無套利定價原理與基本理論

1、第三講 無套利定價原理什么是套利什么是套利什么是無套利定價原理什么是無套利定價原理無套利定價原理的基本理論無套利定價原理的基本理論第一部分什么是套利什么是套利什么是無套利定價原理什么是無套利定價原理無套利定價原理的基本理論無套利定價原理的基本理論商業(yè)貿(mào)易中的套利行為商業(yè)貿(mào)易中的套利行為 15,000元元/噸噸翰陽公司翰陽公司賣方甲賣方甲買方乙買方乙17,000元元/噸噸銅銅銅銅 在商品貿(mào)易中套利時需考慮的成本：在商品貿(mào)易中套利時需考慮的成本：（1）信息成本：）信息成本： （2）空間成本）空間成本 （3）時間成本）時間成本 金融市場中的套利行為金融市場中的套利行為 專業(yè)化交易市場的存在專業(yè)化交易

2、市場的存在 信息成本只剩下交易費用信息成本只剩下交易費用 產(chǎn)品標準化產(chǎn)品標準化 金融產(chǎn)品的無形化金融產(chǎn)品的無形化沒有空間成本沒有空間成本 金融市場存在的賣空機制大大增加了套金融市場存在的賣空機制大大增加了套利機會利機會 金融產(chǎn)品在時間和空間上的多樣性也使金融產(chǎn)品在時間和空間上的多樣性也使得套利更為便捷得套利更為便捷 套利的定義 套利套利指一個能產(chǎn)生無風險盈利的交易策略。指一個能產(chǎn)生無風險盈利的交易策略。這種套利是指純粹的無風險套利。這種套利是指純粹的無風險套利。 但在實際市場中，套利一般指的是一個但在實際市場中，套利一般指的是一個預(yù)期能產(chǎn)生無風險盈利的策略，可能會預(yù)期能產(chǎn)生無風險盈利的策略，可

3、能會承擔一定的低風險。承擔一定的低風險。 第二部分什么是套利什么是套利什么是無套利定價原理什么是無套利定價原理無套利定價原理的基本理論無套利定價原理的基本理論無套利定價無套利定價”原理原理 無套利定價無套利定價”原理原理 金融產(chǎn)品在市場的合理價格是這個價格使金融產(chǎn)品在市場的合理價格是這個價格使得市場不存在套利機會得市場不存在套利機會那什么是套利機會呢？那什么是套利機會呢？套利機會的等價條件（1）存在兩個不同的資產(chǎn)組合，它們的）存在兩個不同的資產(chǎn)組合，它們的未來損益（未來損益（payoff）相同，但它們的成）相同，但它們的成本卻不同；本卻不同；損益：現(xiàn)金流損益：現(xiàn)金流不確定狀態(tài)下：每一種狀態(tài)對應(yīng)

4、的現(xiàn)金流不確定狀態(tài)下：每一種狀態(tài)對應(yīng)的現(xiàn)金流（2 2）存在兩個相同成本的資產(chǎn)組合，但）存在兩個相同成本的資產(chǎn)組合，但是第一個組合在所有的可能狀態(tài)下的損是第一個組合在所有的可能狀態(tài)下的損益都不低于第二個組合，而且至少存在益都不低于第二個組合，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下第一個組合的損一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下第一個組合的損益要大于第二個組合的支付。益要大于第二個組合的支付。（3 3）一個組合其構(gòu)建的成本為零，但在）一個組合其構(gòu)建的成本為零，但在所有可能狀態(tài)下，這個組合的損益都不所有可能狀態(tài)下，這個組合的損益都不小于零，而且至少存在一種狀態(tài)，在此小于零，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下這個組合的損益

5、要大于零。狀態(tài)下這個組合的損益要大于零。無套利定價原理（1 1）同損益同價格）同損益同價格如果兩種證券具有相同的損益，則這兩種如果兩種證券具有相同的損益，則這兩種證券具有相同的價格。證券具有相同的價格。（2）靜態(tài)組合復(fù)制定價：）靜態(tài)組合復(fù)制定價：如果一個資產(chǎn)組合的損益等同于一個證券，如果一個資產(chǎn)組合的損益等同于一個證券，那么這個資產(chǎn)組合的價格等于證券的價格。那么這個資產(chǎn)組合的價格等于證券的價格。這個資產(chǎn)組合稱為證券的這個資產(chǎn)組合稱為證券的“復(fù)制組合復(fù)制組合”（replicating portfolio）。）。 （3）動態(tài)組合復(fù)制定價：）動態(tài)組合復(fù)制定價：如果一個自融資（如果一個自融資（self

6、-financing）交易策）交易策略最后具有和一個證券相同的損益，那么略最后具有和一個證券相同的損益，那么這個證券的價格等于自融資交易策略的成這個證券的價格等于自融資交易策略的成本。這稱為動態(tài)套期保值策略（本。這稱為動態(tài)套期保值策略（dynamic hedging strategy）。）。 確定狀態(tài)下無套利定價原理的應(yīng)用確定狀態(tài)下無套利定價原理的應(yīng)用 案例案例1：假設(shè)兩個零息票債券假設(shè)兩個零息票債券A A和和B B，兩者都是在，兩者都是在1 1年年后的同一天支付后的同一天支付100100元的面值。如果元的面值。如果A A的當?shù)漠斍皟r格為前價格為9898元。另外，假設(shè)不考慮交易成元。另外，假設(shè)

7、不考慮交易成本。本。問題：問題：（1 1）B B的價格應(yīng)該為多少呢？的價格應(yīng)該為多少呢？ （2）如果）如果B的市場價格只有的市場價格只有97.5元，問如元，問如何套利呢？何套利呢？ 應(yīng)用同損益同價格原理：應(yīng)用同損益同價格原理：B B的價格也為的價格也為9898元元如果如果B B的市場價格只有的市場價格只有97.597.5元，賣空元，賣空A A，買，買進進B B 案例案例2 2： 假設(shè)當前市場的零息票債券的價格為：假設(shè)當前市場的零息票債券的價格為： 1 1年后到期的零息票債券的價格為年后到期的零息票債券的價格為9898元；元； 2 2年后到期的零息票債券的價格為年后到期的零息票債券的價格為969

8、6元；元； 3 3年后到期的零息票債券的價格為年后到期的零息票債券的價格為9393元；元；另外，假設(shè)不考慮交易成本。另外，假設(shè)不考慮交易成本。 問題：問題：（1 1）息票率為）息票率為1010，1 1年支付年支付1 1次利息的三次利息的三年后到期的債券的價格為多少呢？年后到期的債券的價格為多少呢？（2）如果息票率為）如果息票率為10，1年支付年支付1次利息次利息的三年后到期的債券價格為的三年后到期的債券價格為120元，如何套元，如何套利呢？利呢？ 看未來損益圖：看未來損益圖：1年末年末2年末年末3年末年末1010110 靜態(tài)組合復(fù)制策略靜態(tài)組合復(fù)制策略（1 1）購買）購買0.10.1張的張的1

9、 1年后到期的零息票債券，年后到期的零息票債券，其損益剛好為其損益剛好為1001000.10.11010元；元；（2 2）購買）購買0.10.1張的張的2 2年后到期的零息票債券，年后到期的零息票債券，其損益剛好為其損益剛好為1001000.10.11010元；元；（3 3）購買）購買1.11.1張的張的3 3年后到期的零息票債券，年后到期的零息票債券，其損益剛好為其損益剛好為1001001.11.1110110元；元； 根據(jù)無套利定價原理的推論根據(jù)無套利定價原理的推論0.10.198980.10.196961.11.19393121.7121.7 問題問題2的答案：的答案：市場價格為市場價格

10、為120120元，低估元，低估B B，則買進，則買進B B，賣出靜態(tài)組合，賣出靜態(tài)組合（1 1）買進）買進1 1張息票率為張息票率為1010，1 1年支付年支付1 1次利息的次利息的三年后到期的債券；三年后到期的債券；（2 2）賣空）賣空0.10.1張的張的1 1年后到期的零息票債券；年后到期的零息票債券；（3 3）賣空）賣空0.10.1張的張的2 2年后到期的零息票債券；年后到期的零息票債券；（4）賣空）賣空1.1張的張的3年后到期的零息票債券；年后到期的零息票債券； 案例案例3：假設(shè)從現(xiàn)在開始假設(shè)從現(xiàn)在開始1 1年后到期的零息票債券的年后到期的零息票債券的價格為價格為9898元，從元，從1

11、 1年后開始，在年后開始，在2 2年后到期年后到期的零息票債券的價格也為的零息票債券的價格也為9898元（元（1 1年后的價年后的價格）。另外，假設(shè)不考慮交易成本。格）。另外，假設(shè)不考慮交易成本。問題：問題：（1 1）從現(xiàn)在開始）從現(xiàn)在開始2 2年后到期的零息票年后到期的零息票債券的價格為多少呢？債券的價格為多少呢？ （2）如果現(xiàn)在開始）如果現(xiàn)在開始2年后到期的零息票債年后到期的零息票債券價格為券價格為99元，如何套利呢？元，如何套利呢？ (1) 從現(xiàn)在開始從現(xiàn)在開始1年后到期的債券年后到期的債券Z01第第1年末年末支付支付:100價格價格:98(2) 1年后開始年后開始2年后到期的債券年后到

12、期的債券Z12第第2年末年末支付支付:100價格價格:98(3) 從現(xiàn)在開始從現(xiàn)在開始2年后到期的債券年后到期的債券Z02第第2年末年末支付支付:100價格價格:？ 動態(tài)組合復(fù)制策略：動態(tài)組合復(fù)制策略：（1 1）先在當前購買）先在當前購買0.980.98份的債券份的債券Z Z0 01 1；（2 2）在第）在第1 1年末年末0.980.98份債券份債券Z Z0 01 1到期，獲得到期，獲得0.980.981001009898元；元；（3）在第）在第1年末再用獲得的年末再用獲得的98元去購買元去購買1份份債券債券Z12； 自融資策略的現(xiàn)金流表自融資策略的現(xiàn)金流表 交易策略交易策略現(xiàn)金流現(xiàn)金流當前當

13、前第第1 1年末年末第第2 2年末年末(1)(1)購買購買0.980.98份份Z Z0 01 1-98-980.98=-0.98=-96.0496.040.980.98100=100=9898(2)(2)在第在第1 1年末購買年末購買1 1份份Z Z1 12 2-98-98100100合計：合計：-96.04-96.040 0100100 這個自融資交易策略的損益：這個自融資交易策略的損益：就是在第就是在第2 2年末獲得本金年末獲得本金100100元，這等同于元，這等同于一個現(xiàn)在開始一個現(xiàn)在開始2 2年后到期的零息票債券的損年后到期的零息票債券的損益。益。 這個自融資交易策略的成本為：這個自融

14、資交易策略的成本為： 980.9896.04 如果市價為如果市價為99元，如何套利元，如何套利 構(gòu)造的套利策略如下：構(gòu)造的套利策略如下：（1 1）賣空）賣空1 1份份Z Z0 02 2債券，獲得債券，獲得9999元，所承擔的義務(wù)元，所承擔的義務(wù)是在是在2 2年后支付年后支付100100元；元；（2 2）在獲得的）在獲得的9999元中取出元中取出96.0496.04元，購買元，購買0.980.98份份Z Z0 01 1；（3 3）購買的）購買的1 1年期零息票債券到期，在第一年末獲年期零息票債券到期，在第一年末獲得得9898元；元；（4 4）再在第）再在第1 1年末用獲得的年末用獲得的9898元

15、購買元購買1 1份第份第2 2年末到年末到期的期的1 1年期零息票債券；年期零息票債券；（5）在第）在第2年末，零息票債券到期獲得年末，零息票債券到期獲得100元，用于元，用于支付步驟（支付步驟（1）賣空的）賣空的100元；元； 交易策略交易策略現(xiàn)金流現(xiàn)金流當前當前第第1 1年末年末第第 2 2 年年末末(1)(1)賣空賣空1 1份份Z Z0 02 29999-100-100(2)(2)購買購買0.980.98份份Z Z0 01 1-0.98-0.9898 =-98 =-96.0496.040.980.98100 = 100 = 9898(3)(3)在第在第1 1年末購買年末購買1 1份份Z

16、Z1 12 2-98-98100100合計：合計：99-96.04 = 99-96.04 = 2.962.960 00 0不確定狀態(tài)下的無套利定價原理的應(yīng)用 不確定狀態(tài)：不確定狀態(tài)： 資產(chǎn)的未來損益不確定資產(chǎn)的未來損益不確定 假設(shè)市場在未來某一時刻存在有限種狀態(tài)假設(shè)市場在未來某一時刻存在有限種狀態(tài) 在每一種狀態(tài)下資產(chǎn)的未來損益已知在每一種狀態(tài)下資產(chǎn)的未來損益已知 但未來時刻到底發(fā)生哪一種狀態(tài)不知道但未來時刻到底發(fā)生哪一種狀態(tài)不知道 案例案例4：假設(shè)有一風險證券假設(shè)有一風險證券A A，當前的市場價格為，當前的市場價格為100100元元1 1年后的市場出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)：狀態(tài)年后的市場出現(xiàn)兩種可能

17、的狀態(tài)：狀態(tài)1 1和狀態(tài)和狀態(tài)2 2。狀態(tài)狀態(tài)1 1時，時，A A的未來損益為的未來損益為105105元，狀態(tài)元，狀態(tài)2 2時，時，9595元。元。有一證券有一證券B B，它在，它在1 1年后的未來損益也是：狀態(tài)年后的未來損益也是：狀態(tài)1 1時時105105元，狀態(tài)元，狀態(tài)2 2時時9595元。元。另外，假設(shè)不考慮交易成本。另外，假設(shè)不考慮交易成本。問題：問題：（1 1）B B的合理價格為多少呢？的合理價格為多少呢？（2）如果）如果B的價格為的價格為99元，如何套利？元，如何套利？ 答案：答案：（1）B的合理價格也為的合理價格也為100元；元；（2）如果）如果B為為99元，價值被低估，則買進元

18、，價值被低估，則買進B，賣空賣空A 案例案例5：假設(shè)有一風險證券假設(shè)有一風險證券A A，當前的市場價格為，當前的市場價格為100100元元1 1年后的市場出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)：狀態(tài)年后的市場出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)：狀態(tài)1 1和狀態(tài)和狀態(tài)2 2。狀態(tài)狀態(tài)1 1時，時，A A的未來損益為的未來損益為105105元，狀態(tài)元，狀態(tài)2 2時，時，9595元。元。有一證券有一證券B B，它在，它在1 1年后的未來損益也是：狀態(tài)年后的未來損益也是：狀態(tài)1 1時時120120元，狀態(tài)元，狀態(tài)2 2時時110110元。元。另外，假設(shè)不考慮交易成本，資金借貸也不需要成另外，假設(shè)不考慮交易成本，資金借貸也不需要成本。本。

19、問題：問題：（1 1）B B的合理價格為多少呢？的合理價格為多少呢？（2）如果）如果B的價格為的價格為110元，如何套利？元，如何套利？證券未來損益圖10010595風險證券風險證券AP PB B120110風險證券風險證券B1 111資金借貸資金借貸 靜態(tài)組合策略：靜態(tài)組合策略： 要求要求 x 份的證券份的證券A和和 y 份的資金借貸構(gòu)成份的資金借貸構(gòu)成B1101201195105yx 解得：解得：X = 1, y = 15 所以：所以：B的價格為：的價格為： 1*100+15*1 = 115 第二個問題：第二個問題： 當當B為為110元時，如何構(gòu)造套利組合呢？元時，如何構(gòu)造套利組合呢？ 套

20、利組合：套利組合：買進買進B，賣空，賣空A，借入資金，借入資金15元。元。 期初時刻的期初時刻的現(xiàn)金流現(xiàn)金流期末時刻的現(xiàn)金流期末時刻的現(xiàn)金流第 一 種第 一 種狀態(tài)狀態(tài)第二種狀第二種狀態(tài)態(tài)(1)(1)買進買進B B-110-110120120110110(2)(2)賣空賣空A A100100-105-105-95-95(3)(3)借入資金借入資金1515元元1515-15-15-15-15合計合計5 50 00 0 案例案例6：假設(shè)有一風險證券假設(shè)有一風險證券A A，當前的市場價格為，當前的市場價格為100100元元1 1年后的市場出現(xiàn)年后的市場出現(xiàn)三三種可能的狀態(tài)：狀態(tài)種可能的狀態(tài)：狀態(tài)1

21、1、2 2和和3 3。狀態(tài)狀態(tài)1 1、2 2和和3 3時，時，A A的未來損益分別為的未來損益分別為110.25110.25，99.7599.75，90.2590.25元。元。有一證券有一證券B B，它在，它在1 1年后的未來損益也是：狀態(tài)年后的未來損益也是：狀態(tài)1 1、2 2和和3 3時，分別為時，分別為125125，112.5112.5和和109109元元。另外，假設(shè)不考慮交易成本，資金借貸的年利率為另外，假設(shè)不考慮交易成本，資金借貸的年利率為5.065.06，半年利率為，半年利率為2.52.5。問題：問題：（1 1）B B的合理價格為多少呢？的合理價格為多少呢？（2）如果）如果B的價格為

22、的價格為110元，如何套利？元，如何套利？證券未來損益圖100110.2599.75風險證券風險證券A風險證券風險證券B資金借貸資金借貸90.25PB125112.51091 1.05061.05061.0506 構(gòu)造靜態(tài)組合：構(gòu)造靜態(tài)組合： x 份份A和和 y 份資金借貸構(gòu)成份資金借貸構(gòu)成B1095 .1121250506. 10506. 10506. 125.9075.9925.110yx方程無解！動態(tài)組合復(fù)制 動態(tài)：動態(tài)：我們把我們把1年的持有期拆成兩個半年，這樣年的持有期拆成兩個半年，這樣在半年后就可調(diào)整組合在半年后就可調(diào)整組合假設(shè)證券假設(shè)證券A在半年后的損益為兩種狀態(tài)，在半年后的損益

23、為兩種狀態(tài)，分別為分別為105元和元和95元元 證券證券B的半年后的損益不知道的半年后的損益不知道110.2599.75風險證券風險證券A風險證券風險證券B90.2510010595PBB1B2125125112.51091.05061.05061.050611.0251.025 構(gòu)造如下的組合：構(gòu)造如下的組合：（1）1份的證券份的證券A；（；（2）持有現(xiàn)金）持有現(xiàn)金13.56。 5 .1041145 .1240506. 10506. 10506. 156.1325.9075.9925.1101在半年后進行組合調(diào)整(1)(1)證券證券A的損益為的損益為105時：時： 再買進再買進0.19份的證

24、券份的證券A，需要現(xiàn)金，需要現(xiàn)金19.95元元（0.1910519.95） 持有的現(xiàn)金持有的現(xiàn)金13.56，加上利息變?yōu)椋?，加上利息變?yōu)椋?3.561.02513.90。 半年后的組合變?yōu)椋喊肽旰蟮慕M合變?yōu)椋?1.19份證券份證券A 現(xiàn)金現(xiàn)金6.05 （13.90 19.95） 在在1年后此組合損益狀態(tài)為：年后此組合損益狀態(tài)為： 5 .112125025. 1025. 105. 675.9925.11019. 1( (2) )證券證券A的損益為的損益為95時：時： 賣出賣出0.632份的證券份的證券A，得到，得到0.6329560.04元元持有的現(xiàn)金持有的現(xiàn)金13.56，加上利息變?yōu)椋?，加上?/p>

25、息變?yōu)椋?3.561.02513.90 半年后的組合變?yōu)椋喊肽旰蟮慕M合變?yōu)椋?0.368份證券份證券A 現(xiàn)金現(xiàn)金73.94 （13.9060.0473.94 ）1095 .112025. 1025. 194.7325.9075.99368. 0在在1年后此組合損益狀態(tài)為：年后此組合損益狀態(tài)為：110.2599.7590.2510010595原始組合：原始組合：(1)持有持有1份份A( 2 ) 持 有 現(xiàn) 金持 有 現(xiàn) 金13.56操作：賣出操作：賣出0.632份份A組合為：組合為：(1)持有持有0.368份份A(2)持有現(xiàn)金持有現(xiàn)金73.94操作：買進操作：買進0.19份份A組合為：組合為：(

26、1)持有持有1.19份份A(2)持有現(xiàn)金持有現(xiàn)金-6.05組合的支付為：組合的支付為：125112.5109半年后的組合調(diào)整是如何得到呢？半年后的組合調(diào)整是如何得到呢？ 動態(tài)策略調(diào)整方法：動態(tài)策略調(diào)整方法：多期的靜態(tài)復(fù)制策略多期的靜態(tài)復(fù)制策略從后往前應(yīng)用靜態(tài)復(fù)制策略從后往前應(yīng)用靜態(tài)復(fù)制策略110.2599.75風險證券風險證券A風險證券風險證券B90.2510010595PBB1B2125125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（1）證券在中期價格為）證券在中期價格為105時：時： 5 .1121250506. 10506. 175.9925.110yx

27、解得： x = 1.19，y5.90 此時此時B的價格為：的價格為：B11.191055.901.025118.90 110.2599.75風險證券風險證券A風險證券風險證券B90.2510010595PB118.90B2125125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（2）證券在中期價格為）證券在中期價格為95時：時： 1095 .1120506. 10506. 125.9075.99yx解得： x = 0.368，y72.14 此時此時B的價格為：的價格為：B2 0.3689572.141.025108.90 110.2599.75風險證券風險證券A風

28、險證券風險證券B90.2510010595PB118.90108.90125125112.51091.05061.05061.050611.0251.025 解得：解得：x1，y13.56 B的當前價格為：的當前價格為：B B110013.561113.56 90.10890.118025. 1025. 195105yx無套利定價原理的簡單總結(jié) 無套利定價原理就是金融學，金融工程無套利定價原理就是金融學，金融工程的核心思想的核心思想 “同損益同價格同損益同價格”實際上就是實際上就是“一價定一價定理理” 靜態(tài)和動態(tài)組合復(fù)制策略則是用于給衍靜態(tài)和動態(tài)組合復(fù)制策略則是用于給衍生產(chǎn)品定價的基本思想生產(chǎn)

29、品定價的基本思想 如果市場存在摩擦（交易成本）時，只如果市場存在摩擦（交易成本）時，只能給出一個定價區(qū)間。在這個定價區(qū)間能給出一個定價區(qū)間。在這個定價區(qū)間內(nèi)，市場無法實現(xiàn)套利。內(nèi)，市場無法實現(xiàn)套利。 第三部分什么是套利什么是套利什么是無套利定價原理什么是無套利定價原理無套利定價原理的基本理論無套利定價原理的基本理論Arrow-Debreu模型1、市場環(huán)境、市場環(huán)境2、套利組合的定義、套利組合的定義3、無套利組合等價定理、無套利組合等價定理4、完全市場與不完全市場、完全市場與不完全市場1、市場環(huán)境假設(shè)、市場環(huán)境假設(shè) 市場中有市場中有N個證券，個證券，s1,s2,s3,sN 兩個投資時刻，兩個投資時刻，0和和1時刻時刻 第第i種證券在初始種證券在初始0時刻的價格為時刻的價格為pi ，則則N種證券的價格向量為種證券的價格向量為： P = (= (p1,p2,pN) )T T 市場在未來市場在未來1時刻有時刻有M種可能狀態(tài)，第種可能狀態(tài)，第i種證券在第種證券在第j種狀態(tài)下的損益為種狀態(tài)下的損益為Dij，則，則這些證券的損益