gè)互不相等的非零自然數(shù)的平 方之和，所以 200最多能表示為 7 個(gè)互不相等的非零自然數(shù)的平方之和答案】 7例 13】有 4 個(gè)不同的數(shù)字共可組成 18個(gè)不同的 4 位數(shù)將這 18個(gè)不同的 4 位數(shù)由小到 大排成一排，其中第一個(gè)是一個(gè)完全平方數(shù)，倒數(shù)第二個(gè)也是完全平方數(shù)那么這 18 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是：考點(diǎn)】完全平方數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用難度】 4 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級(jí) , 初賽，第 12 題【解 析】一般而言， 4 個(gè)不同的數(shù)字共可組成 P43 24 （個(gè)）不同的 4 位數(shù)如果只能組成 18 個(gè)不同的 4 位數(shù)，說明其中必有