水電站非恒定流計(jì)算_課程設(shè)計(jì)指導(dǎo)書

1、水電站非恒定流計(jì)算課程設(shè)計(jì)指導(dǎo)書簡新平河北工程大學(xué) 水電學(xué)院前 言水電站非恒定流，包括動(dòng)力渠道涌波、調(diào)壓室水位波動(dòng)、壓力管道水擊等過程。這些過程都屬于水力非恒定流，是水電站設(shè)計(jì)中水力計(jì)算的難點(diǎn)，也是相應(yīng)的水電站引水建筑物設(shè)計(jì)的控制工況。課程設(shè)計(jì)的目的，是通過鍛煉使同學(xué)們把握這些水電站非恒定流計(jì)算的方法，結(jié)合計(jì)算機(jī)的應(yīng)用，鍛煉解決比較復(fù)雜的計(jì)算問題的能力。本指導(dǎo)書主要講述動(dòng)力渠道涌波、調(diào)壓室水位波動(dòng)、壓力管道水擊等過程的計(jì)算方法。希望同學(xué)們?cè)谡n程設(shè)計(jì)工程中，充分理解這些方法，并在此基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用，利用計(jì)算機(jī)編程或者Excel表格計(jì)算。最后，要求同學(xué)們不能在課程設(shè)計(jì)說明書中照抄本指導(dǎo)書中的內(nèi)容，課

2、程設(shè)計(jì)說明書應(yīng)該根據(jù)自己的計(jì)算過程，獨(dú)立編寫。第 1 章 擴(kuò)散差分求解明渠一維非恒定流1. 1 圣維南（Saint-Venant）方程組1. 1. 1 規(guī)范中的計(jì)算公式運(yùn)動(dòng)方程： （1）連續(xù)方程： （2）以上為水電站引水渠道及前池設(shè)計(jì)規(guī)范（SL/T20597）附錄公式。式中，A 橫斷面積， Q 流量， v 平均流速， h 水深，m 渠底縱坡 摩擦坡度 t 時(shí)間 x 沿渠底度量的距離向下游為正 g 重力加速度 q 橫向進(jìn)流量，入流為正，出流為負(fù)，因次為 橫向進(jìn)流流速沿下游方向的分量對(duì)于求解的水電站引水渠道中的涌波，屬于弱解，其差分格式應(yīng)滿足相容性、收斂性、穩(wěn)定性及幅度耗散性。計(jì)算的初始條件為渠道

3、恒定流時(shí)的流速和水深。上游邊界條件，一般假定上游水位為常數(shù)，對(duì)于自動(dòng)調(diào)節(jié)渠道是適宜的；對(duì)非自動(dòng)調(diào)節(jié)渠道（通常設(shè)有側(cè)堰）或有調(diào)節(jié)池布置的情況時(shí)，宜按實(shí)際情況建立其上游邊界條件。下游邊界條件一般為出流量變化條件，此時(shí)忽略壓力管道中的水彈性現(xiàn)象，假定機(jī)組過流量的變化就是前池出流量的變化。1. 1. 2 公式的變化對(duì)梯形斷面，。此時(shí)，B為水面寬度。對(duì)矩形斷面，。B為水面寬度，也是矩形斷面寬度。事實(shí)上，對(duì)于非棱柱體，都有，B為水面寬度。當(dāng)時(shí)，考慮到（摩阻坡度），用s代替x表示沿渠底向下游的長度，上述方程可簡化為： （3） （4）對(duì)于（3）式，結(jié)合上圖理解如下：由，得到。當(dāng)?shù)丶铀俣?，即時(shí)變加速度)是液體

4、在重力的分力（）、摩擦阻力（）、水壓力差（）這三個(gè)力的合力下產(chǎn)生的總加速減去位變加速度(，即遷移加速度)后的加速度值。非恒定流的本質(zhì)是，非恒定流在斷面上的加速度隨時(shí)間變化。恒定流不是沒有加速度，而是流場內(nèi)各點(diǎn)的加速度分布不隨時(shí)間發(fā)生變化。當(dāng)?shù)丶铀俣葹?、遷移加速度也為0時(shí)，為（恒定）均勻流。從歐拉視角，如果停留在某一斷面觀察，則是某一斷面上速度隨時(shí)間的變化率?？梢赃@樣理解，當(dāng)時(shí)間增加時(shí)，速度的增量為，即為當(dāng)時(shí)間變化時(shí)液體沿長度方向移動(dòng)，而不同s位置的速度不同（非恒定流或非均勻流時(shí)水深沿程變化，流量和動(dòng)能沿程變化。均勻流時(shí)水深、流量和動(dòng)能沿程不變化。）流速沿程變化。部分加速度導(dǎo)致液體之間交換能量

5、，導(dǎo)致液體自身的勢能和動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)水流為恒定流時(shí)，任一斷面上，速度不隨時(shí)間變化，。但是加速度的部分可以不為0，考慮到，此時(shí)得到恒定漸變流的方程：上式說明，恒定非均勻流時(shí)，勢能沿程的變化，一方面轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，一方面用來克服摩擦阻力。加上流量沿程不變的連續(xù)性方程，就可以計(jì)算恒定非均勻流水面線。對(duì)于（4）式，可以利用質(zhì)量守恒來理解，進(jìn)入水體和流出水體的流量不相等，會(huì)導(dǎo)致水水深變化。1. 2 擴(kuò)散差分法1. 2. 1 幾種差商導(dǎo)數(shù)定義，則差商是導(dǎo)數(shù)的近似，而導(dǎo)數(shù)是差商的極限。一階差商可有向前、向后和中心差商三種情況。（1） 一階向前偏差商sABss+在B點(diǎn)處對(duì)s的一階偏差商：（2） 一階向后偏差商s

6、ABss-在B點(diǎn)處對(duì)s的一階偏差商：（3） 一階中心偏差商sCBss-As+在B點(diǎn)處對(duì)s的一階偏差商： 一階中心偏差商，也可以看成是前后兩偏差商的平均值。顯然，用中心偏差商來代替導(dǎo)數(shù)，較之用前后偏差商的精度為高。差分格式收斂的必要條件是庫朗（Courant）條件水力學(xué)（第四版）下冊(cè)，清華大學(xué)水力學(xué)教研組編。：常用的顯示差分格式有擴(kuò)散格式、蛙跳格式等。擴(kuò)散格式在時(shí)間上取帶權(quán)的差商代替微商，在空間上取中心差商。蛙跳格式在時(shí)間和空間上均取中心差商。1. 2. 2 擴(kuò)散差分格式用G代表函數(shù)，在節(jié)點(diǎn)上取微商：域內(nèi)節(jié)點(diǎn)采用 （5） （6）式中稱為權(quán)因子，它在0,1區(qū)間內(nèi)取值。顯然，取值不同式（7）右端值不

7、同。實(shí)踐表明，時(shí)，結(jié)果比較光滑；當(dāng)時(shí)，格式不穩(wěn)定；當(dāng)時(shí)為拉克斯格式（Lax格式，純擴(kuò)散格式，穩(wěn)定格式）。經(jīng)驗(yàn)表明，取較小值時(shí)，如，?？傻幂^好的成果。當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，如果在每個(gè)瞬時(shí)計(jì)算流段中，函數(shù)成線性變化，無論取什么樣的值，式（7）右端則不變。顯而易見，若函數(shù)呈凹或凸曲線變化，則或。因此，說明函數(shù)呈非線性變化時(shí)（河渠中非恒定流絕大多數(shù)如此），的偏差商隨的取值而改變，而且隨著時(shí)間的推移不斷地發(fā)展下去。由此可見，的取值是否符合實(shí)際的水流情況這是數(shù)值計(jì)算中影響穩(wěn)定性的原因。域上邊界節(jié)點(diǎn)為 （7） （8）域下邊界節(jié)點(diǎn)為 （9） （10）方程（5）、（6）中的變系數(shù)及非導(dǎo)數(shù)項(xiàng)、等，用、計(jì)算，或者用、 等計(jì)

8、算。不難看出，當(dāng)函數(shù)在j+1至j-1呈線性變化時(shí)，上面兩種取法相同，否則，結(jié)果是不一致的。根據(jù)上述規(guī)定，將偏微分方程（3）、（4）離散化，便得到整個(gè)變量域節(jié)點(diǎn)的代數(shù)型方程組。1. 3 明渠非恒定流數(shù)值求解考察明渠非恒定流方程： （3） （4）當(dāng)沿長度方向離散渠道時(shí)，對(duì)于處的域內(nèi)節(jié)點(diǎn)j，對(duì)長度的偏導(dǎo)數(shù)用中心差商計(jì)算， （11）考慮到初始條件為恒定流以及恒定流計(jì)算方法，為保持計(jì)算的穩(wěn)定性，動(dòng)能項(xiàng)可以考慮用 代替 ，保證在恒定流下數(shù)值的穩(wěn)定性。因?yàn)?，式?）也可以寫成：。根據(jù)式（11），可以將（3）、（4）離散成： （12） （13）對(duì)于渠道進(jìn)口，運(yùn)動(dòng)方程離散為： （12）其中，是為保證計(jì)算的穩(wěn)定性

9、并與初始恒定流一致而采用。對(duì)于渠道出口，運(yùn)動(dòng)方程離散為： （12）其中，NJ為斷面總數(shù)。對(duì)梯形斷面，結(jié)合以下公式計(jì)算：，第 2 章 調(diào)壓室水力計(jì)算的基本方程式連續(xù)性方程：Q=fwV+FdZdt動(dòng)力方程：Z=hw+LgdVdt其中，Q是壓力管道引用流量。hw是引水道的瞬時(shí)水頭損失，一般包括沿程水頭損失和局部水頭損失：hw=hf+hj=(Ld+)V22g上式中，沿程阻力系數(shù)=8gC2，謝才系數(shù)C=1nR16=1n(d4)16，R是水力半徑，d是管道直徑。連續(xù)性方程變形：dZdt=(Q-fwV)/F動(dòng)力方程變形：dVdt=(Z-hw)gL加速度dVdt以向下游為正。非恒定流時(shí)，引水道的瞬時(shí)水頭損失有

10、方向，以速度向下游阻力向上游時(shí)為正，與速度方向有關(guān)：hw=hf+hj=(Ld+)V|V|2g對(duì)阻抗式調(diào)壓室，hw應(yīng)該計(jì)入阻抗孔造成的水力損失：hk=-K孔Q孔|Q孔|2gA孔2hk以水流流入調(diào)壓室為正。水流流入調(diào)壓室的流量Q孔以流出調(diào)壓室為正：Q孔=Q-fwV。調(diào)壓室阻抗系數(shù)K孔在水流流入和流出調(diào)壓室時(shí)的值一般不相同。A孔是阻抗孔的面積。第 3 章 水擊計(jì)算的特征線法3. 1 水擊計(jì)算的基本方程式運(yùn)動(dòng)方程：（考慮摩阻損失） （1）連續(xù)方程：（考慮管軸線傾斜影響） （2）式中，D為管道直徑，為沿程阻力系數(shù)，s為長度，方向與恒定流時(shí)的水流方向一致。管軸線與水平線的夾角為。水擊波速為。3. 2 特征

11、線方程及特征方程組特征線法的原理是：將偏微分方程組轉(zhuǎn)化為特殊的全微分方程，即特征方程，然后再轉(zhuǎn)化為一階有限差分方程，求其近似解。將基本方程式改寫為： （3） （4）將上面兩個(gè)方程式用一個(gè)待定系數(shù)進(jìn)行線性組合如下： （5）即 （6）設(shè)，是方程的解，則它們的全微分為 （7） （8）如果 （7） （8）則式（6）可以變?yōu)槌Ｎ⒎址匠蹋?（9）滿足式（7）（8）的條件是： （10）因此 （11）在st平面上，式（11）代表兩族曲線，稱為特征線，式（11）稱為特征線方程。沿特征線，式（9）成立，稱之為特征方程。反映了水擊順波波峰的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；反映了水擊逆波波峰的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。因此，稱代表的特征線為順波特征線，用

12、表示；稱代表的特征線為逆波特征線，用表示。將的兩個(gè)值代入式（9），并與式（11）對(duì)應(yīng)組合，可得兩個(gè)微分方程組：沿： （12）沿： （13）上述兩對(duì)常微分方程組統(tǒng)稱為特征方程組。這樣我們就把求解偏微分方程組轉(zhuǎn)化成為求解常微分形式的特征方程組。在推導(dǎo)特征方一程組的過程中，沒有做過任何數(shù)學(xué)近似。因此，特征方程組的解就是原來偏微分方程組所描述的水擊問題的解。3. 3 特征方程組的求解在特征方程組中，特征線方程(11)實(shí)際上分別是常微分方程(12)和(13)的約束條件。只有沿著相應(yīng)的特征線或，才能對(duì)常微分方一程(12)或(13)進(jìn)行積分求解。也即特征線法只能沿著特征線求解各個(gè)水擊要素(水頭H和流速v)。

13、特征線法是一個(gè)近似的數(shù)值解法，且必須在特征線的交點(diǎn)上才有解。但在st坐標(biāo)平面內(nèi)任何一點(diǎn)可以是兩條不同方向特征線的交點(diǎn)，那么就有無限多個(gè)交點(diǎn)。而在實(shí)際中希望交點(diǎn)少，同時(shí)又滿足解的精度和穩(wěn)定性。通常劃分計(jì)算網(wǎng)格的方法有兩種：特征網(wǎng)格法和等時(shí)段網(wǎng)格法（或稱標(biāo)準(zhǔn)時(shí)段法）。特征網(wǎng)格法在st坐標(biāo)平面內(nèi)以特征線為網(wǎng)格，經(jīng)過交點(diǎn)的兩組特征線為代表的曲線。因?yàn)関是x，t的未知函數(shù)，曲線的交點(diǎn)也是未知的。因此，特征網(wǎng)格法的幾乎每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都要經(jīng)過反復(fù)迭代，計(jì)算繁瑣。但此法直接求解，精度高，穩(wěn)定性好，只是得不到有規(guī)律的解答。一般在流速v與波速a相比不宜忽略時(shí)和波速并非常數(shù)時(shí)采用。等時(shí)段網(wǎng)格法在st坐標(biāo)平面內(nèi)預(yù)先劃分相

14、等的，組成規(guī)則的矩形網(wǎng)格，網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)是固定的。在流速v與波速a相比不宜忽略時(shí)，特征線方程為，等時(shí)段網(wǎng)格法每一步都需要內(nèi)插，計(jì)算程序復(fù)雜，誤差較大，穩(wěn)定性也較差，但是能給出有規(guī)律的解答。對(duì)于水電站的引水管道，正常流速v遠(yuǎn)小于波速a，而波速a在同一段管道內(nèi)為常數(shù)，若忽略流速v，特征線方程可以近似寫成，則特征線在st坐標(biāo)平面內(nèi)為兩組直線族。在st坐標(biāo)平面內(nèi)劃分網(wǎng)格時(shí)，取，則每個(gè)計(jì)算點(diǎn)都落在節(jié)點(diǎn)上。這樣就避免了內(nèi)插，提高了精度，簡化了計(jì)算程序。下面主要介紹這一方法。（1）有限差分方程一般情況下，所以特征線方程可以近似寫成。將式（12）中的特征方程各項(xiàng)同乘以，得： （14）然后沿順波特征線積分可得（最后

15、一項(xiàng)是阻力項(xiàng)沿長度積分，得到沿程損失）： （15）或者（最后一項(xiàng)是阻力項(xiàng)與波速的乘積，即阻力做功的功率，沿時(shí)間積分，得到沿程損失）： （15'）同理，將式（13）中的特征方程各項(xiàng)同乘以，然后沿順波特征線積分可得（最后一項(xiàng)是阻力項(xiàng)沿長度積分，得到沿程損失）： （16）或者（最后一項(xiàng)是阻力項(xiàng)與波速的乘積，即阻力做功的功率，沿時(shí)間積分，得到沿程損失）： （16'）由于上面兩式中最后兩項(xiàng)的被積函數(shù)v或隨時(shí)間t或位置s的變化規(guī)律事先并不知道，因此，上面兩個(gè)式子的積分不能完全實(shí)現(xiàn)。實(shí)際計(jì)算中可采用近似值代替精確積分。而且，除了摩阻很大的管道外，對(duì)于幾大多數(shù)問題，采用一階近似就可以滿足要求。

16、一階近似就是用已知點(diǎn)A或B的流速取代上面兩個(gè)式子中被積函數(shù)中的流速（取時(shí)段初的流速）。這樣，式（15）和式（16）的積分結(jié)果為： （17） （18）（2）有限差分方程的應(yīng)用前面已提及，在有壓管道的水擊計(jì)算中，管道中的水流流速遠(yuǎn)小于水擊波的傳播速度，即。因此，特征線方程中的v可以略去，特征線方程可以近似寫成，特征線方程變成了斜率為的直線。分成了矩形網(wǎng)格。特征方程的有限差分形式(17)和式(18)可改寫成：沿： （19）沿： （20）其中，變量的上標(biāo)表示時(shí)刻，下標(biāo)表示網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的斷面位置。聯(lián)立求解上面兩個(gè)方程可得j時(shí)刻，節(jié)點(diǎn)i斷面的水頭和流速： （21）（22）邊界上，采用式（19）或（20）求

17、解。中間點(diǎn)采用式（21）或（22）求解。3. 4 邊界條件3. 4. 1 水庫管道上游如果為水庫，可以認(rèn)為水位不變。邊界條件為： （23）其中為已知的水庫水位。 管道的下游出口，若淹沒在下游水位以下，下游也是一個(gè)水庫。3. 4. 2 封閉端引水式水電站聯(lián)合供水方式，壓力管道末端分岔，由幾個(gè)支管分別給各機(jī)組供水。當(dāng)某臺(tái)機(jī)組導(dǎo)葉關(guān)閉，此支管屬于封閉端。封閉端的邊界條件是Q =0。3. 4. 3 管道出口沖擊式水輪機(jī)的噴嘴是一個(gè)帶針閥的孔口，水輪機(jī)轉(zhuǎn)速變化時(shí)對(duì)孔口出流無影響，可以按閥門情況計(jì)算。設(shè)閥門前初始水頭為H0，管內(nèi)初始穩(wěn)定流速為V0，管道面積為A，根據(jù)孔口出流公式： （24）當(dāng)開度變化時(shí)：

18、（25）以上兩式相除得： （26）其中，為閥門相對(duì)開度。根據(jù)式（17），有： （27） （28）其中，A點(diǎn)指閥門處P點(diǎn)之前的那一個(gè)點(diǎn)，由A點(diǎn)上一時(shí)刻的值求得。聯(lián)解式（26）、（28）得： （29） （30）其中，.反擊式水輪機(jī)的情況比較復(fù)雜，其過水流量為三個(gè)自變量的函數(shù)，即與水頭H、導(dǎo)葉開度和轉(zhuǎn)速n有關(guān)。 （31）反擊式水輪機(jī)還有蝸殼和尾水管的影響，二者的水擊壓力是反號(hào)的。3. 4. 4 串聯(lián)管道為得到有規(guī)律的解答，一般取整個(gè)串聯(lián)管的時(shí)間步長相等。 （32） 式中，、為各管道的分段數(shù)，均為正整數(shù)。顯然，每根管道的分段長度各不相等。應(yīng)為水擊波在各管道中的傳播時(shí)間的最大公約數(shù)。但是，在大多數(shù)情況下，這個(gè)最大公約數(shù)并不存在。這時(shí)，可以通過稍稍調(diào)整一下水擊波速的大小來滿足這一要求。因?yàn)閷?shí)際情況中的水擊波速不可能計(jì)算的十分準(zhǔn)確，稍稍調(diào)整是允許的。 （32）式中，、為水擊波速的允許偏值，一般應(yīng)小于某個(gè)極限值，如1%。通常情況下，用稍稍調(diào)整水擊波速來滿足公共時(shí)間步長的要求，比調(diào)整管道長度的辦法更好一些。此外，也可以只考慮主要管段（或較長管