二階常系數(shù)齊次線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式教學(xué)- ppt課件

1、0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的規(guī)范方式二階常系數(shù)齊次線性方程的規(guī)范方式)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程的規(guī)范方式二階常系數(shù)非齊次線性方程的規(guī)范方式10.5 10.5 二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程10.5.1 二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法),(0為常數(shù)qpyqypy xrye和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr稱為微分方程的特征方程,1. 當(dāng)042qp時, 有兩個相異實根,21r ,r方程有兩個線性無關(guān)的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解為xrxrCCy21ee21( r

2、為待定常數(shù) ),xrre,函數(shù)為常數(shù)時因為所以令的解為 那么微分其根稱為特征根.2. 當(dāng)042qp時, 特征方程有兩個相等實根21rr 那么微分方程有一個特解)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x) 待定)代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 那么得,e12xrxy 因此原方程的通解為xrxCCy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru3. 當(dāng)042qp時, 特征方程有一對共軛復(fù)根i,i21rr這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(

3、2e)sini(cosexxx 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解為)sincos(e21xCxCyx小結(jié)小結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 實根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推行到高階常系數(shù)線性微分方程 .定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法確定其通解的方法稱為特征方程法.

4、.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例2 2.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121ir，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3例例 4 4 求求微微分分方方程程 的的通通解解 082 yyy0)2)(4(822 rrrrxxececy2241 例例. 求解初值問題求解初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程特征方程0122rr有重根,121 rr因

5、此原方程的通解為ttCCse)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值問題的解為ttse)24(22C)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解構(gòu)造通解構(gòu)造, yYy常見類型常見類型，)(xPm,)(xmexP ,cos)(xexPxm ,sin)(xexPxm 難點：如何求特解？難點：如何求特解？方法：待定系數(shù)法方法：待定系數(shù)法.10.5.2 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程及其解法二階常系數(shù)非齊次線性微分方程及其解法設(shè)非齊次方程特解為設(shè)非齊次方程特解為xexQy )( 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xP

6、xQqpxQpxQm 不是特征方程的根不是特征方程的根若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可設(shè)設(shè);)(xmexQy 整理得整理得)()(xPexfmx 類型類型1. 型型是是特特征征方方程程的的重重根根若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可設(shè)可設(shè)綜上討論綜上討論, )(xQexymxk 設(shè)設(shè) 是是重重根根是是單單根根不不是是根根2,10k.)(2xmexQxy 是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可可設(shè)設(shè);)(xmexxQy .232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解對應(yīng)齊

7、次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxeCeCY 是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy 設(shè)設(shè)代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BAxexxy2)121( 于是于是原方程的通解為原方程的通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例5 5.322的的通通解解求求方方程程 xyy解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程，012 r特征根特征根ir 21，xCxCYsincos21 不是特征方程的根，不是特征方程的根，0 ，設(shè)設(shè)CBxAxy 2代入方程代入方程, 得得702 CBA，722 xy于

8、于是是原方程的通解為原方程的通解為.72sincos221 xxCxCy例例6 6例例1.1332 xyyy求方程的一個特解.解解: 此題此題而特征方程為,0322 rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0例例2. xxyyy2e65 求方程的通解. 解解: 此題此題特征方程為,0652 rr其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xxCCY3221ee設(shè)非齊次方程特解為xbxbxy210e)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.e)1(*2

9、21xxxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2例例3. 求解定解問題求解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 此題此題特征方程為, 02323rrr其根為設(shè)非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故對應(yīng)齊次方程通解為1CY xCe2xC23e原方程通解為x211Cy xCe2xC23e由初始條件得0432CC,0于是所求解為xyxx21e41e432解得)ee423(412xxx41 143321CCC2( )( )cos( )s

10、in、型型xlnf xeP xxP xx sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 設(shè)設(shè)次多項式，次多項式，是是其中其中mxRxRmm)(),(:)2()1( ，nlm,max .10 是是單單根根不不是是根根 iik時時或或當(dāng)當(dāng)xBexAexfxx sincos)( sincos21xDxDexyxk 設(shè)設(shè)特別地特別地方法方法1：方法方法2： 見書見書P382.sin22的通解的通解求方程求方程xyyy 解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解,221xxeCeCY 不是特征根，不是特征根，ii ，故故設(shè)設(shè)xBxAysincos* 代入原方程求得代入原方程求得5351 BA，x

11、xysin53cos51* 原方程通解為原方程通解為 .sin3cos51221xxeCeCyxx 例例7 7.2cos的的通通解解求求方方程程xxyy 解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解,sincos21xCxCY ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根ii 代入原方程求得代入原方程求得例例8 8 ，設(shè)設(shè)xDCxxBAxy2sin2cos ，xxxy2sin942cos31 原方程通解為原方程通解為.2sin942cos31sincos21xxxxCxCy 例例6 6.sine22的的通通解解求求方方程程xyyyx 解解對應(yīng)齊次方程的通解為對應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的

12、特解為xxaxay221e)sincos( ,21為為待待定定系系數(shù)數(shù)其其中中aa代入所給方程代入所給方程, 有有xxaaxaasinsin)3(cos)3(2121 xxCCY221ee 于是于是 得得xxxy2esin101cos103 所給方程的通解是所給方程的通解是.esin101cos103ee2221xxxxxCCy 例例7 7.2cos24的的通通解解求求方方程程xyy 解解對應(yīng)齊次方程的特征方程為對應(yīng)齊次方程的特征方程為042 解得解得, i 21 , i 22 于是對應(yīng)齊次方程的通解為于是對應(yīng)齊次方程的通解為xCxCY2sin2cos21 設(shè)所給方程的特解為設(shè)所給方程的特解為

13、, )2sin2cos(21xaxaxy ,21為為待待定定系系數(shù)數(shù)其其中中aa,2cos,2sin的的系系數(shù)數(shù)比比較較xx.0,2112 aa得得于是于是, 得得xxy2sin21 所給方程的通解是所給方程的通解是.2sin212sin2cos21xxxCxCy 代入所給方程代入所給方程, 有有xxaxa2cos22sin42cos412 例例4. xxyy2cos 求方程的一個特解 .解解: 此題此題 特征方程, 2, 0故設(shè)特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(

14、xxPl, 0)(xPn比較系數(shù) , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個特解13 a043cb03 c043ad0 cb例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù), 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設(shè)非齊次方程特解為小

15、結(jié)：1.二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的普通步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的普通步驟:1寫出相應(yīng)的特征方程寫出相應(yīng)的特征方程;2求出特征根求出特征根;3根據(jù)特征根的不同情況根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. 02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情況況 通通解解的的表表達達式式 實實根根21rr 實實根根21rr 復(fù)復(fù)根根 ir 2, 1 xrxreCeCy2121 xrexCCy1)(21 )sincos(21xCxCeyx 可以是復(fù)數(shù)）可以是復(fù)數(shù)） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx

16、 ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk ( 待定系數(shù)法求特解待定系數(shù)法求特解 )思索題思索題1.求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 2.寫出微分方程寫出微分方程xexyyy228644 的待定特解的方式的待定特解的方式. 3.寫出微分方程寫出微分方程 xyy2cos242 的待定特解的方式的待定特解的方式. 思索題解答思索題解答, 0. 1 y ,ln22yyyyy ,ln yyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 那么那么, 0 zz特征根特征根1 通解通解xxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 思索題解答思索題解答2.設(shè)設(shè) 的特解為的特解為2644xyyy *1yxeyyy2844 設(shè)設(shè) 的特解為的特解為*2y*2y *1*yy 那么所求特解為那么所求特解為0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 重根重根*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 思索題解答思索題解答*2y *1*yy 那么所求特解為那么所求特解為042 rr特征根特征根4021， rrAxy *1xCxBy4sin4cos*2 設(shè)設(shè) 的特解為的