1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版

1、1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第一試1選擇題(本題滿分40分，每小題答對(duì)得5分答錯(cuò)得0分，不答得1分) 集合S=|argZ=，為常數(shù)在復(fù)平面上的圖形是( ) A射線argZ=2 B射線argZ=2 C射線argZ= D上述答案都不對(duì)下列四個(gè)圖形的陰影部分(不包括邊界)滿足不等式logx(logxy2)>0的是( ) 對(duì)所有滿足1nm5的m，n，極坐標(biāo)方程=表示的不同雙曲線條數(shù)是( ) A15 B10 C7 D6 方程sinx=lgx的實(shí)根個(gè)數(shù)是( ) A1 B2 C3 D大于3 若a>0，a1，F(xiàn)(x)是一個(gè)奇函數(shù)，則 G(x)=F(x)( +)是 A奇函數(shù) B偶函數(shù) C不是奇函數(shù)

2、也不是偶函數(shù) D奇偶性與a的具體數(shù)值有關(guān) 若F()=x，則下列等式中正確的是( ) AF(2x)=2F(x) BF(x)=F() CF(x1)=F(x) DF(F(x)=x 若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)以等角速度在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q(2xy，y2x2)的運(yùn)動(dòng)方式是 A以角速度在單位圓上順時(shí)針運(yùn)動(dòng) B以角速度在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng) C以角速度2在單位圓上順時(shí)針運(yùn)動(dòng) D以角速度2在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng) 若四面體的一條棱長(zhǎng)是x，其余棱長(zhǎng)都是1，體積是F(x)，則函數(shù)F(x)在其定義域上 A是增函數(shù)但無(wú)最大值 B是增函數(shù)且有最大值 C不是增函數(shù)但無(wú)最大值 D不是增函數(shù)但有最大值2填充題(本題滿分10分，每小

3、題5分) 如圖，AB是單位圓的直徑，在AB上任取一點(diǎn)D，作DCAB，交圓周于C，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(x，0)，則當(dāng)x 時(shí)，線段AD、BD、CD可以構(gòu)成銳角三角形 方程cos=cosx的通解是 ，在(0，24)內(nèi)不相同的解有 個(gè)第二試1(本題滿分15分)下列命題是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明否則給出反例 若P、Q是直線l同側(cè)的兩個(gè)不同點(diǎn)，則必存在兩個(gè)不同的圓，通過(guò)P、Q且與直線l相切； 若a>0，b>0，且a1，b1，則logab+logba2 設(shè)A、B是坐標(biāo)平面上的兩個(gè)點(diǎn)集，Cr=(x，y)|x2+y2r2，若對(duì)任何r0，都有CrAÍCrB，則必有AÍB2(本題滿分

4、10分)已知兩條異面直線a、b所成的角為，它們的公垂線AA¢的長(zhǎng)度為d，在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A¢E=m，AF=n，求EF(A¢在直線a上，A在直線b上)3(本題滿分15分)如圖，在ABC中，P為邊BC上任意一點(diǎn)，PEBA，PFCA，若SABC=1，證明：SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一個(gè)不小于 (SXYZ表示多邊形XYZ的面積)4(本題滿分15分) 設(shè)an是12+22+32+n2的個(gè)位數(shù)字，n=1，2，3，試證：0.a1a2an是有理數(shù)5(本題滿分15分) 設(shè)x1，x2，xn都是正數(shù)，求證：+x1+x2+xn1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題解答第

5、一試1選擇題(本題滿分40分，每小題答對(duì)得5分答錯(cuò)得0分，不答得1分) 集合S=|argZ=，為常數(shù)在復(fù)平面上的圖形是( ) A射線argZ=2 B射線argZ=2 C射線argZ= D上述答案都不對(duì)解：由于argZ0.2)，故不存在答案Barg=2，故選D下列四個(gè)圖形的陰影部分(不包括邊界)滿足不等式logx(logxy2)>0的是( )解：當(dāng)0<x<1時(shí)，得1>y2>x>0；當(dāng)x>1時(shí)，得y2>x>1選D 對(duì)所有滿足1nm5的m，n，極坐標(biāo)方程=表示的不同雙曲線條數(shù)是( ) A15 B10 C7 D6解：由e=C，若表示雙曲線，則e&g

6、t;1，由C>1，可得m、n的不同取值為C=5，C=10，C=4，C=6，C=3，C=2，共有6個(gè)不同的值，故選D 方程sinx=lgx的實(shí)根個(gè)數(shù)是( ) A1 B2 C3 D大于3解：作y=sinx及y=lgx的圖象，當(dāng)x>10時(shí)，lgx>1故二者只在(0，10)內(nèi)可能有交點(diǎn)經(jīng)作圖可知，二者在(0，)內(nèi)有一交點(diǎn)，在(2，3)內(nèi)有一交點(diǎn)選C 若a>0，a1，F(xiàn)(x)是一個(gè)奇函數(shù)，則 G(x)=F(x)(+)是 A奇函數(shù) B偶函數(shù) C不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) D奇偶性與a的具體數(shù)值有關(guān)解：G(x)=F(x) ，故G(x)=G(x)，且G(x)的定義域是F(x)的定義域與x|

7、x0，xR的交集，為以原點(diǎn)為對(duì)稱的區(qū)域，故選B 若F()=x，則下列等式中正確的是( ) AF(2x)=2F(x) BF(x)=F() CF(x1)=F(x) DF(F(x)=x解：令t=，得x=，即F(t)=，經(jīng)一一驗(yàn)證，知F(2x)=2F(x)，選A 若動(dòng)點(diǎn)P(x，y)以等角速度在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q(2xy，y2x2)的運(yùn)動(dòng)方式是 A以角速度在單位圓上順時(shí)針運(yùn)動(dòng) B以角速度在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng) C以角速度2在單位圓上順時(shí)針運(yùn)動(dòng) D以角速度2在單位圓上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)解：令x=cost，y=sint則2xy=sin2t=cos(2t)y2x2=cos2t=sin(2t)顯然2t與t旋轉(zhuǎn)方向

8、相反故選C 若四面體的一條棱長(zhǎng)是x，其余棱長(zhǎng)都是1，體積是F(x)，則函數(shù)F(x)在其定義域上 A是增函數(shù)但無(wú)最大值 B是增函數(shù)且有最大值 C不是增函數(shù)但無(wú)最大值 D不是增函數(shù)但有最大值解：定義域?yàn)?<x<，當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)(x)最大，故選D2填充題(本題滿分10分，每小題5分) 如圖，AB是單位圓的直徑，在AB上任取一點(diǎn)D，作DCAB，交圓周于C，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(x，0)，則當(dāng)x 時(shí)，線段AD、BD、CD可以構(gòu)成銳角三角形解：由對(duì)稱性，先考慮0x<1的情況，設(shè)AD=a，BD=b，CD=c，則a+b=2，ab=c2，且必有acb，于是只要考慮c2+b2>a2，即(1x)(

9、1+x)+(1x)2>(1+x)2，解得0x<2 2<x<2 方程cos=cosx的通解是 ，在(0，24)內(nèi)不相同的解有 個(gè)解：=2k±x，x=k，與x=m當(dāng)0<k<24時(shí)，k=1，2，8；當(dāng)0<m<24時(shí)，m=1，2，14；而當(dāng)k=3，m=5及k=6，m=10時(shí)，解是相同的，故共有8+142=20個(gè)不同的解第二試1(本題滿分15分)下列命題是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明否則給出反例 若P、Q是直線l同側(cè)的兩個(gè)不同點(diǎn)，則必存在兩個(gè)不同的圓，通過(guò)P、Q且與直線l相切； 若a>0，b>0，且a1，b1，則logab+logba2

10、 設(shè)A、B是坐標(biāo)平面上的兩個(gè)點(diǎn)集，Cr=(x，y)|x2+y2r2，若對(duì)任何r0，都有CrAÍCrB，則必有AÍB解：若PQl，則只能作出一個(gè)圓過(guò)P、Q且與直線l相切； 若a>1，0<b<1，則logab+logba2； A=(x，y)|x2+y2r2，B=(x，y)|0<x2+y2r2，于是CrAÍCrB恒成立，但不滿足AÍB2(本題滿分10分)已知兩條異面直線a、b所成的角為，它們的公垂線AA¢的長(zhǎng)度為d，在直線a、b上分別取點(diǎn)E、F，設(shè)A¢E=m，AF=n，求EF(A¢在直線a上，A在直線b上)

11、解：EF=(證明見(jiàn)課本)3(本題滿分15分)如圖，在ABC中，P為邊BC上任意一點(diǎn)，PEBA，PFCA，若SABC=1，證明：SBPF、SPCE、SPEAF中至少有一個(gè)不小于(SXYZ表示多邊形XYZ的面積)證明：如圖，三等分BC于M、N，若點(diǎn)P在BM上(含點(diǎn)M)，則由于PEAB，則CPECBACPCB于是SPCE同理，若P在NC上(含點(diǎn)N)，則SBPF若點(diǎn)P在線段MN上連EF，設(shè)=r(<r<)，則=1rSBPF=r2，SPCE=(1r)2 SBPF+SPCE=r2+(1r)2=2r22r+1=2(r)2+<2(-)2+=于是SAEPF故命題成立4(本題滿分15分) 設(shè)an是12+22+32+n2的個(gè)位數(shù)字，n=1，2，3，試證：0.a1a2an是有理數(shù)解 由于12+22+n2的個(gè)位數(shù)字只與1到n的個(gè)位數(shù)字的平方和有關(guān)，故只要考慮這些數(shù)的個(gè)位數(shù)字的平方：但121224，329，426，525，626，729，824，921，020(mod 10) a1=1，a2=5，a3=4，a4=0，a5=5，a6=1，a7=0，a8=4，a9=5，a10=5，a11=6，a12=0，a13=9，a14=5，a15=0，a16=6，a17=5，a1