天體運(yùn)動(dòng)中的追及相遇問題

1、天體運(yùn)動(dòng)中的追及相遇問題信陽高中陳慶威 2013.09.17在天體運(yùn)動(dòng)的問題中，我們常遇到一些這樣的問題。比如， A、B兩物體都 繞同一中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻 A、B相距最近，問A、B下一次相距最近或 最遠(yuǎn)需要多少時(shí)間，或“至少”需要多少時(shí)間等問題。而對(duì)于此類問題的解決和我們?cè)谥本€運(yùn)動(dòng)中同一軌道上的追及相遇問題在 思維有上一些相似的地方，即必須找出各相關(guān)物理量間的關(guān)系，但它也有其自身 特點(diǎn)。根據(jù)萬有引力提供向心力，即當(dāng)天體速度增加或減少時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓周軌道就 會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，所以天體不可能在同一軌道上實(shí)現(xiàn)真正意義上的追及或相 遇。天體運(yùn)動(dòng)的追及相遇問題中往往還因伴隨著多解問題而變得更加復(fù)雜

2、，成為同學(xué)們學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。而解決此類問題的關(guān)鍵是就要找好角度、角速度和時(shí)間等 物理量的關(guān)系。一、追及問題【例1】如圖1所示，有A B兩顆行星繞同一顆恒星 M做圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向相 同，A行星的周期為，B行星的周期為T2，在某一時(shí)刻兩行星相距最近，則 經(jīng)過多長時(shí)間，兩行星再次相距最近？ 經(jīng)過多長時(shí)間，兩行星第一次相距最遠(yuǎn)？圖1解析：A、B兩顆行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力B還沒有達(dá)到一周，但是要它們的相距最近，只有 A B行星和恒星M的連線再次在一 條直線上，且A B在同側(cè)，從角度上看，在相同時(shí)間內(nèi)， A比B多轉(zhuǎn)了 2n;如果A、B在異側(cè)，貝尼們相距最遠(yuǎn),n。所以再次相距最近的時(shí)間11

3、,從角度上看，在相同時(shí)間內(nèi)，A比B多轉(zhuǎn)了2頁2tt n葛罵“L=-tt 1 rif 11Tn由；第一次相距最遠(yuǎn)的時(shí)間t2,由打' 兒-：。如果在問題中把“再次”或“第一次”這樣的詞去掉，那么就變成了多解性問題。太陽R33話，得:T曲繞向相同,行星的角速度比地球大，行星相對(duì)地球22 (1、sin3 )jj/行星/視角.地球圖2T T sin3某時(shí)刻該行星正好處于最佳觀察期， 剛看到；二是馬上看不到，如圖3所示。 觀察期至少需經(jīng)歷時(shí)間分別為有兩種情況： 到下一次處于最佳兩者都順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn):ti2_)上sin 3_ ?T2 (1、sin3 )太陽* * 1 l r、二 * ；?行星/-0-0地

4、球圖3兩者都逆時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn):t2(2_)丄sin3_ ?T2 (1 vsin3)【例2】如圖2,地球和某行星在同一軌道平面內(nèi)同向繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 地球的軌道半徑為R,運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T。地球和太陽中心的連線與地球和行星的連 線的夾角叫地球?qū)π行堑挠^察視角（簡稱視角）。已知該行星的最大視角為B, 當(dāng)行星處于最大視角處時(shí)，是地球上天文愛好者觀察該行星的最佳時(shí)期。若某時(shí) 刻該行星正好處于最佳觀察期，問該行星下一次處于最佳觀察期至少需經(jīng)歷多長 時(shí)間？ 解析：由題意可得行星的軌道半徑r Rsin 設(shè)行星繞太陽的運(yùn)行周期為 ，由開普勒大三定律有：二、相遇問題【例3】設(shè)地球質(zhì)量為M繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有一質(zhì)量

5、為 m的飛船由靜止 開始從P點(diǎn)沿PD方向做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，1年后在D點(diǎn)飛船掠過地 球上空，再過3個(gè)月又在Q處掠過地球上空，如圖4所示（圖中“ S”表示太陽）c 根據(jù)以上條件，求地球與太陽之間的萬有引力大小。時(shí) Sr SFff 解析：飛船開始與地球相當(dāng)于在 D點(diǎn)相遇，經(jīng)過3個(gè)月后，它們又在Q點(diǎn)相遇,因此在這段時(shí)間內(nèi)，地球與太陽的連線轉(zhuǎn)過的角度二。設(shè)地球的公轉(zhuǎn)周期為T，飛船由靜止開始做加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則地球的公轉(zhuǎn)半徑為R斗應(yīng)=繪曲所以，地球與太陽之間的萬有引力大小為16【例4】從地球表面向火星發(fā)射火星探測(cè)器，設(shè)地球和火星都在同一平面上繞太 陽做同向圓周運(yùn)動(dòng)，火星軌道半徑r火

6、為地球軌道半徑r地的1. 50倍，簡單而又 比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進(jìn)行：第一步：在地球表面用火箭對(duì)探測(cè)器進(jìn)行加速，使之獲得足夠動(dòng)能，從而脫 離地球引力作用成為一個(gè)沿地球軌道運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星（如圖5）;第二步：在適當(dāng)時(shí)刻點(diǎn)燃與探測(cè)器連在一起的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，在短時(shí)間內(nèi)對(duì)探 測(cè)器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當(dāng)值，從而使得探測(cè)器沿著一個(gè)與地 球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個(gè)橢圓軌道正好射到火星上（如圖6）。當(dāng)探測(cè)器脫離地球并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運(yùn)行后，在某年3月1日零時(shí)測(cè)得探測(cè)器與火星之間的角距離為 60°（火星在前，探測(cè)器在后），如圖 7所示。 問應(yīng)在何年何月何日點(diǎn)燃探測(cè)

7、器上的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)， 方能使探測(cè)器恰好落在火星表 面？（時(shí)間計(jì)算僅需精確到日），已知：沐；''0布磊Sn/ -火星O:圖6宀火星點(diǎn)火太陽 /探測(cè)器 J地球 /0一 4探測(cè)器：-太陽.凡、/地球 /解析：根據(jù)根據(jù)開普勒第三定律，可求出火星的公轉(zhuǎn)周期 T火:33與，題設(shè)r火1.5r地,T地得：T火.(1.5)3T地 =1.840 X 365=671d初始相對(duì)角距離=60°。點(diǎn)火前，探測(cè)器與地球在同一公轉(zhuǎn)軌道同向運(yùn)行,周期跟地球的公轉(zhuǎn)周期相同，故相對(duì)火星的角位移為360°360°1?七1 (需討？七1探測(cè)器在適當(dāng)位置點(diǎn)火后，沿橢圓軌道到與火星相遇所需時(shí)間t

8、 Td2.5r第 3I)得：t 牛 “25）孑=255d在這段時(shí)間t內(nèi)，探測(cè)器的絕對(duì)角位移為1800，火星的絕對(duì)角位移為火3600255137探測(cè)器相對(duì)火星的角位移為2 1800 137° 43°至滌測(cè)器與火星相遇時(shí)，初始相對(duì)角距離（=60°）,應(yīng)等于點(diǎn)火前探測(cè)器相對(duì)火星的角位移1,與探測(cè)器沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)間內(nèi)相對(duì)火星的角位移 9 2之和，即故得:60° 43°17°t1t117°360°360°38 d365671已知某年3月1日零時(shí)，探測(cè)器與火星角距離為60° （火星在前，探測(cè)器在后）， 點(diǎn)燃發(fā)動(dòng)機(jī)時(shí)刻應(yīng)選在當(dāng)年3月1日后38天，注意到“ 3月大”（有31號(hào)）， 即應(yīng)在4月7日零時(shí)點(diǎn)