實驗二 極限與導(dǎo)數(shù)

1、實驗二實驗二 極限與導(dǎo)數(shù)極限與導(dǎo)數(shù)實驗?zāi)康膶嶒災(zāi)康?. 了解函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)的基本概念；了解函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)的基本概念；2. 學(xué)習(xí)、掌握學(xué)習(xí)、掌握MATLAB軟件有關(guān)求極限、軟件有關(guān)求極限、導(dǎo)數(shù)的命令；導(dǎo)數(shù)的命令；3.了解導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；了解導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；4. 了解梯度及其應(yīng)用了解梯度及其應(yīng)用。實驗內(nèi)容實驗內(nèi)容1.判斷極限判斷極限 的存在性。的存在性。xxxx1sinlim,1coslim002.驗證極限驗證極限。1sinlim0 xxxexnxxnn 11lim11lim3.驗證極限驗證極限4.求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間及極值。的單調(diào)區(qū)間及極值。363yxx5. 梯度用于圖像邊緣檢測梯度用于圖像邊緣檢測

2、實驗準(zhǔn)備實驗準(zhǔn)備1. 極限、導(dǎo)數(shù)、梯度的基本概念極限、導(dǎo)數(shù)、梯度的基本概念nN數(shù)列極限：數(shù)列極限：如果對于如果對于 ，存在正整數(shù)，存在正整數(shù) ，使的當(dāng)使的當(dāng) 時有時有 ，則稱，則稱 為數(shù)為數(shù)列列 的極限，或稱的極限，或稱 收斂于收斂于 ，記，記為為 。0 Nnxaa nx nxalimnnxa 直觀上表示：直觀上表示： 趨于無窮大時，趨于無窮大時， 無限無限接近接近nanx函數(shù)極限：函數(shù)極限：如果當(dāng)如果當(dāng) 時，有時，有 ，則稱則稱 為函數(shù)為函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時的極限，記時的極限，記為為 。0 xx( )f xAA( )f x0 xx( )limnfxA ?；蚧颍瑯O極為為時時的的右右極極限限（或或左

3、左極極限限當(dāng)當(dāng)為為函函數(shù)數(shù)，則則稱稱時時，有有或或且且若若僅僅當(dāng)當(dāng))0()0()()()(000000 xfxfxxxfAAxfxxxxxx。時時的的極極限限存存在在且且等等于于當(dāng)當(dāng)時時，當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)Axxxfxfxf000)()0()0( hxfhxfxfh)()(lim)(0000 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定義義為為在在函函數(shù)數(shù)0)(xxxf 的的變變化化率率。在在點點它它反反映映了了函函數(shù)數(shù)0 xxf0)(0 xf函數(shù)在點函數(shù)在點 附近是下降的；附近是下降的；0 x0)(0 xf函數(shù)在點函數(shù)在點 附近是上升的；附近是上升的；0 x0)(0 xf往往（不一定）標(biāo)志著函數(shù)在往往（不一定

4、）標(biāo)志著函數(shù)在點點 附近達到局部極大或極??；附近達到局部極大或極??；0 x）。（或或且且的的充充分分條條件件是是極極小?。┻_達到到局局部部極極大大（或或局局部部函函數(shù)數(shù)在在點點0)(0)(0)(0000 xfxfxfx梯度梯度的的梯梯度度為為在在點點函函數(shù)數(shù)),(),(yxPyxfz ),(yxgradfjyfixf 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量向量，它，它的方向與的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為而它的模為方向?qū)?shù)的最大值方向?qū)?shù)的最大值梯度的梯度的模為模為 22| ),(| yfxfyxgradf2. 求極限、導(dǎo)數(shù)、梯度的求

5、極限、導(dǎo)數(shù)、梯度的MATLAB命令命令limit(s,n,inf) 返回符號表達式當(dāng)返回符號表達式當(dāng)n趨趨于無窮大時表達式于無窮大時表達式s的極限的極限limit(s,x,a) 返回符號表達式當(dāng)返回符號表達式當(dāng)x趨于趨于a時表達式時表達式s的極限的極限limit(s,x,a,left) 返回符號表達式當(dāng)返回符號表達式當(dāng)x趨于趨于a-0時表達式時表達式s的左極限的左極限limit(s,x,a,right) 返回符號表達式返回符號表達式當(dāng)當(dāng)x趨于趨于a+0時表達式時表達式s的右極限的右極限diff(s,x,n) 返回符號表達式返回符號表達式s對自變對自變量量x的的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)gradient(F

6、) 返回返回F的梯度的梯度Fx, Fy實驗方法與步驟練習(xí)練習(xí)1 首先分別作出函數(shù)首先分別作出函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間-1,-0.01，0.01,1，-1,-0.001，0.001,1上的圖形，觀察圖形在點上的圖形，觀察圖形在點x=0附附近的形狀。近的形狀。xy1cos 在區(qū)間在區(qū)間-1,-0.01繪圖的繪圖的MATLAB代代碼為碼為Ex2-1x=(-1):0.0001:(-0.01); y=cos(1./x);plot(x,y)x1=(-1):0.0001:(-0.01);y1=cos(1./x1);x2=0.01:0.0001:1;y2=cos(1./x2);x3=(-1):0.00001:(-0

7、.001);y3=cos(1./x3);x4=0.001:0.00001:1;y4=cos(1./x4);subplot(221),plot(x1,y1)subplot(222),plot(x2,y2)subplot(223),plot(x3,y3)subplot(224),plot(x4,y4)用用limit命令直接求極限命令直接求極限clear;syms x; %說明說明x為符號變量為符號變量limit(cos(1/x),x,0)結(jié)果為結(jié)果為ans =-1 . 1，即極限值在，即極限值在-1,1之間，之間，而如果極限存在則必唯一，故極限而如果極限存在則必唯一，故極限 不存在。不存在。xy1

8、cos xy1sin 同樣，極限同樣，極限 也不存在。也不存在。練習(xí)練習(xí)2 首先分別作出函數(shù)首先分別作出函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間-1,-0.01，0.01,1，-1,-0.001，0.001,1上的圖形，觀察圖形在點上的圖形，觀察圖形在點x=0附附近的形狀。近的形狀。xxysin 在區(qū)間在區(qū)間-1,-0.01繪圖的繪圖的MATLAB代代碼為碼為x=(-1):0.0001:(-0.01); y=sin(x)./x;plot(x,y)函數(shù)函數(shù) 的圖形的圖形sin xyx用用limit命令直接求極限命令直接求極限clear;syms x; %說明說明x為符號變量為符號變量limit(sin(x)/x,x,

9、0)結(jié)果為結(jié)果為ans =1練習(xí)練習(xí)3 觀察當(dāng)觀察當(dāng)n趨于無窮大時，數(shù)列趨于無窮大時，數(shù)列 的變化趨勢。的變化趨勢。和和nnna 11111 nnnA例如，當(dāng)例如，當(dāng) 時，計算時，計算 1,2,100n ,nna Afor n=1:100a(n)=(1+1/n)n;A(n)=(1+1/n)（n+1）;end在同一坐標(biāo)系中，畫出下面三個函數(shù)在同一坐標(biāo)系中，畫出下面三個函數(shù)的圖形：的圖形：1111,1,xxyyyexx觀察當(dāng)觀察當(dāng)x增大時圖形的走向。增大時圖形的走向。例如，在區(qū)間例如，在區(qū)間10, 400繪制圖形的繪制圖形的MATLAB代碼為代碼為Ex2-3 x=10:0.01:400; y1=e

10、xp(x.*log(1+1./x); y2=exp(x+1).*log(1+1./x); y3=2.71828; plot(x,y1,b-.,x,y2,k:,x,y3,r-); legend(First,Second,Third); legend(First,Second,Third,-1)111nnAn11nnannnaA和2.71828e當(dāng)然，也可用當(dāng)然，也可用limit命令直接求極限，命令直接求極限，相應(yīng)的相應(yīng)的MATLAB代碼為代碼為clear;syms n;limit(1+1/n)n,n,inf);結(jié)果為結(jié)果為ans =exp(1)練習(xí)練習(xí)4 求函數(shù)求函數(shù) 的一階導(dǎo)數(shù)，的一階導(dǎo)數(shù)，然

11、后在同一坐標(biāo)系里作出該函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)然后在同一坐標(biāo)系里作出該函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的圖形的圖形363yxx函數(shù)求導(dǎo)相應(yīng)的函數(shù)求導(dǎo)相應(yīng)的MATLAB代碼為代碼為clear;syms x;diff(x3-6*x+3,x,1)運行結(jié)果為運行結(jié)果為ans =3*x2-6。函數(shù)繪圖相應(yīng)的函數(shù)繪圖相應(yīng)的MATLAB代碼為代碼為x=-4:0.1:4; y1=x.3-6*x+3;y2=3*x.2-6;plot(x,y1, x, y2, r:)Ex2-4的圖形上升；的圖形上升；時，時，當(dāng)當(dāng)yy0 的圖形下降；的圖形下降；時，時，當(dāng)當(dāng)yy0 取極值；取極值；時，時，yy0 的的根根的的近近似似值值觀觀察察圖圖形形得得出出方方

12、程程0 y-3，-2 ， 0，1， 2，3求出根的精確值求出根的精確值a1=fzero(x3-6*x+3,-3,-2)a2=fzero(x3-6*x+3,0, 1) a3=fzero(x3-6*x+3,2, 3)a1=-2.6691a2=0.5240a3=2.1451xy取取極極大大或或極極小小值值的的觀觀察察使使函函數(shù)數(shù)極大值極大值-2，-1 ， 極小值極小值1，2用用MATLAB求函數(shù)的極大值和極小值求函數(shù)的極大值和極小值Ex2-5fun1=x3-6*x+3; %定義求最小值的語句函數(shù)定義求最小值的語句函數(shù)xmin=fmin(fun1,1,2); %在在1，2內(nèi)搜索內(nèi)搜索x=xmin; %

13、 因為因為fun1以以x為自變量，所以需將為自變量，所以需將xmin賦給賦給xymin=eval(fun1) %求求xmin處函數(shù)處函數(shù)y的值的值fun2=-(x3-6*x+3);xmax=fmin(fun2,-2,-1)x=xmax;ymax=eval(fun2)eval:函數(shù)函數(shù)eval將字符將字符串傳給串傳給MATLAB以便計以便計算。算。 練習(xí)練習(xí)5 梯度用于圖像邊緣檢測梯度用于圖像邊緣檢測 圖像圖像是用各種觀測系統(tǒng)以不同形式和手段是用各種觀測系統(tǒng)以不同形式和手段觀測客觀世界而獲得的，可以直接或間接作觀測客觀世界而獲得的，可以直接或間接作用于人眼而產(chǎn)生視知覺的實體。用于人眼而產(chǎn)生視知覺

14、的實體。 科學(xué)研究和統(tǒng)計表明，人類從外界獲得的信科學(xué)研究和統(tǒng)計表明，人類從外界獲得的信息約有息約有75%來自于圖像。來自于圖像。 客觀世界在空間上是客觀世界在空間上是3-D的，但一般從客觀的，但一般從客觀景物得到的圖像是景物得到的圖像是2-D的。的。圖像分為兩類：圖像分為兩類：連續(xù)圖像連續(xù)圖像和和離散圖像離散圖像連續(xù)圖像：連續(xù)圖像：亦稱模擬圖像或歐氏圖像，它在亦稱模擬圖像或歐氏圖像，它在空間和值域上都是連續(xù)的，可用二維連續(xù)函空間和值域上都是連續(xù)的，可用二維連續(xù)函數(shù)數(shù) 表示。表示。( , )f x y離散圖像離散圖像：為了能用為了能用計算機對圖像進行加計算機對圖像進行加工，需要把模擬圖工，需要把

15、模擬圖像像經(jīng)過經(jīng)過采樣采樣和和量化量化轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化成數(shù)字圖成數(shù)字圖像像。數(shù)字圖像可以用一個矩陣來表示：數(shù)字圖像可以用一個矩陣來表示：(0,0)(0,1)(0,1)(1,0)(1,1)(1,1)( , )(,0)(,1)(1,1)fffnfffnf x yf mf mf mn 矩陣中的元素稱作像素。矩陣中的元素稱作像素。每一個像素都有每一個像素都有 和和 兩個坐標(biāo)，表示其在圖像兩個坐標(biāo)，表示其在圖像中的位置。另外還有一個中的位置。另外還有一個值，稱灰值，對應(yīng)于原始值，稱灰值，對應(yīng)于原始模擬圖像在該點處的亮度。模擬圖像在該點處的亮度。xy梯度用于圖像邊緣檢測梯度用于圖像邊緣檢測Ex2-7I1=imre

16、ad(Lena256.bmp);I=double(I1);row,col=size(I);Fx,Fy=gradient(I);for i=1:row for j=1:col g(i,j)=sqrt(Fx(i,j)2+Fy(i,j)2); endendfigure(1)subplot(221); imshow(uint8(I);axis offsubplot(222); imshow(uint8(g);axis off上機練習(xí)1、對函數(shù)、對函數(shù)(1)、(2)、(3)完成下列工作，并完成下列工作，并寫出總結(jié)報告。寫出總結(jié)報告。()做出圖形，觀察所有局部極大、局部極小做出圖形，觀察所有局部極大、局部極小和全局最大、全局最小值點的大致位置；和全局最大、全局最小值點的大致位置；()求求 所有零點所有零點(即即 的駐點的駐點)；( )f x( )f x()求出駐點處求出駐點處 的二階導(dǎo)數(shù)值；的二階導(dǎo)數(shù)值；( )f x()用用fmin求各極值點的確切位置；求各極值點的確切位置；()討論局部極值點與討論局部極值點與 ， 的關(guān)系。的關(guān)系。( )fx( )fx225332(1) ( )sin(2), 2,2;(2) ( )310), 3,3;(3) (