《金融工程》作業(yè)一、二、三

1、5作業(yè)一1、一只股票現(xiàn)在價格是100 元。 有連續(xù)兩個時間步，每個步長6 個月， 每個單步二叉樹預(yù)期上漲10%，或下跌10%， 無風(fēng)險利率8%（連續(xù)復(fù)利），運用無套利原則求執(zhí)行價格為100元的看漲期權(quán)的價值。2、假設(shè)市場上股票價格S=20元，執(zhí)行價格X=18元，r=10%,T=1年。如果市場報價歐式看漲期權(quán)的價格是3 元，試問存在無風(fēng)險的套利機(jī)會嗎？如果有，如何套利？3、股票當(dāng)前的價格是100 元， 以該價格作為執(zhí)行價格的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價格分別是3元和 7 元。如果買入看漲期權(quán)、賣出看跌期權(quán)，再購入到期日價值為100 的無風(fēng)險債券，則我們就復(fù)制了該股票的價值特征（可以叫做合成股票）。試問

2、無風(fēng)險債券的投資成本是多少？如果偏離了這個價格，市場會發(fā)生怎樣的套利行為？作業(yè)解答：1、按照本章的符號，u=1.1,d=0.9,r=0.08，所以 p=（ e0。8"吃0.9）/（1.1-0.9）=0.7041。這里 p 是風(fēng)險中性概率。期權(quán)的價值是：（0. 70412 >21+2 >0.7041 0.2959 0+0.29592X0） e-0.08=9.61o2、本題中看漲期權(quán)的價值應(yīng)該是S-Xe-rT=20-18e-0.1=3.71。 顯然題中的期權(quán)價格小于此數(shù)，會引發(fā)套利活動。套利者可以購買看漲期權(quán)并賣空股票，現(xiàn)金流是20-3=17。 17 以 10%投資一年，成為

3、17 °.1=18.790到期后如果月£票價格高于18,套利者以18元的價格執(zhí)行期權(quán)，并將股票的空頭平倉，則可獲利18.79-18=0.79元。若股票價格低于18 元（比如17 元） ，套利者可以購買股票并將股票空頭平倉，盈利是18.79-17=1.79元。3、無風(fēng)險證券的投資成本因該是100-7+3=96 元，否則，市場就會出現(xiàn)以下套利活動。第一，若投資成本低于96 元（比如是93 元） ，則合成股票的成本只有97 元（7-3+93） ，相對于股票投資少了3 元。 套利者以97 元買入合成股票，以 100 元賣空標(biāo)的股票，獲得無風(fēng)險收益 3 元。第二，若投資成本高于96

4、元（比如是98 元） ， 則合成股票的成本是102 元，高于股票投2 元的無風(fēng)險利潤。資成本 2 元。套利者可以買入股票同時賣出合成股票，可以帶來作業(yè)二：1. A公司和B公司如果要在金融市場上借入 5年期本金為2000萬美元的貸款，需支付 的年利率分別為：固定利率浮動利率A公司12.0%LIBOR+0.1%B公司13.4%LIBOR+0.6%A公司需要的是浮動利率貸款，B公司需要的是固定利率貸款。請設(shè)計一個利率互換, 其中銀行作為中介獲得的報酬是 0.1 %的利差，而且要求互換對雙方具有同樣的吸引力。2. X公司希望以固定利率借入美元，而 Y公司希望以固定利率借入日元，而且本金用 即期匯率計算

5、價值很接近。市場對這兩個公司的報價如下：日元美元X公司5.0%9.6%Y公司6.5%10.0%請設(shè)計一個貨幣互換，銀行作為中介獲得的報酬是50個基點，而且要求互換對雙方具有 同樣的吸引力，匯率風(fēng)險由銀行承擔(dān)。3. 一份本金為10億美元的利率互換還有10月的期限。這筆互換規(guī)定以6個月的LIBOR 利率交換12%的年利率（每半年計一次復(fù)利）。市場上對交換6個月的LIBOR利率的所有期 限的利率的平均報價為10% （連續(xù)復(fù)利）。兩個月前6個月的LIBOR利率為9.6%。請問上 述互換對支付浮動利率的那一方價值為多少？對支付固定利率的那一方價值為多少？ 作業(yè)答案：1. A公司在固定利率貸款市場上有明顯

6、的比較優(yōu)勢，但A公司想借的是浮動利率貸款。而B公司在浮動利率貸款市場上有明顯的比較優(yōu)勢， 但A公司想借的是固定利率貸款。這為 互換交易發(fā)揮作用提供了基礎(chǔ)。兩個公司在固定利率貸款上的年利差是 1.4%,在浮動利率貸 款上的年利差是0.5。如果雙方合作，互換交易每年的總收益將是 1.4% 0.5%=0.9%。因為 銀行要獲得0.1%的報酬，所以A公司和B公司每人將獲得0.4%的收益。這意味著A公司和 B公司將分別以LIBOR0.3%和13%的利率借入貸款。合適的協(xié)議安排如圖所示。12.3%12.4%12% Ia F :金融中養(yǎng)中I -B I LIBOR+0.6%LIBORLIBOR2. X公司在日

7、元市場上有比較優(yōu)勢但想借入美元，Y公司在美元市場上有比較優(yōu)勢但想借入日元。這為互換交易發(fā)揮作用提供了基礎(chǔ)。兩個公司在日元貸款上的利差為1.5%,在美元貸款上的利差為0.4%,因此雙方在互換合作中的年總收益為 1.5%0.4%=1.1%。因為銀行 要求收取0.5%的中介費，這樣X公司和Y公司將分別獲得0.3%的合作收益?；Q后X公司 實際上以9.6%0.3%=9.3%的利率借入美元，而Y實際上以6.5% 0.3%=6.2%借入日元。合 適的協(xié)議安排如圖所示。所有的匯率風(fēng)險由銀行承擔(dān)。日元5%日元6.2%日元5% | A * |>匚至|五三二| B | 美元10%美元9.3%美元10%3.

8、根據(jù)題目提供的條件可知，LIBOR的收益率曲線的期限結(jié)構(gòu)是平的， 都是10% （半年 計一次復(fù)利）?；Q合約中隱含的固定利率債券的價值為c 0.3333 0.10.8333 0.16e106e103.33百萬美兀互換合約中隱含的浮動利率債券的價值為100 4.8 e 0.3333 0.1 101.36 百萬美元因此，互換對支付浮動利率的一方的價值為103.33 101.36 1.97百萬美元，對支付固定利率的一方的價值為1.97百萬美元。力口元5%力口元6.25%加元5% |A " I | 金融中奉三二I 1 I 美元LIBOR+1%美元 LIBOR+0.25% 美元 LIBOR+1

9、%本金的支付方向在互換開始時與箭頭指示相反，在互換終止時與箭頭指示相同。 金融中介在此期間承擔(dān)了外匯風(fēng)險，但可以用外匯遠(yuǎn)期合約抵補(bǔ)。作業(yè)三：1 .假設(shè)某不付紅利股票價格遵循幾何布朗運動，其預(yù)期年收益率16%年波動率30%該股票當(dāng)天收盤價為50元，求：第二天收盤時的預(yù)期價格，第二天收盤時股價的標(biāo)準(zhǔn)差，在量信度為95%青況下，該股票第二天收盤時的價格范圍。2 .某股票市價為70元，年波動率為32%該股票預(yù)計3個月和6個月后將分別支付1元股息，市場無風(fēng)險利率為10%現(xiàn)考慮該股票的美式看漲期權(quán)，其協(xié)議價格為 65元，有效期8個月。請證明在上述兩個除息日提前執(zhí)行該期權(quán)都不是最優(yōu)的，并請計算該期權(quán)價格。3

10、 .某股票目前價格為40元，假設(shè)該股票1個月后的價格要么為42元、要么38元。連 續(xù)復(fù)利無風(fēng)險年利率為8%請問1個月期的協(xié)議價格等于39元歐式看漲期權(quán)價格等于多少？ 習(xí)題答案：,一 S1、 由于 ( t, /T)S在本題中，S= 50,=0.16, =0.30, t=1/365=0.00274.因止匕，_0 5、S/50 (0.16 0.00274,0.3 0.00274 . )=(0.0004,0.0157)S (0.022,0.785)因此，第二天預(yù)期股價為50.022元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.785元，在95%的置信水平上第2天 股價會落在 50.022-1.96 0.785 至 50.022+1

11、.96 0.785,即 48.48 元至 51.56 元之間。2、D1=D2=1,t 1=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65X1 er(Tt2) 65(1 e 0.1 0.1667) 1.07X1 e r(t2 t1) 65(1 e 0.1 0.25) 1.60可見，D2 X1 er(T t2)D1X1 e r(t2 t1)顯然，該美式期權(quán)是不應(yīng)提早執(zhí)行的。紅利的現(xiàn)值為:0.25 0.10.50 0.1e e1.9265該期權(quán)可以用歐式期權(quán)定價公式定價:S= 701.9265=68.0735, X= 65, T=0.6667,r=0.1,6=0.32diln(68.0735 /65) (0.1 0.322/2) 0.66670.32 0.6667d2di 0.320.6667 0.3013N(d i)=0.7131,N(d 2)=0.6184因此，看漲期權(quán)價格為：68.0735 0.7131 65 e 0.1 0.6667 0.6184 10.943、構(gòu)造一個組合，由一份該看漲期權(quán)空頭和A股股票構(gòu)成。如果股票價格升到42元，該組合價值就是42A-3o如果股票價格跌到38A元，該組合價值就等于38