求極限的方法畢業(yè)論文

1、畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）任務(wù)書(shū)課題名稱求極限的方法和技巧指導(dǎo)教師姓名工作單位一、主要內(nèi)容：通過(guò)運(yùn)用極限的定義以及相關(guān)定理、性質(zhì)來(lái)計(jì)算極限并通過(guò)例題的歸納總結(jié)出一些常見(jiàn)的求極限的方法和技巧。二、基本要求(基本技術(shù)要求與數(shù)據(jù)） 根據(jù)極限性質(zhì)和相關(guān)定理巧妙的運(yùn)用相關(guān)技巧計(jì)算出極限的值。三、論文（設(shè)計(jì)）工作起始日期：自2012年11月15日起，至2013年4月30日止四、進(jìn)度與應(yīng)完成的工作：第一階段：閱讀書(shū)籍、查找資料 （2012年11月15日2012年12月31日）第二階段：系統(tǒng)設(shè)計(jì)、論文初稿 （2013年1月1日 3月10日）第三階段：論文修改及電子檔送檢（2013年3月11日 3月20日）第四階段：論文

2、定稿、打印 （2013年3月21日 4月15日）第五階段：論文答辯準(zhǔn)備及答辯 （2013年4月16日 4月28日）五、主要參考文獻(xiàn)、資料1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.第三版.北京：高等教育出版社,2001.2 吳良森，毛羽輝.數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解(多變量部分)M.北京：科學(xué)出版社，2004.3 錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹M.第二版.武漢：崇文書(shū)局，2009.4 費(fèi)定暉，周學(xué)圣.吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解M.濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版，2005. 目 錄摘要. 5Astract: 6一、引言 7二相關(guān)定義與定理 7三、極限的幾個(gè)重要性質(zhì) 10 1、收斂數(shù)列的一些性質(zhì) 10 2、函數(shù)極限的相關(guān)性質(zhì)

3、10 四、極限的方法與技巧及舉例說(shuō)明 111、積分定義法求極限 112、對(duì)數(shù)法求極限113、利用等價(jià)無(wú)窮小求極限124、利用兩個(gè)重要極限求極限125、利用數(shù)列與級(jí)數(shù)的關(guān)系求極限136、利用泰勒展開(kāi)式求極限137、單調(diào)有界定理148、遞推關(guān)系法159、先求和后求限1510、利用不等式 1611、洛必達(dá)法則 1612、中值定理法1713、兩邊夾法則1814、利用極限的四則運(yùn)算法則求極限1815、施篤茲()定理19 16、Euler常數(shù)法 19五、總結(jié)20參考文獻(xiàn) 20致謝 21- 2 -求極限的方法與技巧龍麗麗 摘 要:極限概念是高等數(shù)學(xué)中很重要的概念之一，其它所有的重要的數(shù)學(xué)概念如導(dǎo)數(shù)定積分都是

4、建立在極限概念的基礎(chǔ)上的。因此極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算。由于極限概念的高度抽象，致使我們很難用極限定義本身去求極限，又由于極限運(yùn)算分布于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的始終，許多重要的概念是由極限定義的，所以掌握極限的方法非常重要。反過(guò)來(lái)，我們也可以利用這些概念來(lái)求一些極限，所以極限的方法是十分繁多的。針對(duì)這種情況，本文通過(guò)例題總結(jié)歸納了常見(jiàn)的求極限的方法及一些技巧。有關(guān)命題與結(jié)論在文中有詳細(xì)地說(shuō)明。 關(guān)鍵詞：極限; 方法; 技巧。 Skills and methods of limitLONG lili Abstract : The limiting concept is one of the very

5、important concepts in advanced mathematics. The other important mathematical concepts, such as derivative, definite integral are based on this concept. Therefore limit is the basic operation in advanced mathematics. Because of most abstractness of limit, it is difficult to obtain limit by the concep

6、t of limit. Since the concept of limit exists in the whole advanced mathematics, and many important concepts are derived from the definition of limit, it is important to grasp the method of limit. On the other hand, we can also use these concepts to obtain some limits; therefore there are various wa

7、ys to obtain limits. From above descriptions, common methods and some skills of obtaining limit are generalized through examples in this thesis. Some relevant propositions and conclusions are also extensively illustrated in this thesis.Keywords: limit，method，skill .一、 引言在高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中極限是一個(gè)重要概念，求數(shù)列與函數(shù)的極限是數(shù)

8、學(xué)分析的基本運(yùn)算。如函數(shù)的連續(xù)導(dǎo)數(shù)定積分及級(jí)數(shù)的收斂等都是在極限理論的基礎(chǔ)上建立的。求極限的主要方法有：定義法四則運(yùn)算洛必達(dá)法則、兩邊夾法則單調(diào)有界定理利用兩個(gè)重要極限等。除這些常規(guī)方法外還有很多技巧，這些技巧隱含在函數(shù)的相關(guān)理論中，對(duì)這些技巧進(jìn)行歸納探討并就應(yīng)用范圍進(jìn)行分析。 二、 相關(guān)定義與定理定義1 設(shè)為定數(shù)。若對(duì)任意的正數(shù)，總存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有則稱數(shù)列 收斂于,定數(shù)稱為數(shù)列的極限,并記作或讀作“當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí),的極限等于或趨于”.若數(shù)列沒(méi)有極限,則稱不收斂,或稱為發(fā)散數(shù)列.定義2 設(shè)為定義在上的函數(shù),為定數(shù).若對(duì)任意的,存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有 則稱函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)以為極限,記作,或.定義

9、3 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某空心鄰域內(nèi)有定義,是一個(gè)確定常數(shù).若,總存在,滿足,且，則稱當(dāng)時(shí),以為極限,記為.定義4 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,是一個(gè)確定的常數(shù)，若，,使當(dāng)時(shí),都有,則稱函數(shù)在趨于時(shí)右極限存在,并以為右極限記作.有時(shí)也記.定理 1單調(diào)有界定理在實(shí)系數(shù)中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限. 定理 2柯西收斂準(zhǔn)則數(shù)列收斂的充要條件是：對(duì)任給的，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)有.這個(gè)定理從理論上完全解決了數(shù)列極限的存在性問(wèn)題。定理 3致密性定理有界數(shù)列必存在收斂子列。 定理 4施篤茲定理 設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增趨于，（可以為無(wú)窮），則 .定理5有界變差數(shù)列收斂定理若數(shù)列滿足條件：則稱為有界變差數(shù)列，且有界變差數(shù)列一定收斂。定理

10、6柯西準(zhǔn)則設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義.存在的充要條件是:任給,存在正數(shù),使得對(duì)任何有.定理 7 設(shè)為定義在上的單調(diào)有界函數(shù),則右極限存在.定理 8拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)滿足如下條件:（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),則在()內(nèi)至少存在一點(diǎn),使.定理 9積分第一中值定理設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則至少存在使得.定理10推廣的積分第一中值定理若與都在上連續(xù),且在上不變號(hào), 則至少存在一點(diǎn)使得. (當(dāng)時(shí),既為定理9).定理 11歐拉定理序列收斂.因此有公式式中稱為歐拉常數(shù),且當(dāng)時(shí)，定理 12級(jí)數(shù)收斂定理若級(jí)數(shù)收斂,則 定理13歸結(jié)原則設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義. 存在的充要條件是:對(duì)任何含于且以為極限的數(shù)列,極限

11、都存在且相等.注1 歸結(jié)原則也可簡(jiǎn)敘為: 對(duì)任何有. 注2 歸結(jié)原則是聯(lián)系數(shù)列與函數(shù)的橋梁. 三、 極限的幾個(gè)重要性質(zhì)1收斂數(shù)列的一些性質(zhì)（1）唯一性 若數(shù)列收斂,則它只有一個(gè)極限. （2）有界性 若數(shù)列收斂，則為有界數(shù)列，即存在正數(shù)，使得對(duì)一切正數(shù)有. （3）保號(hào)性 若（或）任何（或）存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有（或）. （4）保不等式性 設(shè) 均為收斂數(shù)列.若存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有，則 （5）迫斂性 設(shè)數(shù)列都以為極限，且，若數(shù)列滿足:存在正數(shù),當(dāng)時(shí)有,則數(shù)列收斂，且. （6）四則運(yùn)算法則 若與為收斂數(shù)列,則且有.特別當(dāng)為常數(shù)時(shí)有若再假設(shè)及，則也是收斂數(shù)列,且有.2函數(shù)極限的相關(guān)性質(zhì)（1）唯一性 若極限

12、存在,則此極限是唯一的. （2）局部有界性 若極限存在,則在的某空心鄰域內(nèi)有界 .（3）局部保號(hào)性 若極限,則對(duì)任意正數(shù)，存在的某空心鄰域,使對(duì)，恒有.（4）保不等式性 若 ,有，成立,則,即.（5）迫斂性 設(shè),在空心鄰域內(nèi)有，則.（6）若 注 極限的性質(zhì)是在某一鄰域內(nèi)研究的而數(shù)列極限的性質(zhì)是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)研究的.四極限的計(jì)算方法與技巧及舉例說(shuō)明在上面我們講了極限的定義定理及相關(guān)性質(zhì)，我們可以利用一些性質(zhì)來(lái)歸納極限的計(jì)算方法及所隱含的技巧。 1、積分定義法求極限例 求解 令 y= ,則=，而 = -1 =.注 此題結(jié)合了對(duì)數(shù)法.2、 對(duì)數(shù)法求極限 例 求極限 解 令，則， = =3利用等價(jià)無(wú)窮小

13、求極限 設(shè)當(dāng)時(shí)，和均為無(wú)窮小量，若，則稱和是當(dāng) 時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小量.記作 . 例 求 解 由于，而，故有 =.注 在利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限時(shí)，應(yīng)注意：只有對(duì)所有極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替代，而對(duì)極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代。4、利用兩個(gè)重要極限求極限重要極限:此種方法主要利用類似于兩個(gè)重要極限中的函數(shù)形式的特點(diǎn)來(lái)求極限的.如第一個(gè)極限結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)為第二個(gè)重要極限結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)為.在每一個(gè)極限中處變量形式是一致的.例（1）求解 設(shè)，則 =（2）求解 原式5利用數(shù)列與級(jí)數(shù)的關(guān)系求極限對(duì)于數(shù)列對(duì)應(yīng)一個(gè)級(jí)數(shù)如果能判斷此級(jí)數(shù)是收斂的,由級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則可以知道,此方法的關(guān)鍵是

14、求出的極限為.換句話說(shuō),若一個(gè)數(shù)列的極限不是0就不能用此方法.例 計(jì)算解 因?yàn)楫?dāng)充分大時(shí)，于是，故由收斂可知收斂，所以6利用泰勒展開(kāi)式求極限若一個(gè)函數(shù)的表達(dá)式比較復(fù)雜時(shí),我們將它展成泰勒展試,若能展成,這樣將一個(gè)表達(dá)式很復(fù)雜的函數(shù)化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)無(wú)窮小量的和,而多項(xiàng)式的計(jì)算是較簡(jiǎn)單的,從而此法能簡(jiǎn)化求極限的運(yùn)算。 例 求極限. 解 本題可用洛必達(dá)法則求解（較繁瑣），在這里可應(yīng)用泰勒公式求解，考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子（取）：， ，. 因而求得=.7、單調(diào)有界定理通常根據(jù)所求極限式的特征，估計(jì)其上下界，然后用數(shù)學(xué)歸納法等方法證明其單調(diào)性和有界性，并注意上下界在證明

15、單調(diào)性中的應(yīng)用，最后往往通過(guò)方程求解極限值，注意根的取舍.例 證明數(shù)列收斂，其中， 并求極限證 ， 可知有下界，又 單調(diào)遞減，從而存在. , 解得 8遞推關(guān)系法遞推關(guān)系中最常見(jiàn)的方法是利用單調(diào)有界定理，但也有一部分并不滿足單調(diào)性，從而不能使用單調(diào)有界定理，其相應(yīng)的難度有所加大，其方法也有所不同.例 設(shè).考察極限.解 若極限存在，設(shè)極限值為，在遞推關(guān)系中令得，解之得（另一負(fù)根舍去）.下證確實(shí)是其極限值. 事實(shí)上，由此遞推關(guān)系立得.9先求和再求極限若要求極限，可以采用先求出和的簡(jiǎn)單形式再取極限。例 設(shè)，求.解 因?yàn)樗?所以.10利用不等式嚴(yán)格地說(shuō)，此法應(yīng)屬于兩邊夾方法，但由于所用不等式較為特殊，

16、而使問(wèn)題解決的中心在于不等式的應(yīng)用，因而單列為一種方法.例 設(shè). 證明極限存在，并由此計(jì)算：.證 由于，兩邊取對(duì)數(shù)得由此立得，即數(shù)列單減. 此外，.即有下界. 由單調(diào)有界定理知其收斂，其極限值稱為歐拉常數(shù)，常用表示. 由此易得.注 也可用定積分法求之.11洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則是求解不定式極限的強(qiáng)有力工具. 數(shù)列極限也可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)極限，然后利用洛必達(dá)法則求之. 洛必達(dá)法則只有直接適用于未定式，而型未定式通過(guò)恒等變形可化作型。而型未定式則通過(guò)取對(duì)數(shù)化作型。因此在使用洛必達(dá)法則時(shí)每步都要檢查是否符合洛必達(dá)法則條件。此外，還應(yīng)注意及時(shí)化簡(jiǎn)算式，把定式部分分離出來(lái)并求出極限，再對(duì)未定式部分使用洛必

17、達(dá)法則。例 求 解 先通分再使用等價(jià)無(wú)窮小替換，然后使用洛必達(dá)法則可得 = =.注 在使用洛必達(dá)法則時(shí)，往往先對(duì)等式進(jìn)行初等變換，然后在不同階段使用等價(jià)無(wú)窮小替換或者取對(duì)數(shù)的方法以簡(jiǎn)化求導(dǎo)過(guò)程。12中值定理法在求函數(shù)的極限時(shí)，若能根據(jù)的特點(diǎn)尋得一個(gè)新的可微函數(shù)再借助中值定理則往往得到巧妙的解法。例 求.解 對(duì)函數(shù)在以和為端點(diǎn)的閉區(qū)間上用微分中值定理有 , 即 （在與之間）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有 ， 所以 例 求極限解 由積分中值定理，=13、 兩邊夾法則 當(dāng)極限不容易直接求出時(shí)，可考慮將極限的變量做適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小，使放大、縮小所得的變量，易于求極限，且二者的極限值相同時(shí)，則原極限存在，且等于此公共值。

18、例 求. 解 記，則 ， ， . 又兩邊夾法則得，14利用極限的四則運(yùn)算法則求極限 對(duì)和差積商形式的函數(shù)求極限自然會(huì)想到極限的四則運(yùn)算法則,但是為了能自然使用這些法則,往往需要先對(duì)函數(shù)作某些恒等變形或化簡(jiǎn),采用怎樣的變形與化簡(jiǎn)要根據(jù)具體的算式來(lái)確定,常用的有分式的約分或通分,分式的分解,分子或分母的有理化,三角函數(shù)的恒等變形, 某些求和公式與求積公式及適當(dāng)變量替換等.（1）有理分式函數(shù)的極限均是關(guān)于的多項(xiàng)式，則有對(duì)于其他類型的極限，可利用函數(shù)的連續(xù)性和洛必達(dá)法則求解.（2）無(wú)理根式的極限通常采用分子有理化或分母有理化方式進(jìn)行求解.例 計(jì)算.解 原式例 計(jì)算極限解 .15、施篤茲()定理證明：若數(shù)列收斂于，且，則. 證 由施篤茲公式有 16Euler常數(shù)法就是利用著名歐拉公式 其中叫做歐拉常數(shù),例 求極限解 原式 所以=.五總結(jié):在極限問(wèn)題中證明極限存在及極限的計(jì)算方法是十分重要的。本文歸納了極限計(jì)算的一些方法和技巧,在使用時(shí)要針對(duì)不同的情況采用不同的方法.極限的計(jì)算又是解決實(shí)際問(wèn)題必不可少的數(shù)學(xué)工具,它在物理學(xué),工程學(xué)學(xué)科上都有廣泛的應(yīng)用. 參考文獻(xiàn)：1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.第三版.北京：高等教育出版社,2001.2 吳良森，毛羽輝.數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解(多變量部分)M.北京：科學(xué)出版社，2004.3