GPS高程擬合方法

1、GPS高程擬合方法3.1 等值線圖示法等值線圖示法是最直接的求算高程異常的方法。這種方法的核心思想就是內(nèi) 插的思想，繪制高程異常的等值線圖，然后采用內(nèi)插法來確定未知點的高程異常 值。具體操作十分的簡單，在測區(qū)內(nèi)制定分布均勻的GPS點，用水準測量的方 法來測定這些點的水準高，根據(jù)公式白盡辦,求出這些點的高程異常，選擇適當(dāng) 的比例尺按照已知點的平面坐標展會在圖紙內(nèi)，對已知點標注出高程異常值，再 確定等高距，繪制出高程異常值的等值線圖。之后就可以內(nèi)插出待測點的高程異 常值，進而求出待測點的正常高。這種方法只適用地形相對平坦的地方，在此種 測區(qū)內(nèi)采用這種方法擬合的高程精度可達到厘米級。測區(qū)的地形相對復(fù)

2、雜內(nèi)插出 的高程異常值就不準確，而且這種內(nèi)插法的精度往往取決于兩個方面，分別是測 區(qū)內(nèi)GPS點的分布密度和已知點大地高的精確度。首先GPS點的分布比較密集, 那么內(nèi)插精度就相對較高，如果比較稀疏這時候就要借助于此測區(qū)的重力測量資 料，提高內(nèi)插精度。且還要注意GPS點間高程異常的非線性變化。另外就是水 準點的精度，聯(lián)測時盡量選取高精度的正常高，盡可能使得出的高程異常值準確, 進而才能內(nèi)插出待測點高精度的高程異常值。這種方法雖然簡單易操作，但是有 其弱點，就是精度不高，只有當(dāng)對擬合精度要求不高的時候才使用此種方法（注： 等值線法不需構(gòu)造數(shù)學(xué)模型）。3.2 狹長帶狀區(qū)域線性擬合解析內(nèi)插法作為擬合高程

3、最常用的方法，主要思想是把似大地水準面用數(shù)學(xué) 曲面近似擬合，建立所在測區(qū)內(nèi)最為接近似大地水準面的數(shù)學(xué)模型，以此來計算 測區(qū)內(nèi)任意點的高程異常值，從而計算出正常高。這種方法計算出的高程異常值 的精度是由所采用的數(shù)學(xué)模型和似大地水準面的擬合程度所決定的。解析內(nèi)插法在選擇數(shù)學(xué)模型時，首先要考慮的就是GPS點的分布情況。GPS 點的分布情況可分為帶狀分布和面狀分布。若GPS點是呈線狀布設(shè)，而且是以 沿線似大地水準面為一條連續(xù)且光滑的曲線，這時就可以采用相對于狹長帶狀區(qū) 域的解析內(nèi)插法來內(nèi)插出待定點的高程異常值，從而求出待定點的正常高。這種 線狀分布的內(nèi)插原理是：測區(qū)內(nèi)已知水準點，用GPS測出其GPS高

4、程，計算出 已知水準點高程異常值，根據(jù)已知點的平面坐標和計算得出的高程異常值，構(gòu)造 出一個插值函數(shù)，這個函數(shù)是用來擬合GPS分布線上的似大地水準面的。用這 個函數(shù)內(nèi)插出位置點的高程異常值。下面是兩種用來擬合線狀分布的GPS高程 的內(nèi)插法。3.2.1 多項式曲線擬合法多項式曲線擬合是線狀分布擬合的主要方法。多項式擬合顧名思義其插值函 數(shù)是一個?次的代數(shù)多項式，若高程控制點的高程異常為與坐標為陽（或或4 或擬合坐標或工廠、0或%少0）的函數(shù)關(guān)系為下式：=。0+。1 療 +a2Xi +a3xf + amxn3-i各高程控制點的已知高程異常與其擬合值之差為下式所示：=q（x），（i=O，1，2 “）3

5、-2上式我們稱之為離差。（3-1）中是擬合點到參考點（乙, %）的直線距離，%0, %為設(shè)定的常數(shù)值。在一般情況下都認為,工。,%就是測區(qū)內(nèi)已知點坐標的均值。多項式曲線擬合使用起來非常方便，但是它有自身的局限性，即是使用這種 方法的時候，所測路線不能太長，要限制控制點到測點的距離不能太遠，通常把 距離控制在300米以內(nèi)。這個要求是因為使用多項式曲線方法擬合似大地水準面, 如果它擬合的范圍太大，點位的高程異常變化就越復(fù)雜，削高補低的方法不能滿 足我們所要求的精度。隨著多項式階數(shù)的增大，也會使擬合出的曲線振蕩的更厲 害，從而造成擬合的誤差增大。這些造成了多項式曲線擬合的缺陷，但是在路線 較短的情況

6、下，這種方法有足夠的精度來擬合GPS點的正常高程。在式（3-1）中用?次多項式擬合似大地水準面，這個m的值如何取定，一般 情況下如果測區(qū)不是很長，地形相對平坦，那么我們通常取?取為3。也就是說 多項式為三次多項式。若測區(qū)比較長或者是測區(qū)地形比較復(fù)雜就要依情況而定， 增加多項式的次數(shù)，提高擬合精度。依上述分析?的取值主要和測區(qū)長度以及 測區(qū)的復(fù)雜程度有關(guān)。3.2.2 三次樣條曲線擬合法三次樣條曲線擬合法針對測線長，已知點多的測區(qū)GPS高程擬合問題。由 上述可以知道，當(dāng)測線比較長已知點較多的時候，就需要構(gòu)造高次的擬合多項式, 當(dāng)機值比較高的情況下，會出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象，對求解高程異常值會有比較大 的

7、影響，并且最小二乘法在求多項式系數(shù)中也會增大削高補低的誤差，因此為了 避免測線長、已知點多這種情況下所出現(xiàn)的問題，通常采用分段擬合的方法，采 用三次樣條函數(shù)擬合數(shù)學(xué)模型。這種方法很好的解決了因測線長而引起的問題。三次樣條曲線的實質(zhì)就是一個拼接而成的連續(xù)函數(shù)，在把測線分為多段的情 況下，每段設(shè)為三次多項式函數(shù)，然后將這些多項式函數(shù)組成三次樣條函數(shù)。為 了計算準確，應(yīng)用中要求這種構(gòu)造的曲線不僅在連接點處函數(shù)要連續(xù)。而且還要 求這個函數(shù)的一級導(dǎo)數(shù)還有二級導(dǎo)數(shù)全部要是連續(xù)的，才能保證在分段之后構(gòu)造 的三次樣條函數(shù)后期運算中能夠計算出準確的高程異常值。設(shè)過個已知點，6和修（或%或擬合坐標）在區(qū)間因,為+

8、1（，=1,2,-1）上 有三次樣條函數(shù)關(guān)系：久。=44）+（4/）篁?qū)O陽+1）+。）（X - Xi+1）C（x,即 Xi+1）3-3式中,x為待定點坐標,汽修,4+1）為一階差商,貫陽,%+i）=（G+i 。）/（為+1-%）； 汽x,即 +1）為二階差商,C（xf+1）勺<"（%）+<”。）+<"（%+1）,而<”（x）（i=l, 2,-1）,滿足系數(shù)矩陣為對稱三角陣的線性方程組（無一無+1）。（/_力+2（無+i，/_力（/）+（演+i，/），（無+力=6K(x,/+i)-4x, %i)3-4<(%o)=(M(xn)=O用追趕法解上面方程

9、組，可求出"(%)和。無，%+1),而(/)+。-無)。(4計工)3-5這種做法有諸多好處，其中優(yōu)點有三點：其一計算簡便，其二保留了多項式 的優(yōu)點，其三克服了多項式的缺點。多項式的缺點是單個多項式會有不靈活不穩(wěn) 定的現(xiàn)象。由于三次樣條曲線的種種優(yōu)點，往往在實際中當(dāng)遇到測線長已知點多 的情況下采用此方法擬合高程。3.3 曲面擬合法曲面擬合法是用于GPS點的分布在一定區(qū)域的時候，且可以選擇數(shù)學(xué)曲面 擬合該區(qū)域的似大地水準面，構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，計算該區(qū)域內(nèi)的高程異常值, 然后求出正常高。這種擬合法的主體思想和曲線擬合法異曲同工的。具體思想是: 已知測區(qū)的若干已知水準點，并且用GPS測定這

10、些點的高程，利用公式求得這 些點的高程異常，有了已知點的高程異常，已知點的平面坐標是已知的，所以利 用其平面坐標(x, y)和高程異常值。構(gòu)造出來的數(shù)學(xué)模型擬合最為接近于該測區(qū) 的似大地水準面，然后內(nèi)插出未知點的高程異常值或進而求出正常高。3.3.1 多項式曲面擬合法測站點的大地高H與正常高h之間有如下關(guān)系:h=H-Q-6多項式函數(shù)擬合法的基本思想是在小區(qū)域GPS網(wǎng)內(nèi)，將似大地水準面看成 曲面(或平面)，將高程異常表示為平面坐標(x, y)的函數(shù)，通過網(wǎng)中起算點(既進 行了 GPS測量乂進行了幾何水準聯(lián)測的點)已知的高程異常確定測區(qū)的似大地水 準面形狀，求出其余各點的高程異常，然后根據(jù)式(3-

11、6)求出其他點的正常高，其 數(shù)學(xué)模型為：y)+e3-7式中兀v, y)是擬合的似大地水準面：£是擬合誤差，於，y)=a0+a1x +a2y+a3x2 +a4xy+a5y2 +-3-8x=B-B0 y=L-L0 殳=隹 8 L。=： £ L其中：為GPS網(wǎng)中點的數(shù)量，(B, L)為已知點的大地坐標，%，%，的，%， 。4，。5為擬合待定參數(shù)：- y為各GPS點的平面坐標的近似值，一般取起 算點的平面坐標減去網(wǎng)中全部點平面坐標的均值。(1)二次曲面擬合取(3-8)式中的一、二次項后將大地水準面擬合為：/(x, y)=a0+a1x+ a2y+a3x2+ a4xy+a5y23-9即

12、得二次曲面擬合模型：會。0。述2a3a4a511 % y x2 xy y2 T +e3-10每一個起算點可以組成一個上式，若共存在m個這樣的起算點，則可列出 m個方程：<1=a0+a2yl+。3 后+。5赤+與<2 =% +Q%2 +。2y2 +。3 好 +。4%2又2 +。5 鳧 +f2=«o +/Xm +a2ym+a3x +a4xmym +a5y +sm3-ll從而組成誤差方程:V=-Bx+L3-12i % %- yi .上式中，b= i x2y22 yl %2、2， " 1 "m ymrrt 3加%1-.1 二% Qi cl2 % "4

13、 %/，閆142才，解得解算出處即可求出網(wǎng)中其余點的高程異常，并利用式(3-6)求出各未知點的正 常高/?。(2)多項式平面擬合在小范圍或平原地區(qū)，可以認為大地水準面趨近于平面。此時，可選用公式 (3-8)的前三項，將大地水準面擬合為：於，y)=(j+aix+d2y 3-14擬合模型為：1a2, lx yT+£3-15其中，s(i=O, 1,2)為未知參數(shù)，此時要求公共點至少3個。(3)多項式相關(guān)平面擬合：也叫做四參數(shù)曲面擬合，若選用公式(3-8)的前三項和第五項進行擬合，則擬 合曲面的表達式變?yōu)?fix， y)=ao+aix+a2y+a3xy 3-16擬合模型為：f=a0a1a2a

14、5lx y xy T+e3-17其中，gO, 1,2, 3)為未知參數(shù)，此時需要公共點至少4個。332移動曲面擬合法移動曲面擬合法是一種局部逼近法，其基本思想是以每一個內(nèi)差點為中心, 利用內(nèi)差點周圍數(shù)據(jù)點的值，建立一個擬合曲面，使其到各個數(shù)據(jù)點的距離之加 權(quán)平方和為極小，而這個曲面在內(nèi)插點上的值就是所求的內(nèi)插值。設(shè)尸為內(nèi)插的點，下面對尸構(gòu)造相應(yīng)的曲面。本文取如下的二次多項式曲 面為例：f(x, y)=a0+a1x +a2y+a3x2 +a4x)+a5y23-lS設(shè)選取數(shù)據(jù)點的坐標為(如), i=l,2,次且設(shè)內(nèi)插點尸的坐標為 (xp,yp)o將(修,力)改化到以尸為原點的局部坐標系中，即：K=

15、%3-19形成新的坐標(不，刀)，為移動坐標。任一點數(shù)據(jù)(%,%)假設(shè)距離d的遞減函數(shù)為:co (d)=小a _ Xp)2 + (% - %)2 3-20將3(4)作為權(quán)函數(shù)，對每個數(shù)據(jù)點賦予權(quán)處，這里9不是代表數(shù)據(jù)點的觀 測精度，而是反映該點與內(nèi)插點的相關(guān)程度的大小。因此，權(quán)應(yīng)確定的原則應(yīng)該 與該數(shù)據(jù)點和內(nèi)插點的距離4有關(guān)，&-越小，它對內(nèi)插點的影響越大，則權(quán)應(yīng)越 大。相反，&越小，它對內(nèi)插點的影響越小，則權(quán)應(yīng)越小。最后，由最小二乘法解如下帶權(quán)的極小值問題：Min | £%3田 I =R3-21為了給出二次多項式曲面，式(3-18)的系數(shù)，那么這時需要選取尸點周圍的

16、 數(shù)據(jù)點。當(dāng)點數(shù)不夠多時，則應(yīng)擴大R的取值。現(xiàn)在這里由個數(shù)據(jù)點的值， 可得到如下的方程式：%=。0+。1%+。2%+。3%彳+。4/%+。5'；-力(i=l，2,，“)3-22由此得系數(shù)處(i=l,2,)，從而得到所對應(yīng)的二次曲面方程，進而得到所 求內(nèi)插點的高程異常值。3.3.3多面函數(shù)曲面擬合法多面函數(shù)擬合法的本質(zhì)是數(shù)學(xué)曲面逼近的方法。其基本思想是用數(shù)學(xué)表面逼 近所測區(qū)域的大地水準面，通常認為任何表面，無論這個表面是否是有規(guī)則的, 都能通過一定的方法構(gòu)造出來一個有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面逼近其表面。通過構(gòu)造數(shù)學(xué) 表面，用數(shù)學(xué)表達式高精度的逼近并且代替其真實表面。也就是說每個插值點都 可以和已知

17、點建立起來相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后將這些函數(shù)關(guān)系式迭加在一起, 組成一個全新的函數(shù)關(guān)系式，那么稱這個迭加函數(shù)為多面函數(shù)，由于這是每個插 值點與已知數(shù)據(jù)建立的函數(shù)關(guān)系，因此多面函數(shù)具有計算最佳擬合值的特點，正 因如此，多面函數(shù)曲面擬合法就能夠更準確的擬合出未知點的高程值。多面函數(shù)的數(shù)學(xué)表達式為：丁)二£建1處。，y,修，yt-)3-23多面函數(shù)式中包含了待定系數(shù)處，核函數(shù)Q(x,% , %),其中核函數(shù)是關(guān)于x, y的函數(shù)，核函數(shù)的中心在(整，)處。理論上講核函數(shù)是可以任意構(gòu)造的， 在實際應(yīng)用中，通常用以下幾種函數(shù)來充當(dāng)核函數(shù)。(1)錐面Q(x, y, % , %)=C+(x - xt)

18、2 + (y )2岐3-24(2)雙曲面Q(xf yf y.) =C+(x - x<)2 + (y - yj2 + 52h-25倒曲面1Q(xf y, xif yd=C+(x - xd2 + (y-yd2 + 52?3-26(4)三次曲面Q(x, y,4，) =C+(x - Xi)2 + (y- yj2 + ”向-27在上述各式中，(x, y)表示內(nèi)插點坐標，(陽,)表示的是已知點的坐標，那 么核函數(shù)中的。一%)2 + (y %尸表示的是內(nèi)插點到已知點的水平距離，式中 的參數(shù)d為光滑系數(shù)。其具體求解過程為：以核函數(shù)為雙曲面為例，說明多項式曲面擬合法的具體求解過程，設(shè)測區(qū)內(nèi) 的已知點個數(shù)為

19、求解(3-23)中的系數(shù)(%,。2,。3,M)，其矩陣形為下式所示：C=XB3-28其中，金© <2金了，8二% 的,03 , n由此方程組可解得系數(shù)(%,電，/，品)的唯一解:8二啕-29求解未知點的高程異常值，根據(jù)公式(3-28)和(3-29)即可得到求解p=XPB=XpX-13-30根據(jù)以上求解過程可知，(3-30)式中的已知點的高程異常值直接關(guān)系到未知 點的高程異常值的計算結(jié)果，因此，如果想要更好的解算出未知點的高程異常值, 必須認真選取已知點，并且使所選的已知點的高程異常值相差比較大，因為這些 點能最好的描述地形變化特征，即高程異常值的分布特征。這些特征點的選擇一 般

20、在地勢高和地勢較低的地方。在選擇多面函數(shù)求解測區(qū)內(nèi)的點的高程異常值的時候，需要注意的是d以及 核函數(shù)的選取的問題，由于其取值是自主取值，為了能達到擬合最佳效果，就要 逐步的試驗進而改進，然后選定一個最佳取值。3.4 地球重力場模型擬合法所謂的地球重力場模型擬合法的關(guān)鍵是要收集相關(guān)的重力場信息，這些數(shù)據(jù) 包括衛(wèi)星跟蹤數(shù)據(jù)、衛(wèi)星測高數(shù)據(jù)以及地球重力數(shù)據(jù)等。收集到足夠的數(shù)據(jù)后利 用地球撓動位的球諧函數(shù)級數(shù)展開式求算測區(qū)內(nèi)點的高程異常值彳進而求得點 位的正常高。求取測區(qū)內(nèi)一點P高程異常之前要先計算出該點的撓動位，由物理學(xué)知識可以 知道地面一點p的撓動位的計算公式是由該點引力位口成去該點的正常引力位u

21、求得的。其公式如下:T=V-U3-3那么地面點P的高程異常值：就可以利用撓動位求得：C=T/r3-32上式中，為是尸點的正常重力值。由上述兩式中可以看出，如果要求出產(chǎn) 點高程異常就要知道該點的引力位、正常引力位以及和正常重力值。其中正常重 力值和正常引力位都是可以精確的計算出來的。如果尸點的引力位知道，那么 就可以汁算出該點的高程異常值。提高引位的精度就是提高高程異常值的精度。這種方法的缺點就是要收集比 較多的數(shù)據(jù)，有時候在測區(qū)內(nèi)會缺少某些數(shù)據(jù)，采用這種方法就會受到限制。而 且這種方法的精度受到收集到的數(shù)據(jù)的精度的限制往往比不上前面所述方法的 精度高。3.5 地球重力場結(jié)合GPS水準擬合法從前

22、面可以看出無論是GPS水準擬合法或是利用地球重力場計算高程異常 值，其分別都會有優(yōu)點或缺點，在實際應(yīng)用中，往往希望突出優(yōu)點避免缺點，所 以如果把兩種方法結(jié)合起來，這是一個提高高程異常值精度的新思路?？梢栽谝?后的實踐中應(yīng)用。該方法的基本思路是：首先在已知水準點用GPS測出大地高，利用大高和 正常高的差值求出高程異常然后再利用地球重力場模型法求出已知點的高程 異常好，兩種方法的高程異常值求出后，由于所用方法的不同，所以會有差值， 計算出兩者的差值。如下所示：.3-33已知點的兩種高程異常的插值計算出后，用其平面坐標和差值在構(gòu)造出的曲 面數(shù)學(xué)模型中推算出未知點的么或由于g是由地球重力場模型法求出的

23、，所以就可以計算未知點的正常高。其計算公式如下:3.6 本章小結(jié)當(dāng)前在實際應(yīng)用的方法可以大致分為四類，線性擬合模型、曲面擬合模型、 地球重力場模型擬合法、地球重力模型與GPS水準相結(jié)合法。這些方法都要根 據(jù)地形的情況、數(shù)據(jù)收集的情況等選擇一種擬合效果最佳的擬合方法。只有選擇 對的擬合方法，才能在后面的過程中得到理想的擬合結(jié)果。當(dāng)GPS點成線狀分布的時候，本文介紹了二種模型可供選擇，這二種模型 是多項式曲線擬合法和三次樣條曲線擬合法。其擬合的精度與自身的條件和擬合 條件相關(guān)。一般情況下，如果選點比較合適且已知聯(lián)測點分布比較均勻，都能達 到厘米級的精度。多項式曲線擬合法簡單易理解且要求的已知點數(shù)少

24、，缺點是其 只考慮一個方向，求出的高程異常值不是非常準確。三次樣條曲線擬合法適用測 線長控制點多的情況。此種方法把測區(qū)分為幾段，每段用多項式函數(shù)表示，然后 拼接為三次樣條函數(shù)，這樣做的目的是為了避免最小二乘原理的弊端。由于最小 二乘原理在擬合比較多的已知點的時候會出現(xiàn)誤差較大的現(xiàn)象，對擬合結(jié)果產(chǎn)生 不良的影響。當(dāng)GPS點成面狀分布的時候，通常用曲面擬合法進行擬合，曲面擬合的方 法有很多，其中主要有多項式曲面擬合法、平面及平面相關(guān)擬合法、移動曲面擬 合法及多面函數(shù)曲面擬合法。和前面帶狀曲線擬合一樣，這四種方法對于曲面擬 合來說各自有優(yōu)缺點，各自適用于不同情況。其中多項式曲面擬合最為普遍與基 礎(chǔ)，

25、這種方法就是用多項式函數(shù)擬合測區(qū)的似大地水準面，與多項式曲線擬合不 同的是它考慮兩個方向的高程異常值，所以它的項數(shù)是比較多的，因此通常用二 次或三次多項式。這種方法一般用于地勢比較平坦的地區(qū)，當(dāng)?shù)貏荼容^復(fù)雜的時 候，就要求加入地形改正值消除地形的影響。平面及平面相關(guān)擬合法主要用于地 勢近似于平面，或所測測區(qū)面積較小的時候，用這種模型擬合高程計算簡單，高 程精度基本上可以滿足一般工程的需要。移動曲面擬合法是一種局部逼近法，這 種方法適合地形較復(fù)雜且對擬合結(jié)果精度要求較高的情況下。當(dāng)?shù)匦伪容^復(fù)雜的 地區(qū)時，用面函數(shù)曲面擬合法無限逼近測區(qū)的似大地水準面。其中要分清楚多項 式曲面擬合法和多面函數(shù)曲面擬

26、合法的區(qū)別，多項式擬合適合地形平坦且高程異 常變化值單一，表現(xiàn)在地形上就是其地勢向一個方向突出，且擬合區(qū)域不能太大。 但是多面函數(shù)曲面擬合法就和其恰恰相反，它適合按網(wǎng)狀分布的GPS聯(lián)測點， 地形比較復(fù)雜，控制點比較多的測區(qū)。而且當(dāng)已知聯(lián)測點及顯著點越多的時候, 其擬合出的高程異常值就會越高，其缺點就是沒有辦法先計算出合適光滑因子。 只有經(jīng)過多次的驗證改進才能確定出合適的光滑因子，然后計算出精度比較高的 高程異常值，進而求出高精度的正常高。相對于其他擬合法，重力場模型擬和法就相對用的較少，主要是對數(shù)據(jù)的要 求比較苛刻，要得到高程異常值，首先要收集相關(guān)的重力場資料，這對于一般的 工程是比較困難的，有時測區(qū)內(nèi)因缺少某些資料就不能采用此種方法，而且這種 擬合方法與收集的數(shù)據(jù)的精度有關(guān)，若受到數(shù)據(jù)誤差影響，那么擬合的結(jié)果往往 是不