中級數(shù)學(xué)選修2-2測試題Ⅰ

1、中級數(shù)學(xué)選修2-2測試題I單選題(共5道)1、用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，某命題左式為11 I I J-+-+-+ ，+2 3 4 7j'貝U n=k+1與n=k時相比，左邊應(yīng)添加的項為(2、若命題P (n)對n=k成立，則它對n=k+2也成立，又已知命題P (2)成立，則下列結(jié)論正確的是()AP (n)對所有自然數(shù)n都成立BP (n)對所有正偶數(shù)n成立CP (n)對所有正奇數(shù)n都成立DP (n)對所有大于1的自然數(shù)n成立3、函數(shù) fl (x) =-, f2 (x)=:二,，fn+1 (x) =+：1* ,，則函數(shù)f2014 (x)是()A奇函數(shù)但不是偶函數(shù)B偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C既是奇函數(shù)

2、又是偶函數(shù)D既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)4、若 a1=12, a2=12+22+1Z ，an=12+22+ - +n2+22+12,在運用數(shù)學(xué)歸納法證明an=-n (2n2+1)時，第二步中從k到k+1應(yīng)添加的項是()Ak2+1B (k2+1) 2C (k+1) 2+k2D (k+1) 2+2k25、函數(shù)y=x2cosx的導(dǎo)數(shù)為Ay' =2xcosx x2sinxBy' =2xcosx+x2sinxCy' =x2cosx 2xsinxDy' =xcosx x2sinx簡答題(共5道)6、設(shè)函數(shù)/V卜3Vm'+O-加仃，a.bR , "Q , J工(

3、1)若曲線與*軸相切于異于原點的一點，且函數(shù) f 的極小值 為,求明1ft的值；(2)若 且 11t ',n=1, 2, 3,。求證：口八皿；求證：/(*)在M1)上存在極值點. x(>7、數(shù)歹！J an滿足 a1=1, a2=2, an+2= (1+cos2y) an+sin2 (1)求a3, a4并求數(shù)列an的通項公式；n6 時，|Sn2| 二。8、已知數(shù)列鼻，懸，,.S睥為其前n項和，求S、(2)設(shè)1=當，Sn=b1+b2+-+bn,證明：當 2 BiS二、S、S-推測S電公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明9、求定積分.(1)匚？-S dx.(2)Jdx;(3)Jq (、ITh-I)

4、J-x) dx -10、問是否存在實數(shù) a, b, c,使等式12+22+-+n2+ ( n-1 ) 2+- +22+12=填空題(共5道)JM 1 m n11、按萬有引力定律，兩質(zhì)點間的吸引力F=k尸，k為常數(shù)，ml, m2為兩質(zhì)點的質(zhì)量，r為兩點間距離，若兩質(zhì)點起始距離為a,質(zhì)點m1沿直線移動至 離m2的距離為b處(b> a),則克服吸引力所作之功為 .12、已知 F (x) =Jxl(2-1)dt,僅>0)則5' (x) =:13、(2015秋?南安市校級月考)曲線y=x2和直線x=0, x=1, y=所圍成的圖形的面積為由曲線y=x2 (x>0)和直線x=0,

5、 x=2, y=1所圍成的15、/：/x+2|dx=1-答案：tc解：由題意，n=k時，最后一項為.,.由n=k變至ij n=k+1時，左邊增加了2-答案：tc解：由于若命題P (n)對n=k成立，則它對n=k+2也成立. 又已知命題P (2)成立，可推出P (4)、P (6)、P (8)、P (10)、P (12)均成立，故選B.3-答案：tc解：當x<0時，fl(x) =7<0, f2(x) =777<0,，fn+1(x) =-7<0,，同理，x>0時，函數(shù)值均大于0, ；fn(x)不可能是偶函數(shù)，: fl(x) 1是奇函數(shù)，假設(shè)fk X(x)是奇函數(shù)，則fk

6、+1(-x)-一二一二，E=-fk+1(x),fk+1(x)是奇函數(shù)，從而fn(x)是奇函數(shù)，故選：A.4-答案：tc解：= ak=12+22+ +k2+22+12, ak+1=12+22+ +k2+( k+1) 2+k2+22+12, .在運用數(shù)學(xué)歸納法證明an=-n (2n2+1)時，第二步中從k到k+1應(yīng)添加的項 是(k+1) 2+k2,故選：C.5-答案：A1-答案：(1)YT.(2) /C)在陋1)上是存在極值點試題分析：分析題意，可得該三次函數(shù)過原點，根據(jù)函數(shù)F 與x軸相切，所以有個極值為 0且有一個重根，故可得函數(shù)有一個極大值0和一個極小值，有一個重根, 則對，區(qū)因式分解會得到完

7、全平方式，即提取x的公因式后，剩下二次式的判 別3 = 0,得到a,b之間的關(guān)系式，再根據(jù)極小值為 ，則求導(dǎo)求出極小值點，得 到關(guān)于a,b的另外一個等式，即可求出a,b的值.(2)對，(邛求導(dǎo)，帶入，八言 與已知條件 六士聯(lián)立化簡即可得到需要的不等式.求出尸JW, 討論a的取值范圍，證明尸了，其中必有兩者異號，則根據(jù)零點存在定11 A I理，即可證明，國有極值點.試題解析：(1)言*+”當，依據(jù)題意得：/沙，且瞿一-仙.2分浙吟2,得xS 或如圖，得/.右S , #+獷-¥, b=4a ,代入累寧得,4j7X(2)“幻=s'-g+ QYn) . #八*-皿制口 MjJ-E &

8、quot;，T+Pn*當 *口 +1Xifl +1($+)/ 314一卜一:；口，九8分/f(0) = l 2a ,，。)=1 一口中辦.若(“；,則/'(0) =1 -2。D ,由知""" )口 ,盆Jfj+1L所以人工)在%”有零點，從而 八處在(0J)上存在極值 4口 +JII'點.10分若由知 “廣又工'2 + 1門1一乃辛。7叫+U.g-鵬：”二11所以在飛山有零點，*1+工場(j( +2)xj'上口+從而/在1)上存在極值點.12分若0。，由知小尋i-。，1)=-1=巴尹等也，所以,，在有零點，從而/在1)上存 I第.+

9、*1工0 +1在極值點.綜上知/(刈在也1)上是存在極值點.14分2-答案：解：(1)因為的L町工,所以叼=口十加支十/£=叼十二=2 £iuq一。+必力用附+如1%-四"一般地當a- - lcbf.)時,*i= 口十財$'吟聲出t十與中= %zT即|*皿/1所以數(shù)列出_J是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，因此如H=用當” W 此時，明-口+c。寫跖十記尊所以數(shù)列是首項為2、公比為2的 U!百等比數(shù)列，因此叼兒二2工故數(shù)列&的通項公式為(2)由(1)知瓦=0&=57=十芻十福十十三，1*£：iM£»所以區(qū)=

10、87;白-之-2-學(xué)要證明當總之6時，氏/成立，只需證明當用36時， :成立當n=6時，上爐二署二六成立假設(shè)當卜=用“)時不等式成立， 即則當n=k+1時，一聲L一二L"氐而'后五工交由所述，當n>6 時,同刃$F雪漢=吟乂業(yè)3也毆13M當n>6時丁2 挑上+打 解14就3-答案：S = q, &=g，S=奈，S二=。證明見解析根據(jù)已知條件先求解前幾項，然后歸納猜想得到結(jié)論，并運用數(shù)學(xué)歸納法分為兩步驟來進行， 注意要用到假設(shè)以及n=k,n=k+1之間的變化的綜合運用。解：S = S ，S =49，S-M猜測S尸爸'(nCN)當n=1時，等式顯然成立

11、；假設(shè)當n = k時等式成立，即：S.=二：當 n=k41 時 S =S 心7二火 + 口-1*n k+1 叮，SiS£ +：2<+l)= + GMT3臥小即n = k+1時等式也成立.二-Ul“一，7=G- -"7；T二日-"二:(ZJt + l - (2;t4 3r(2Jt+l)- - (2t4 3/鏟綜上，等式對任何nCN.都成立.4-答案：解：(1) ."=14-表示的曲線為以原點為圓心，半徑為 2的上半 圓，根據(jù)定積分的幾何意義可得f：=2dx=2 ; 2 1(2) ." = -表示的曲線為以原點為圓心,半徑為 a的上半圓，根據(jù)

12、定 積分的幾何意義可得/ JJ-dx=aTt ；(3) fi(JlHi-1 r-x) dx=J；JlT“l(fā)；'d-J；"j Jl-Li-l 1表示的曲線為以(1,0)為圓心，半徑為1的上半圓，根據(jù)定積分的幾何意義可得/JJi-tx-i rn r I,_】力 t Idx=一 , J xdx -L| , Jdx，j 0202(Jj.n-l A) dx4T.解：(1) .)= 口二表示的曲線為以原點為圓心，半徑為 2的上半圓，根據(jù) 定積分的幾何意義可得jJ7Zmdx=2幾；(2)表示的曲線為以原點為圓心,半徑為 a的上半圓，根據(jù)定積分的幾何意義可得 H/2-fdx=a ;(3&qu

13、ot;(|l"l)?-x) dx=J：Jti聲T 卜人.一 =八一.|心表示的曲線為 以(1,0)為圓心，半徑為1的上半圓，根據(jù)定積分的幾何意義可得Mui dx= , J 主 Jk 二-a'11 = -.J J(Ju ：-x) dx=-j.5-答案：解：假設(shè)存在 a、b、c 使 12+22+32+ -n2+ ( n-1 ) 2+- 22+12= 鏟山川空門+f)對于一切nCN*都成立.當n=1時，a+b+c=3;當n=2時，8a+4b+2c=18; 當n=3時，9a+3b+c=19.解得a=2, b=0, c=1.證明如下：當n=1時，由以上 知存在常數(shù)a、b、c使等式成立.

14、假設(shè)n=k (kCN*)時等式成立，即 12+22+32+ k2+ (k-1 ) 2+22+12= k(2k2+1);當 n=k+1 時，12+22+32+ (k+1) 2+k2+ -22+12=ak (bk2+c) 4k (2k2+1) + (k+1) 2+k2=(k+1) 2 (k+1) 2+1.即 n=k+1 時，等式成立.因此存在 a=2, b=0, c=1, 使等式對一切nCN*都成立.解：假設(shè)存在a、b、c使12+22+32+ n2+ (n-1) 2+22+12=("3十"十門 對于一切 nCN*都成立.當 n=1 時，a+b+c=3;當 n=2 時，8a+4b

15、+2c=18;當 n=3 時，9a+3b+c=19.解得a=2, b=0, c=1.證明如下：當n=1時，由以上知存在 常數(shù)a、b、c使等式成立.假設(shè)n=k (kCN*)時等式成立，即12+22+32+-k2+ (k-1 )2+-22+124k(2k2+1);當 n=k+1 時，12+22+32+ (k+1)2+k2+ -22+12=ak(bk2+c) =-k (2k2+1) + (k+1) 2+k2=(k+1) 2 (k+1) 2+1.即 n=k+1 時，等式成立.因此存在 a=2, b=0, c=1, 使等式對一切nCN*都成立.1-答案： a b卜 ift tn yI j.| j解：克服吸引力所作之功為 W= *d門-上川I冉/TI '=用口切嗔-7）故答案為: a 二r u hr I】：A itt w j -> （）2-答案:F (x) =31(2-力)dt=(2t-2 廣)1x】=2x-2 "GF' (x) =2-針故答案為：2-十3-答案：J4解：:曲線y=x2和直線：x=1的交點為（1, 1）,和直線y；的一個交點為IT j u，i、 十 一，、11-（5，） .,.曲線y=x2和直線x=0, x=1, y=r 所圍成的圖形的面積為S=2 o（卜'）dx+!”dx= （Jx-