六年級(jí)奧林匹克數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程 15 棋盤的覆蓋 試題

1、小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)基礎(chǔ)教程 棋盤的覆蓋同學(xué)們會(huì)下棋嗎？下棋就要有棋盤，下面是中國(guó)象棋的棋盤（圖1），圍棋棋盤（圖2）和國(guó)際象棋棋盤（圖3）。用某種形狀的卡片，按一定要求將棋盤覆蓋住，就是棋盤的覆蓋問題。實(shí)際上，這里并不要求一定是某種棋盤，只要是有關(guān)覆蓋若干行、若干列的方格網(wǎng)的問題，就是棋盤的覆蓋問題。棋盤的覆蓋問題可以分為兩類：一是能不能覆蓋的問題，二是有多少種不同的覆蓋方法問題。例1 要不重疊地剛好覆蓋住一個(gè)正方形，最少要用多少個(gè)右圖所示的圖形？分析與解：因?yàn)閳D形由3個(gè)小方格構(gòu)成，所以要拼成的正方形內(nèi)所含的小方格數(shù)應(yīng)是3的倍數(shù)，從而正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是3的倍數(shù)。經(jīng)試驗(yàn)，不可能拼成邊長(zhǎng)為3的正方形。所以

2、拼成的正方形的邊長(zhǎng)最少是6（見右圖），需要用題目所示的圖形36÷3= 12（個(gè)）。分析與解：在五年級(jí)學(xué)習(xí)“奇偶性”時(shí)已經(jīng)講過類似問題。左上圖共有34個(gè)小方格，17個(gè)1×2的卡片也有34個(gè)小方格，好象能覆蓋住。我們將左上圖黑白相間染色，得到右上圖。細(xì)心觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)，右上圖中黑格有16個(gè)，白格有18個(gè)，而1×2的卡片每次只能蓋住一個(gè)黑格與一個(gè)白格，所以17個(gè)1×2的卡片應(yīng)當(dāng)蓋住黑、白格各17個(gè)，不可能蓋住左上圖。例3 下圖的七種圖形都是由4個(gè)相同的小方格組成的?，F(xiàn)在要用這些圖形拼成一個(gè)4×7的長(zhǎng)方形（可以重復(fù)使用某些圖形），那么，最多可以用上幾種不同

3、的圖形？分析與解：先從簡(jiǎn)單的情形開始考慮。顯然，只用1種圖形是可以的，例如用7個(gè)（7）；用2種圖形也沒問題，例如用1個(gè)（7），6個(gè)（1）。經(jīng)試驗(yàn)，用6種圖形也可以拼成4×7的長(zhǎng)方形（見下圖）。能否將7種圖形都用上呢？7個(gè)圖形共有4×7=28（個(gè)）小方格，從小方格的數(shù)量看，如果每種圖形用1個(gè)，那么有可能拼成4×7的長(zhǎng)方形。但事實(shí)上卻拼不成。為了說明，我們將4×7的長(zhǎng)方形黑、白相間染色（見右圖），圖中黑、白格各有14個(gè)。在7種圖形中，除第（2）種外，每種圖形都覆蓋黑、白格各2個(gè)，共覆蓋黑、白格各12個(gè)，還剩下黑、白格各2個(gè)。第（2）種圖形只能覆蓋3個(gè)黑格1個(gè)

4、白格或3個(gè)白格1個(gè)黑格，因此不可能覆蓋住另6種圖形覆蓋后剩下的2個(gè)黑格2個(gè)白格。綜上所述，要拼成 4×7的長(zhǎng)方形，最多能用上 6種圖形。例4 用1×1，2×2，3×3的小正方形拼成一個(gè)11×11的大正方形，最少要用1×1的正方形多少個(gè)？分析與解：用3個(gè)2×2正方形和2個(gè)3×3正方形可以拼成1個(gè)5×6的長(zhǎng)方形（見左下圖）。用4個(gè)5×6的長(zhǎng)方形和1 個(gè) 1×1的正方形可以拼成 1個(gè)11×11的大正形（見右下圖）。上面說明用1個(gè)1×1的正方形和若干2×2，3&#

5、215;3的正方形可以拼成 11×11的大正方形。那么，不用1×1的正方形，只用2×2，3×3的正方形可以拼成11×11的正方形嗎？將11×11的方格網(wǎng)每隔兩行染黑一行（見下頁右上圖）。將2×2或3×3的正方形沿格線放置在任何位置，都將覆蓋住偶數(shù)個(gè)白格，所以無論放置多少個(gè)2×2或3×3的正方形，覆蓋住的白格數(shù)量總是偶數(shù)個(gè)。但是，右圖中的白格有11×7=77（個(gè)），是奇數(shù)，矛盾。由此得到，不用1×1的正方形不可能拼成11×11的正方形。綜上所述，要拼成11×

6、11的正方形，至少要用1個(gè)1×1的小正方形。例5 用七個(gè)1×2的小長(zhǎng)方形覆蓋下圖，共有多少種不同的覆蓋方法？分析與解：盲目無章的試驗(yàn)，很難搞清楚。我們采用分類討論的方法。如下圖所示，蓋住a所在的小格只有兩種情況，其中左下圖中兩個(gè)小長(zhǎng)方形只能如圖覆蓋，其余部分有4種覆蓋方法：右下圖中三個(gè)小長(zhǎng)方形只能如圖覆蓋，其余部分有3種覆蓋方法。所以，共有7種不同覆蓋方法。例6 有許多邊長(zhǎng)為1厘米、2厘米、3厘米的正方形硬紙片。用這些硬紙片拼成一個(gè)長(zhǎng)5厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形的紙板，共有多少種不同的拼法？（通過旋轉(zhuǎn)及翻轉(zhuǎn)能相互得到的拼法認(rèn)為是相同的拼法）解：有一個(gè)邊長(zhǎng)3厘米紙片有如下3種拼法

7、：有兩個(gè)邊長(zhǎng)2厘米紙片的有如下4種拼法：有一個(gè)邊長(zhǎng)2厘米及11個(gè)邊長(zhǎng)1厘米紙片的有2種拼法，邊長(zhǎng)全是1 厘米紙片的有1種拼法。共有不同的拼法342+1=10（種）。答：共有10種不同的拼法。練習(xí)15在不重疊的情形下，不能再在正方形中多放一個(gè)這樣的卡片？（要求卡片的邊緣與格線重合）4.小明有8張連在一起的電影票（如右圖），他自己要留下4張連在一起的票，其余的送給別人。他留下的四張票可以有多少種不同情況？5.有若干個(gè)邊長(zhǎng)為1、邊長(zhǎng)為2、邊長(zhǎng)為3的小正方形，從中選出一些拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的大正方形，共有多少種不同拼法？（只要選擇的各種小正方形的數(shù)目相同就算相同的拼法）7.能不能用9個(gè)1×4的

8、長(zhǎng)方形卡片拼成一個(gè)6×6的正方形？答案與提示練習(xí)151.3個(gè)。提示：左下圖是一種放法。2.圖（2）。提示：圖（1）的小方格數(shù)不是3的倍數(shù)；圖（3）的小方格數(shù)是3的倍數(shù)但拼不成；圖（2）的拼法見右上圖。3.不能。提示：右圖中黑、白格各18個(gè)，每張卡片蓋住的黑格數(shù)是奇數(shù)，9張卡片蓋住的黑格數(shù)之和仍是奇數(shù)，不可能蓋住18個(gè)黑格。4.25種。提示：形如圖（a）（b）（c）（d）的依次有3，10，6，6種。5.6種。解：用小正方形拼成邊長(zhǎng)為4的大正方形有6種情形：（1）1個(gè)3×3，7個(gè)1×1；（2）1個(gè)2×2，12個(gè)1×1；（3）2個(gè)2×2，8個(gè)1×1；（4）3個(gè)2×2，4個(gè)1×1；（5）4個(gè)2×2；（6）16個(gè)1×1。6.5種。提示：蓋住a有下圖所示的5種方法，其中左下圖所示的3種都無法覆蓋；下中圖中，放好后，左