二項分布通俗解釋

1、二項分布通俗解釋一個事件必然出現(xiàn)，就說它100函出現(xiàn)。100%=1所以100%B現(xiàn) 的含義就是出現(xiàn)的概率P=1。即必然事件的出現(xiàn)概率為1。如果擲一枚硬幣，正面向上的結局的概率為0.5。反面向上的結局的概率也是0.5。那么出現(xiàn)正面向上事件或者反面向上事件的概 率就是0.5+0.5=1,即二者必居其一。如果擲兩次硬幣，根據(jù)獨立事件的概率乘法定理那么兩次都是正 面反面向上的概率是0.5X0.5=0.25。另外第一個是正第二個是 反的出現(xiàn)概率也是0.5 X 0.5=0.25。同理第一個反第二個正的出現(xiàn)概 率也是0.5 X 0.5=0.25。于是一正一反的概率是前面兩個情況的和， 即0.25+0.25=

2、2 X 0.25=0.5。它們的合計值仍然是1。列成表就是：兩個正面的概率一正一反的概率兩 個 反面的概率0.252X0.25=0.50.25注意到代數(shù)學中a+b八2=a，+2ab+bA2,而在a=0.5, b=0.5時， 有1八2二0.5+0.5八2=0.25+2 X 0.5 X 0.5+0.25=1。這說明擲兩次硬幣 的各個結局的出現(xiàn)概率可以通過對二項式的平方展開而得到。順此，對于擲n次硬幣的各種結局的出現(xiàn)概率也可以通過對二項式的n次方的展開而得到。例如n=3時，有注意0.5X0.5X0.5=0.125 1八3=0.5+0.5A3=0.125+3 X 0.125+3 X 0.125+0.1

3、25 = 0.125+0.375+0.375+0.125 = 1。3個正面的概率2正1反的概率1正2反的概率3個反面的概率0.1250.3750.3750.125二項式展開的牛頓公式表示為：(a+b)An=aAn + n!/m!(n-m)!aA(n-m)bAm+bAn (其中m=1,2,.n-1)。即這種類型的問題(如擲屢次硬幣)的概率分布恰好可以用二項 式展開的牛頓公式表示。 而這也就是為什么把這種概率分布類型稱為 二項分布的原因。如果a, b并不等于0.5 ,那么只要把A事件出現(xiàn)的概率以p代入, 把B事件的出現(xiàn)概率以(1-p)代入，以上公式仍然正確，(a+b仍然=1)。所以對于僅有A, B

4、兩個結局的隨機事件，如果A事件出現(xiàn)概 率為p, B事件的出現(xiàn)概率為1-p,那么在n次隨機實驗中A事件出 現(xiàn)n-m次、B事件出現(xiàn)m次的情況(對應一種復合事件)的出現(xiàn)概率P應當是(這里的P是大寫的)：P=n!/m!(n-m)!pA(n-m)(1-p)Am(其中m=0,1,.,n)注意到上面公式的對稱性，它也可以寫為P=n!/m!(n-m)!pAm(1-p)A(n-m)。它就是所謂二項分布概型的隨機事件的出現(xiàn)概率公 式，也是牛頓二項式展開在變量為對應概率值的情況下的通項。二項分布 正文概率論中最常用的一種離散型概率分布。假設隨機變量 X X 取整數(shù)值 k k 的夕0=4=，*上1-=bki nfp概

5、率為伏=0,1,，式中 n n 是給定的正整數(shù)；。3心二可四5一劫是從n n 個對象中任意選 取 k k個的組合數(shù)，那么稱 X X 的分布為二項分布，記作 B Bn,p。它的命 名來源于 b bk;n n,p恰好是【1-p+pn的二項式展開的第 k k+1項。 從不合格品率為p的產(chǎn)品中獨立地抽出 n n 個每次抽一個，抽出后又 放回，其中恰有 k k 個不合格品的概率就是 b bk k;n n,p;統(tǒng)計學由此建 立檢驗產(chǎn)品質量的方案。類似的例子在生產(chǎn)實踐和科學試驗中是常見 的。將這類問題模型化，假設每一次試驗只有兩個可能結果：A A 以及它的對立事件 A Ac ,出現(xiàn) A A 的概率為RA=p

6、，出現(xiàn) A Ac的概率那么為1-p。這種只有兩個可能結果的隨機試驗稱為伯努利試驗，將這種試驗獨立 地重復進行n n 次所組成的隨機試驗稱為 n n 重伯努利試驗，其中 A A 出現(xiàn) 的次數(shù) X X 是一個服從二項分布qn,p的隨機變量。假設隨機變量服從二項分布Rn,p,那么它的數(shù)學期望為 n np,方差為 n np1-p,特征函數(shù)為1-p+peit n ,母函數(shù)為1-p+ps sn。當 k k 由0依次增大到 n n 時,b bk k;n n,p先增大后減小，當 k k=n n+1p】記號】表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)時，b bk k;n n,p取最大值；假設n n+1p是整數(shù)，那么 k k 在n

7、 n+1p-1及n n+1p處都使 b bk k;n n,p取最大值見圖) 一一 一一 ?如果 X X 服從Rni,p),i=1,2,5,而且 X X,X,，獨立，那么占,服從 后 人 如果X服從 B B(n n,p),那么對任何實數(shù)8 日明了：假設那么處必7制這說明，當p很小而 n n 較大時，B B(n,p)可以用泊松分布近似。正是這兩個定理揭示了概率論中最重要的正態(tài)分布和泊松分布的意義，對概率論的開展有著深遠的影響。此外，多重伯努利試驗中在出現(xiàn)第 r r 個 A A 以前 A A 不出現(xiàn)的試驗次數(shù)的概率分布就是負二項分布，又稱帕斯卡分布。特別當 r r=1時,就是幾 何分布。如果每次試驗

8、的可能結果多于兩個，那么二項分布就推廣為多項分布。二項分布-應用條件1 .各觀察單位只能具有相互對立的一種結果， 如陽性或陰性， 生存 或死亡等，屬于兩分類資料。2 .發(fā)生某一結果陽性的概率為 兀，其對立結果的概率為1-兀，實際工作中要求兀是從大量觀察中獲得比擬穩(wěn)定的數(shù)值。二項分布公式3 . n次試驗在相同條件下進行，且各個觀察單位的觀察結果相互獨立，即每個觀察單位的觀察結果不會影響到其他觀察單位的結果。如要求疾病無傳染性、無家族性等。二項分布-分布區(qū)別兩點分布又稱伯努利分布兩點分布的分布列就是x 0 1P 1-p p不管題目有什么區(qū)別，只有兩種可能，要么是這種結果要么是那種結果，通俗點，要么成功要么失敗而二項分布的可能結果是不確定的甚至是沒有盡頭的 ，列一個二項分布的分布列就是X 0 1 2 . nP C(0)(n) - (1-p)An C(1)(n)- p (1-pF(n-1)C(n)(n) - pn (1-p)A0也就是說