復(fù)變函數(shù)課件：3-7 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系

1、 7 7 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 6 6我們證明了在我們證明了在D內(nèi)的解析函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)內(nèi)的解析函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)仍為解析函數(shù),所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)。本節(jié)所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)。本節(jié)利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系。的關(guān)系。內(nèi)內(nèi) 容容 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介 設(shè)設(shè)f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析，則內(nèi)解析，則xvyuyvxuRC 方方程程由由yxvyuxyvxu 222222從從而而有有xyvyxuyxvyxu 22.),(),(具具有有任任意意階階的的連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)理理由由解解析

2、析函函數(shù)數(shù)高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定, 0 D2222 yuxu內(nèi)有內(nèi)有故在故在0 2222 yvxv同理有同理有0, 0 vu.2222普普拉拉斯斯算算子子一一種種運(yùn)運(yùn)算算記記號(hào)號(hào)，稱(chēng)稱(chēng)為為拉拉記記 yx即即u及及v 在在D內(nèi)滿足拉普拉斯內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程方程:.),(00:),(2222內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)在在則則稱(chēng)稱(chēng)即即方方程程導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且滿滿足足內(nèi)內(nèi)具具有有二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏在在若若二二元元函函數(shù)數(shù)DyxyxLaplaceDyx 定義定義內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)。是是，內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域若若DyxvvyxuuDyxivyxuzf),(),(),(),()( 定理

3、定理 由上面的討論，已經(jīng)證明了：由上面的討論，已經(jīng)證明了：.),(),(D,),(的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)的的調(diào)調(diào)和和在在稱(chēng)稱(chēng)使使得得內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)yxuyxvivuDyxu 定義定義上面定理說(shuō)明：上面定理說(shuō)明：.部部的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)解解析析函函數(shù)數(shù)的的虛虛部部是是實(shí)實(shí)D.),(),(),(),()(,的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必為為內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)解解析析在在即即yxuuyxvDDyxivyxuzf 由解析的概念得：由解析的概念得：.,:的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必為為調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)的的兩兩個(gè)個(gè)方方程程內(nèi)內(nèi)滿

4、滿足足在在uvvuvuvuRCDxyyx ., 一一定定解解析析內(nèi)內(nèi)就就不不在在則則內(nèi)內(nèi)的的兩兩個(gè)個(gè)調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)域域是是任任意意選選取取的的在在若若DivuDvu 現(xiàn)在研究反過(guò)來(lái)的問(wèn)題：現(xiàn)在研究反過(guò)來(lái)的問(wèn)題：.的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)不不是是yxuyxv 如如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf 處處處處不不解解析析平平面面上上在在（由由此此，的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必須須是是方方程程。即即還還必必須須滿滿足足及及內(nèi)內(nèi)解解析析在在要要想想使使.,uvRCvuDivu .),(),(ivuyxvRCyxu 從從而而構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)程程可可求求得得它它

5、的的虛虛部部方方利利用用部部已已知知一一個(gè)個(gè)解解析析函函數(shù)數(shù)的的實(shí)實(shí)),(yxv虛虛部部),(yxu實(shí)部實(shí)部0,),(,2222 yuxuDyxuD則則函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和是是區(qū)區(qū)域域一一單單連連通通區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在、即即Dxuyu ,dyxudxyuQdyPdxxuxyuy )()(且且),(yxdvv )(),(),(),(00 cdyxudxyuyxvyxyx.內(nèi)內(nèi)解解析析在在方方程程滿滿足足DivuRCxuyvyuxv .)(),()(,),( 內(nèi)內(nèi)解解析析在在使使得得所所確確定定的的式式則則內(nèi)內(nèi)調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)在在單單連連通通設(shè)設(shè)Divuzfy

6、xvDyxu 定理定理A 公式不用強(qiáng)記！可如下推出：公式不用強(qiáng)記！可如下推出：dyxvdxyvdyyudxxuduRC 方方程程由由然然后后兩兩端端積積分分。由由求求其其共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)已已知知：方方程程dyudxudyyvdxxvdvyxvyxuxyRC :),(),(類(lèi)似地，類(lèi)似地，然后兩端積分得，然后兩端積分得，)(),(),(),(00 cdyvdxvyxuyxyxxyA 調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際問(wèn)題中都有重要應(yīng)用。本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解問(wèn)題中都有重要應(yīng)用。本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系。析函數(shù)的關(guān)系。iifxyxuivuzf

7、 1)()(2由由下下列列條條件件求求解解析析函函數(shù)數(shù)例例1dyyxdxxydyyvdxxvdvxyyuxvyxxuyv)2()2(22 解解cyxyxcdyyxxdxcdyyxdxxyyxvyxoyx 222)2()2()2(),(220),()0,0(icziiciyxiiyxcyxyxixyyxzf 2222222)211()(2)()21221()()(故故2)21()(211)21(1)(22izizfciiciiiif 代代入入上上式式得得，A )(21),(21zziyzzx )22(22222yxddxyydyxdxxdyydx dyyxdxxydyyvdxxvdv)2()2( 又解又解cyxyxyxv 222),