多元函數(shù)微分學(xué)一十七

1、1 第十一章 多元函數(shù)微分學(xué) 本章提要 基本題念 多元函數(shù)，二元函數(shù)、區(qū)域(開(kāi)域、閉域、有界域、無(wú)界域等) 、二元函數(shù) 的極限、二元函數(shù)連續(xù)、二元函數(shù)的幾何意義、偏導(dǎo)數(shù)、二階偏導(dǎo)數(shù)、混合偏導(dǎo) 數(shù)、全微分、切平面、多元函數(shù)的極值、駐點(diǎn)、條件極值、方向?qū)?shù)、梯度 基本公式及方法 1 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法： 設(shè)函數(shù)u = (x, y), . = (x,y)在點(diǎn)(x, y)處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù) f(u,.)在相應(yīng)點(diǎn) (u,：)處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) z 二 f ；：:(x, y)(x, y)】在點(diǎn)(x, y)處有偏導(dǎo)數(shù)， 且 :Z : z : u : z 一 ; z : Z ：- u :- z : , x

2、 u x x y u y y 2 利用隱函數(shù)微分法： 設(shè)方程F(x, y, z)=0確定了 z 是x, y的函數(shù)z=z(x,y)，且 Fx(x,y,z), Fy(x,y,z)，F(xiàn)z(x,y,z)連續(xù)及 Fz(x,y,z) = 0,則 :z Fx Fy :x Fz : y Fz 3、全微分公式： 二元函數(shù)z = f (x,y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分可以寫(xiě)成如下形式: L、 L、 C z 丄 Q Z dz dx dy. :x : y 2 第一節(jié)多元函數(shù)的極限及連續(xù)性3 一、 填空題： 1、 二元函數(shù) f (x, y) = J.16-x y 的定義域_ ; 2、 二元函數(shù) f (x, y) = I

3、n (y2 x2 -1) yx2 的定義域 _ ; 3、 若 f(x,y)在(xo, yo)連續(xù)，則 lim f (x, y) = _ ； Jx0 y o 4、 f (x, y)在(x0, y0)處的全增量=z= _ ; 5、 若 f(x,y)在(x0, y0)連續(xù)，則 lim . ：z= _ . 二、 判斷題： 1、 多元函數(shù)是多個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)(依賴)關(guān)系( ) 2、 決定多元函數(shù)是其定義域和對(duì)應(yīng)法則( ) 3、 二元函數(shù)有兩個(gè)自變量( ) 4、 二元函數(shù)的定義域是平面上的區(qū)域( ) 5、 閉域和開(kāi)域只能是有界域( ) 6、 (x,y)以一定的方式趨向于點(diǎn)(心)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x, y

4、)無(wú)限接近于 一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱當(dāng)(x,y) (心)時(shí)，函數(shù)f(x,y)的極限為A() 7、 二元函數(shù)f(x,y)在(心協(xié)有極限，則f(x, y)在(心)連續(xù)() 8、 在區(qū)域D內(nèi)f (x, y)和g(x, y)都連續(xù)，則f (x,y) g(x, y)在D內(nèi)亦連續(xù) 三、計(jì)算題: 1、求下列函數(shù)的定義域并畫(huà)出定義域的圖形 (1)f(x,y) =ln(y-x2) .1-y-x2 ； (2) f(x, y) 4 2、已知 f(x,y)=x2-2y，求 fy,(x-y)和 f f (x,y),xy. 3、已知 f (x -y,x y) = x2 3y2，求 f (x, y).5 4、求下列極限 第

5、二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)（一） 一、填空題 1、設(shè)函數(shù)z = f（x,y）在點(diǎn)（x,y）的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義，固定自變量 y 二 y。， 而自變量 x 在 X。處有改變量 以時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)改變量為 _ ， 函數(shù)關(guān)于自變量的改變率為 _ ； 2、函數(shù)z二f（x, y）在點(diǎn)（xo，y。）存在關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)，可表示 4、二元函數(shù)f （x, y）在（xo, yo）存在偏導(dǎo)數(shù)，則(1) （x,ym（o,i） lim沙 (x，y) ：(0,1)x* 2 - y2 lim S. (x,y)=3,0) 3y 工xy _ 2 2 5、判斷函數(shù) f(x, y)= P )即為曲線在 P。點(diǎn)的 _ ; x=x(t), 2、若曲線C的

6、參數(shù)方程為y = y(t) , (G 邛)，則割線 RP 的方向向 Z=z(t), 量割線P P = _ ，割線 P)P 的方程為 _ ;假定 函數(shù) X =x(t), y =y(t),z =z(t)可導(dǎo)，且 x(t) , y(t), z(t)不同時(shí)為零,則曲線 C 在點(diǎn) M。處的切向量(即切線的方向向量)為 _ ，且曲線在該 點(diǎn)的法平面方程為 _ ; 3、曲面刀 的方程F(x,y,z) =0, M0(X0，y,z0)為刀上的一點(diǎn)，F(xiàn)X,F：,FZ在 0 2、 設(shè)方程 x 2y -z - 3x2y2z2 二 0 , 求二 :x :z r y 3、 設(shè)方程 exy -2zxy =0，求 j z :

7、x 14 點(diǎn) M。處連續(xù)，且不同時(shí)為零，則該曲面在點(diǎn) M。處的切平面的法向量 為 _ ;曲面刀在 M。處的切平面與法向量的關(guān)系 為 _ ，其方程為 _ ，過(guò) M 0點(diǎn)與切平面垂直的直線成 為曲面刀在 M。點(diǎn)處的 _ ，其方程為 _ ； 4、若曲面方程由顯函數(shù) z二f(x, y)給出，可令F(x, y,z)二 _ ， 此時(shí)，曲面在點(diǎn) M0處的切平面方程為 _ ，法線方程 為 _ . _ 二、計(jì)算題 1、 求球面x2 y2 z2 =16在點(diǎn)(1，2，4)處的切平面及法線方程. 2 2、 求曲面z 亠 y平行于2x2y-z = o的切平面方程. 2 3、 求曲線x = ,y=，z=t2在對(duì)應(yīng)于t =

8、1的點(diǎn)處的切線及法平面方程. i +t y t 4、 求曲面 z-ex 2x3 在點(diǎn)(1，2，0)處的切平面及法線方程. 第五節(jié)多元函數(shù)的極值(一) 一、填空題 1、 設(shè)函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn) P0(xo, yo)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在 Po(xo, y)點(diǎn) 取極大值，則對(duì)在此鄰域內(nèi)除點(diǎn) Po(xo, yo)外的任意點(diǎn)P(x, y)均 有 _ ； 2、 極值包括 _ 和 _ ； 3、 若點(diǎn)(x, y)為函數(shù) z = f(x, y)的駐點(diǎn)， _ 、 _ 同時(shí)成立 的點(diǎn)； 4、 設(shè)函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn) 期勺。)的某個(gè)鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 15 P)(Xo, yo)

9、是駐點(diǎn).設(shè) A 二 fxx(Xo, yo)， B 二 fxy(Xo, yo) , C 二 fyy(Xo, yo)，則當(dāng)16 B? AC ：0 時(shí),點(diǎn) Po（xg,yo）是極 值點(diǎn)，且當(dāng) A：0 時(shí)，點(diǎn) Po（Xo,yo） 是 _ ；當(dāng)A 0時(shí)，點(diǎn) F0（xo，yo）是 _ ;若點(diǎn) P0（xo, yo）不是極值 點(diǎn)，貝 U ;若不能判斷點(diǎn) Pb（xo, yo）是否是極值點(diǎn)， 則 _ ; 5、函數(shù) f（x,y） =2x2 2 一 5 在點(diǎn)（o， o）取得 _ ，且其值 為 . 二、 判斷題 1、 多元函數(shù)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的極值（或極值點(diǎn)）是唯一的（ ） 2、 極值唯一的情況下，極值點(diǎn)可以不唯一（ ）

10、3、 多兀函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)（ ） 4、 多元函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)（ ） 5、 極大值一定要大于極小值（ ） 6 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定為駐點(diǎn)（ ） 三、 計(jì)算題 1、 求函數(shù) f （x, y） = x2 3y3-xy 的極值. 2、 求函數(shù) f （x, y） =4（xy）-x2y2 的極值. 3、 求函數(shù) f （x, y） =ex_y（x2-2y2）的極值. 第五節(jié)多元函數(shù)的極值（二） 一、判斷題 1、 有界閉區(qū)域上的連續(xù)二元函數(shù)一定能在該區(qū)域上取得最值（ ） 2、 最值必在駐點(diǎn)中取得（ ） 3、 最大值一定大于最小值（ ） 4、 最大值或最小值只有一個(gè)（ ） 5、 二元函數(shù)最值只能在

11、區(qū)域中的17 一點(diǎn)中取得（ ） 6 函數(shù)的極值是個(gè)局部性概念，而最值是個(gè)全局性概念（ 7、 若果函數(shù)的最大、最小值在區(qū)域內(nèi)部取得，貝尼一定就是該函數(shù)的極大、極 小值（） 8、 若二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)極值，則其極大值就是最大值，極小值就是最 小值（） 9、 條件極值化成無(wú)條件極值是將其化成原函數(shù)的無(wú)條件極值（ ） 10、 函數(shù) f （x,y） =x2 y2 -5在點(diǎn)（0，0）取得最小值（ ） 二、計(jì)算題 1、 求函數(shù) z = xy2（5 - X - y）在閉區(qū)域D:x_0, y_0,x，y_4上的極值. 2、 現(xiàn)在要用鐵板做成一個(gè)體積為2 cm3的有蓋長(zhǎng)方體水箱，問(wèn)如何設(shè)計(jì)（即長(zhǎng)、 寬、高為

12、多少時(shí)？）才能最省料（用兩種方法求解） 3、 在平面3x 4y -26上求一點(diǎn)，使它與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最短. 4、 某工廠生產(chǎn)A,B兩種糖果，生產(chǎn)成本每 500g 分別為 0.70 元與 0.80 元，設(shè)售 價(jià)分別為 R,F2 （元），且已知 A,B 需求量為 2 4 i0P 0 2P 予）, i2 ,4 問(wèn)如何定（R,誌才能使總利潤(rùn)最大） 5、 設(shè)斷面面積為S （常數(shù)）的等腰梯形渠道，當(dāng)兩岸傾角 x，高y，底邊邊長(zhǎng) z 為多少時(shí)才能使?jié)裰茏钚。ㄈ鐖D） 18 第九節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 一、填空題 0 a 1、設(shè) z 為二元函數(shù)，若；z 0，則函數(shù) z 沿 I 方向 _ ，若亠：0,貝 U函 a c

13、l19 數(shù) z 沿l方向 _ ； 2、設(shè) z 為二元函數(shù)在點(diǎn)P（x,y）可微，I的方向余弦為cos,cos1，則 z 在此點(diǎn)的 沿I的方向?qū)?shù)為空二 ; a 3、設(shè)函數(shù)u = f（x, y,z），則在直角坐標(biāo)系中梯度設(shè)grad（u）= _ ; 4、設(shè) r 是曲面 2x2 3y2 z6 在點(diǎn)（1，1，1）處指向外側(cè)的法矢量，則 5、函數(shù) u =1 n(x2 y2 z2)在點(diǎn)(1，2, -2 )處的梯度= . _ 二、 判斷題 1、 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也是一種變化率（ ） 2、 偏導(dǎo)數(shù)表示了多元函數(shù)沿任意方向的變化率（ ） 3、 在同一點(diǎn)沿不同方向的方向?qū)?shù)一般是不相同的（ ） 4、 梯度是方向?qū)?shù)

14、最大的方向（ ） 5、 多元函數(shù)在某點(diǎn)的梯度一定是唯一的（ ） 三、 計(jì)算題 1、 求函數(shù) u 二在點(diǎn)（1,1,1）處沿丨=i -2j 3k方向的方向?qū)?shù). 2、 求函數(shù) u =xy -yz xz2在點(diǎn)（2，-1，0）處的梯度，并求丨=2i - j k方向的 方向?qū)?shù) 自測(cè)題 （限時(shí) 120 分鐘） 一、選擇（給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是最符合題意的，請(qǐng)將其填入題目后面 的括號(hào)中，每題 2 分，共 20 分） 1、函數(shù)z二f （x, y）在點(diǎn)（X。, yo）處具有偏導(dǎo)數(shù)是它在該點(diǎn)存在全微分的（ ） 在此點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù) 20 A.必要條件； B.充分條件；C.充要條件； D.即非充分又非必要條

15、件. 2、如果f（x,y）在（xo,yo）的某領(lǐng)域內(nèi) 回f （x, y）存在，則f （x, y）在（x,y）處（） ?yo X x）21 A.連續(xù)；B.可微；C.間斷；D.不確定. 3、函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(xo, yo)處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)為( A lim f (xo +Ax, yo + 也y) - f (x,y。) JO LX f (xo,y ：y) - f (xo, yo) y 4、設(shè)函數(shù) f(x,y) =2x2-3xy-4，則 fx(-1,1)=( ) 6、設(shè) z=exsiny，貝 U 二二( 7、二元函數(shù)z = ln . 1 -x2 - y2的定義域?yàn)? ) 8、設(shè) z =

16、 exy，則 dz 二( ) A. exydx ； B. (xdy ydx)exy ； C. xdy ydx ； (x y)exy 9、設(shè) z = f (-為 ，且f(x)可導(dǎo)， 則-=( ) y cx X A. f ( -一)；x x 2 f ()； 1 X C. - f (-)；, X -Xf (-一) y y y y y y 10、已知函數(shù) f( x y, x -y) = x2 2 ；：f ；：f -y2，則一 _ =( ) cx cy A. 2x-2y ； B. 2x 2y ； x _ y ； D. x y. 、填空(請(qǐng)直接將題目的答案寫(xiě)在橫線上，每空 2 分，共 20 分) 1、二元

17、函數(shù) f (x, y) f 二.10 - x - y 的定義域 _ f (xo . ：x, yo) f(Xo,y) x f(X。 x yo y) - f (x,y) A.7 ； 5、函數(shù)z = x C. B.1 ； y對(duì)于y的偏導(dǎo)數(shù)為 D. A. yxyJ ； B. xy ln x ; C. xy ln y; D. xy. AX XX .e cosy ； B. e +e sin y ； Cx e D. x e sin y. A. x2 y2 2 -y ； D. x2 y2 0. B. 22 2、 已知 z 二 xcos2y，貝U = _ , = _ ; x _y 3、 設(shè) f(x,y)=l n

18、(x 丄)，貝 U: fx(1,0) = _ , fy(1,0) = _ ； 2x 4、 描述二元函數(shù) z二f (x, y)的幾何意義 _ ; 5、 二元函數(shù) f (x, y) = x2 sin y 的全微分 dz = _ ； _2 6、 設(shè) u = e公sin上，貝U U 在點(diǎn)(2, )處的值為 _ ； y 泳dy 兀 7、 已知二元函數(shù) f(x, y) = 2 xy 2，貝 U f (-,1H _ ； x+ y x 8、 球面 x2 y2 z2 =16 在點(diǎn)(1, 1, 0)處的切平面方程為 _ ; 三、判斷(下列命題錯(cuò)誤的在后面括號(hào)內(nèi)打 X,正確的打，每題 1 分，共 10 分) 1、

19、三元函數(shù)有兩個(gè)自變量和一個(gè)應(yīng)變量( ) 2、 任意二元函數(shù)z二f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)都相等( ) 3、 設(shè) f(x,y)=2x2 3y2，則 f (-x,-y) = f (x, y)() 4、 若z = f(x, y)在點(diǎn)(x,y0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，則z=f(x, y)在點(diǎn)(x。)處一定可 微() 5、 若二元函數(shù)f (x, y)在(x0, y0)有極限，則f (x,y)在(), y0)處連續(xù)但不一定可 偏導(dǎo)() 6、 若函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)(X0,y)可微，則函數(shù)z = f(x,y)在點(diǎn)(X0,y)處的兩個(gè)偏 導(dǎo)數(shù)必定存在且連續(xù)() 7、 方程F(x, y, z,u) =0，確定了一個(gè)三元函數(shù)( ) 8、 多