高中數(shù)學(xué) 1.1.1《函數(shù)的平均變化率》同步測(cè)試 新人教B版選修2-2

1、函數(shù)的平均變化率第1題. 2007海南、寧夏文)設(shè)函數(shù)（）討論的單調(diào)性；（）求在區(qū)間的最大值和最小值答案：解：的定義域?yàn)椋ǎ┊?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而，分別在區(qū)間，單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少（）由（）知在區(qū)間的最小值為又所以在區(qū)間的最大值為第2題. （2002海南、寧夏理）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）答案：第3題. （2007海南、寧夏理）設(shè)函數(shù)（I）若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于答案：解：（），依題意有，故從而的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，從而，分別在區(qū)間單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少（）的定義域?yàn)?，方程的判別式

2、（）若，即，在的定義域內(nèi)，故無(wú)極值（）若，則或若，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以無(wú)極值若，也無(wú)極值（）若，即或，則有兩個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，從而在的定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故無(wú)極值當(dāng)時(shí)，在的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由極值判別方法知在取得極值綜上，存在極值時(shí)，的取值范圍為的極值之和為第4題. （2007湖南理）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 答案：第5題. (2007湖南文)已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)（I）求的最大值；（II）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)處穿過(guò)函數(shù)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式答案：解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個(gè)極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一

3、個(gè)實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為（），則，且于是，且當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立故的最大值是16（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是，即，因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過(guò)的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)，則不是的極值點(diǎn)而，且若，則和都是的極值點(diǎn)所以，即又由，得故解法二：同解法一得因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過(guò)的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號(hào)于是存在（）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；或當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由知是的一個(gè)極值點(diǎn)，則所以又由，得，故第6題. (2007江蘇)已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則_答案：第7題. (2007江西理)設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，則是的（）充分不必要條件必要不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條

4、件答案：B第8題. （全國(guó)卷I理）設(shè)函數(shù)（）證明：的導(dǎo)數(shù)；（）若對(duì)所有都有，求的取值范圍答案：解：（）的導(dǎo)數(shù)由于，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）（）令，則，（）若，當(dāng)時(shí)，故在上為增函數(shù)，所以，時(shí)，即（）若，方程的正根為，此時(shí)，若，則，故在該區(qū)間為減函數(shù)所以，時(shí)，即，與題設(shè)相矛盾綜上，滿足條件的的取值范圍是第9題. (2007全國(guó)I文)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為（）答案：A第10題. (2007全國(guó)I文)設(shè)函數(shù)在及時(shí)取得極值（）求a、b的值；（）若對(duì)于任意的，都有成立，求c的取值范圍答案：（），因?yàn)楹瘮?shù)在及取得極值，則有，即解得，（）由（）可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，取得

5、極大值，又，則當(dāng)時(shí)，的最大值為因?yàn)閷?duì)于任意的，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范圍為第11題. (2007全國(guó)II理)已知函數(shù)（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，如果過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，證明：答案：解：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，即（2）如果有一條切線過(guò)點(diǎn)，則存在，使于是，若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，則方程有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根記，則當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：000極大值極小值由的單調(diào)性，當(dāng)極大值或極小值時(shí)，方程最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，解方程得，即方程只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根綜上，如果過(guò)可作曲線三條切線，即有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則即第

6、12題. (2007陜西理)設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)（I）若的定義域?yàn)?，求的取值范圍；（II）當(dāng)?shù)亩x域?yàn)闀r(shí)，求的單調(diào)減區(qū)間答案：解：（）的定義域?yàn)椋愠闪?，即?dāng)時(shí)的定義域?yàn)椋ǎ?，得由，得或，又，時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由得，即當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為第13題. (2007浙江理)設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）求證：（）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立；（）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立答案：（I）解：由，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（II）證明：（i）方法一：令，則，當(dāng)時(shí)，由，得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)的最小值是故當(dāng)時(shí)，對(duì)

7、任意正實(shí)數(shù)成立方法二：對(duì)任意固定的，令，則，由，得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值因此當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立（ii）方法一：由（i）得，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立即存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立下面證明的唯一性：當(dāng)，時(shí)，由（i）得，再取，得，所以，即時(shí)，不滿足對(duì)任意都成立故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立方法二：對(duì)任意，因?yàn)殛P(guān)于的最大值是，所以要使對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是：，即，又因?yàn)?，不等式成立的充分必要條件是，所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立第14題. (2007湖北理)已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；

8、（II）求證：（）答案：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力解：（）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同，由題意，即由得：，或（舍去）即有令，則于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為（）設(shè)，則故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是故當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，第15題. (2007安徽文)設(shè)函數(shù)，其中，將的最小值記為（I）求的表達(dá)式；（II）討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值答案：解：（I）我們有 由于，故當(dāng)時(shí)，達(dá)到其最小值，即 （II）我們有列表如下：極大值極小值由此可見(jiàn)，在區(qū)間和單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減小，極小值為，極大值為第16題.

9、設(shè)，（）令，討論在內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（）求證：當(dāng)時(shí)，恒有答案： （）解：根據(jù)求導(dǎo)法則有，故，于是，列表如下：20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值（）證明：由知，的極小值于是由上表知，對(duì)一切，恒有從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加所以當(dāng)時(shí)，即故當(dāng)時(shí)，恒有第17題. (2007天津理)已知函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值答案：（）解：當(dāng)時(shí)，又，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即（）解：由于，以下分兩種情況討論（1）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)函數(shù)在處取得極小值，

10、且，函數(shù)在處取得極大值，且（2）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)函數(shù)在處取得極大值，且函數(shù)在處取得極小值，且第18題. (2007天津理)已知函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值答案：（）解：當(dāng)時(shí)，又，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即（）解：由于，以下分兩種情況討論（1）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極小值極大值所以在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)函數(shù)在處取得極小值，且，函數(shù)在處取得極大值，且（2）當(dāng)時(shí)，令，得到，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：00極大值極小值所以在區(qū)

11、間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)函數(shù)在處取得極大值，且函數(shù)在處取得極小值，且第19題. (2007福建理)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元（）時(shí)，一年的銷售量為萬(wàn)件（）求分公司一年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；（）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，并求出的最大值答案： 解：（）分公司一年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為：（） 令得或（不合題意，舍去），在兩側(cè)的值由正變負(fù)所以（1）當(dāng)即時(shí)，（2）當(dāng)即時(shí)，所以答：若，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值（萬(wàn)元）；若，則當(dāng)每件

12、售價(jià)為元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值（萬(wàn)元）第20題. (2007廣東文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是答案：第21題. (2007廣東文)已知函數(shù)，是方程的兩個(gè)根，是的導(dǎo)數(shù)設(shè)，（1）求的值；（2）已知對(duì)任意的正整數(shù)有，記求數(shù)列的前項(xiàng)和答案：解：(1) 由 得 (2) 又 數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為 ，公比為2的等比數(shù)列； 第22題. (2007山東理)設(shè)函數(shù)，其中（）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（）證明對(duì)任意的正整數(shù)，不等式都成立答案：解：（）由題意知，的定義域?yàn)?，設(shè)，其圖象的對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增（）由（）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)時(shí)，有兩個(gè)

13、相同的解，時(shí)，時(shí)，時(shí)，函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，時(shí)，即，時(shí)，隨的變化情況如下表：高考資源網(wǎng)極小值由此表可知：時(shí)，有惟一極小值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，隨的變化情況如下表：極大值極小值由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值點(diǎn)；綜上所述：時(shí)，有惟一最小值點(diǎn)；時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)（）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，令函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又時(shí)，恒有，即恒成立故當(dāng)時(shí)，有對(duì)任意正整數(shù)取，則有所以結(jié)論成立第23題. (2007四川理)設(shè)函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（）對(duì)任意的實(shí)數(shù)，證明（是的導(dǎo)函數(shù)）；（）是否存在，使得恒成立？若存在，試證明你的結(jié)論并求出的值；若不存

14、在，請(qǐng)說(shuō)明理由答案：（）解：展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)，這項(xiàng)是（）證法一：因證法二：因而故只需對(duì)和進(jìn)行比較。令，有由，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以在處有極小值故當(dāng)時(shí)，從而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（）對(duì)，且有又因，故，從而有成立，即存在，使得恒成立第24題. (2007重慶理)已知函數(shù)在處取得極值，其中為常數(shù)（）試確定的值；（）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍答案：解：（I）由題意知，因此，從而又對(duì)求導(dǎo)得由題意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得當(dāng)時(shí)，此時(shí)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)為增函數(shù)因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，而的單調(diào)遞增區(qū)間為

15、（III）由（II）知，在處取得極小值，此極小值也是最小值，要使（）恒成立，只需即，從而，解得或所以的取值范圍為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第1題. 曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）答案：第2題. 設(shè)函數(shù)（I）若當(dāng)時(shí)，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于答案：解：每個(gè)點(diǎn)落入中的概率均為依題意知（）（）依題意所求概率為，第3題. （2007海南、寧夏文）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（）答案：第4題. （2007湖南理）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 答案：第5題. (2007江蘇)已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則_答案：第6題.

16、(2007江西文)設(shè)在內(nèi)單調(diào)遞增，則是的（）充分不必要條件必要不充分條件充分必要條件既不充分也不必要條件答案：第7題. (2007江西文)四位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按照各自的愛(ài)好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為，則它們的大小關(guān)系正確的是（）答案：高考資源網(wǎng)第8題. (2007全國(guó)II文)已知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，且（1）證明；（2）求的取值范圍答案：解：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（）由函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，知是的兩個(gè)根所以當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，由，得（）在題設(shè)下，等價(jià)于即化簡(jiǎn)得此不等式組表示

17、的區(qū)域?yàn)槠矫嫔先龡l直線：ba2124O所圍成的的內(nèi)部，其三個(gè)頂點(diǎn)分別為：在這三點(diǎn)的值依次為所以的取值范圍為第9題. (2007山東文)設(shè)函數(shù)，其中證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值答案：證明：因?yàn)椋缘亩x域?yàn)楫?dāng)時(shí)，如果在上單調(diào)遞增；如果在上單調(diào)遞減所以當(dāng)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，令，將（舍去），當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：0極小值從上表可看出，函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為當(dāng)時(shí)，隨的變化情況如下表：0極大值從上表可看出，函數(shù)有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極小值為若時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極大值

18、點(diǎn)，極大值為高考資源網(wǎng)第10題. （2007山東文)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)答案：解：（）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得：，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）設(shè)聯(lián)立得，則又因?yàn)橐詾橹睆降膱A過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，即解得：，且均滿足當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)所以，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為第11題. 已知在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，又（）求的解析式；（）若在區(qū)間上恒有成立，求的取值范圍答案：解：（），由已知，即解得，（）令，即，或又在區(qū)間上恒成立，第12題. (2007廣東文)若函數(shù)，則函數(shù)在其定義域上是（ ）A單調(diào)遞減的偶函數(shù)B單調(diào)遞減的奇函數(shù)C單調(diào)遞增的偶函數(shù)D單調(diào)遞增的奇函數(shù)答案：B第13題. (2007湖北文)已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則答案：3高考資源網(wǎng)第14題. (2007四川文)設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，其圖