高等數(shù)學(xué)課件：1 多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念與性質(zhì)

1、2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系1多元數(shù)量值函數(shù)積分的多元數(shù)量值函數(shù)積分的概念與性質(zhì)概念與性質(zhì)問題的提出二重積分的概念2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系2一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分重積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系3將定積分概念加以推廣到多元函數(shù)將定積分概念加以推廣到多元函數(shù)重積分重積分 域域積積分分區(qū)區(qū)域域?yàn)闉榭湛臻g間中中一一區(qū)區(qū)域域積積分分區(qū)區(qū)域域?yàn)闉槠狡矫婷嫔仙弦灰粎^(qū)區(qū)),(),(zyxfuyxfzy=f(x) 積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間重積分與定積分區(qū)別在于被積函數(shù)中自變量

2、重積分與定積分區(qū)別在于被積函數(shù)中自變量個(gè)數(shù)與積分區(qū)域個(gè)數(shù)與積分區(qū)域這這就就是是重重積積分分的的概概念念 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系4柱體體積柱體體積=底面積底面積高高特點(diǎn)特點(diǎn)：平頂：平頂.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積一、問題的提出2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系5柱體體積柱體體積=？特點(diǎn)特點(diǎn)：曲頂：曲頂.上上連連續(xù)續(xù)且且在在頂頂是是曲曲面面軸軸的的柱柱面面而而母母線線平平行行的的邊邊界界為為準(zhǔn)準(zhǔn)線線面面是是以以側(cè)側(cè)為為底底的的有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域面面上上以以曲曲頂頂柱柱體體指指DyxfzzDDxoy)0(),(:,: oxyzDz=f(x,y)2007年8月南

3、京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系6播放播放 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系7步驟如下：步驟如下：用若干個(gè)小平用若干個(gè)小平頂柱體體積之頂柱體體積之和近似表示曲和近似表示曲頂柱體的體積，頂柱體的體積，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲頂柱體的底，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，并取典型小區(qū)域，.),(lim10iiniifV 曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系8D),(yxfz 1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D

4、為 n 個(gè)區(qū)域n,21以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個(gè)2)“常代變”在每個(gè)k, ),(kk3)“近似和”nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體k),(kk2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系94)“取極限”的直徑為定義kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系102. 平面薄片的質(zhì)量平面薄片的質(zhì)量 有一個(gè)平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,),(Cyx計(jì)算該薄片的質(zhì)量 M .度為),(

5、),(常數(shù)若yx設(shè)D 的面積為 , 則M若),(yx非常數(shù) , 仍可用其面密 “大化小, 常代變,近似和, 求 極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個(gè)小區(qū)域,21n相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .Dyx2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系112)“常代變”中任取一點(diǎn)k在每個(gè)),(kk3)“近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取極限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk則第 k 小塊的質(zhì)量yx2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系12兩個(gè)問題的共性共性：(1) 解決問題的步驟相同(2) 所求量的結(jié)構(gòu)式

6、相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系13定義定義 設(shè)設(shè)),(yxf是有界閉區(qū)域是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，上的有界函數(shù)，將 閉 區(qū) 域?qū)?閉 區(qū) 域 D 任 意 分 成任 意 分 成n個(gè) 小 閉 區(qū) 域個(gè) 小 閉 區(qū) 域1 ，,2 ，n ，其中，其中i 表示第表示第i個(gè)小閉區(qū)域，個(gè)小閉區(qū)域，也表示它也表示它的面積， 在每個(gè)的面積， 在每個(gè)i 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)),(ii ， 作乘積作乘積 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ， 并作和并作和

7、 iiniif ),(1， 二、二重積分的概念2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系14如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨近于零趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域 D D 上的上的二重積分二重積分，記為記為 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系15(1) 在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的任意的. 注 的的選選取取也也是是任任意意的的。點(diǎn)點(diǎn)，

8、ii 2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系16 (2) 在直角坐標(biāo)系下用平在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域分區(qū)域D， DDdxdyyxfdyxf),(),(dxdyd 故二重積分可寫為故二重積分可寫為xyo則面積元素為則面積元素為2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系17注(3)當(dāng)當(dāng)),(yxf在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，定義中和式在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在的極限必存在，即二重積分必存在. (4) 二重積分的幾何意義曲曲頂頂柱柱體體體體積積當(dāng)當(dāng) Ddyxfyxf ),(0),(.),(,),(柱柱體體體體積積的的代代數(shù)

9、數(shù)和和若若干干部部分分為為負(fù)負(fù)在在若若干干部部分分為為正正上上，當(dāng)當(dāng)在在 DdyxfyxfD 曲頂柱體體積的負(fù)值曲頂柱體體積的負(fù)值當(dāng)當(dāng) Ddyxfyxf ),(0),(2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系18性質(zhì)性質(zhì)當(dāng)當(dāng) 為常數(shù)時(shí)為常數(shù)時(shí)，k.),(),( DDdyxfkdyxkf 性質(zhì)性質(zhì) Ddyxgyxf ),(),(.),(),( DDdyxgdyxf （二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系19性質(zhì)性質(zhì)對區(qū)域具有可加性對區(qū)域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf

10、 性質(zhì)性質(zhì) 若若 為為D的面積，的面積，.1 DDdd 性質(zhì)性質(zhì) 若在若在D上上),(),(yxgyxf .),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf )(21DDD 則有則有2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系20 設(shè)設(shè)M、m分分別別是是),(yxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 為為 D 的的面面積積，則則性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分中值定理） DMdyxfm),( ),(),(fdyxfD（二重積分估值不等式）（二重積分估值不等式）2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系21例例 1

11、 1 不不作作計(jì)計(jì)算算，估估計(jì)計(jì) deIDyx )(22的的值值， 其其中中D是是橢橢圓圓閉閉區(qū)區(qū)域域： 12222 byax )0(ab .在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性質(zhì)質(zhì) 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 區(qū)區(qū)域域 D的的面面積積 , ab2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系22例例 2 2 估估計(jì)計(jì) DxyyxdI16222 的的值值，其其中中 D： 20, 10 yx.區(qū)域面積區(qū)域面積2 ,16)(1),(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的的最最小

12、小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 I. 5 . 04 . 0 I解解2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系23例例 3 3 判斷判斷 122)ln(yxrdxdyyx的符號的符號.當(dāng)當(dāng)1 yxr時(shí)時(shí), 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又當(dāng)當(dāng) 1 yx時(shí)時(shí), 0)ln(22 yx于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系24例例 4 4 比較積分比較積分 Ddyx )ln(與與 Ddyx 2)ln(的大小的大小, 其中其中 D 是三角形閉區(qū)域是三角形閉區(qū)域, 三頂點(diǎn)各為三頂點(diǎn)各為(1,0)

13、,(1,1), (2,0).解解三三角角形形斜斜邊邊方方程程2 yx在在 D 內(nèi)內(nèi)有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系25二重積分的定義二重積分的定義二重積分的性質(zhì)二重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（曲頂柱體的體積）（和式的極限）（和式的極限）四、小結(jié)2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系26思考題思考題 將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處

14、與不同之處找出它們的相同之處與不同之處.2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系27 定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)上的二元函數(shù)思考題解答思考題解答2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系28一、一、 填空題填空題:

15、:1 1、 當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)),(yxf在閉區(qū)域在閉區(qū)域D上上_時(shí)時(shí), ,則其在則其在D上的二重積分必定存在上的二重積分必定存在 . .2 2、 二 重 積 分二 重 積 分 Ddyxf ),(的 幾 何 意 義 是的 幾 何 意 義 是_._.3 3、 若若),(yxf在 有 界 閉 區(qū) 域在 有 界 閉 區(qū) 域D上 可 積上 可 積 , , 且且21DDD , ,當(dāng)當(dāng)0),( yxf時(shí)時(shí), , 則則 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf ; ; 當(dāng)當(dāng)0),( yxf時(shí)時(shí), , 則則 1),(Ddyxf _ 2),(Ddyxf . .練練 習(xí)習(xí) 題題2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院

16、數(shù)學(xué)系294 4、 Ddyx )sin(22_ , ,其中其中 是圓域是圓域 2224 yx的面積的面積 , , 16. .二、二、 利用二重積分定義證明利用二重積分定義證明: : DDdyxfkdyxkf ),(),(.(.(其中其中k為常數(shù)為常數(shù)) )三、三、 比較下列積分的大小比較下列積分的大小: : 1 1、 DDdyxdyx 322)()(與與, ,其中其中D是由圓是由圓 2)1()2(22 yx所圍成所圍成 . . 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(與與, ,其中其中D是矩形是矩形 閉區(qū)域閉區(qū)域: :10 , 53 yx . .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系

17、30四四、估估計(jì)計(jì)積積分分 DdyxI )94(22的的值值, ,其其中中D是是圓圓 形形區(qū)區(qū)域域: :422 yx . .2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系31一、一、1 1、連續(xù)；、連續(xù)；2 2、以、以),(yxfz 為曲頂為曲頂, ,以以D為底的曲頂柱體體積為底的曲頂柱體體積 的代數(shù)和；的代數(shù)和； 3 3、,； 4 4、 . .三、三、1 1、 DDdyxdyx 32)()(； 2 2、 dyxdyxD2)ln()ln(. .四、四、 100)94(3622dyx. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系32 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系33 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示的方法，如下動(dòng)畫演示2007年8月南京航空航天大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系34 求曲頂柱體的體積采用求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和分割、求和、取極限、取極限”的方法