2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第2節(jié) 一元二次不等式及其解法 教案

1、1第二節(jié)第二節(jié)一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法最新考綱1.會(huì)從實(shí)際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、 一元二次方程的聯(lián)系.3.會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖1一元二次不等式把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的不等式 ，稱為一元二次不等式，其一般形式為 ax2bxc0 或 ax2bxc0(a0)2一元二次不等式的解法步驟(1)將不等式化為右邊為零，左邊為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式 ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a0)(2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根(3)利用二次函數(shù)的圖象

2、與 x 軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集3一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式b24ac000)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩相異實(shí)根 x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1rax2bxc0)的解集x|x1x0的 解 集 是，則不等式 x2bxa0 的解集是()ax|2x3bx|x2 或 x3c. x|13x12d.x|x12(2)解關(guān)于 x 的不等式x2ax10(ar)；ax2(a1)x10.(1)b不等式 ax2bx10 的解集是，5ax2bx10 的解是 x112和 x213，且 a0，1213ba，12 13 1a，解得a6，b5.則

3、不等式 x2bxa0 即為 x25x60，解得 x2 或 x3.(2)解a24.a當(dāng)a240，即2a2 時(shí)，原不等式無解b當(dāng)a240，即 a2 或 a2 時(shí)，方程 x2ax10 的兩根為 x1a a242，x2a a242，則原不等式的解集為x|a a242xa a242.綜上所述，當(dāng)2a2 時(shí)，原不等式無解當(dāng) a2 或 a2 時(shí)，原不等式的解集為x|a a242xa a242.若 a0，原不等式等價(jià)于x10，解得 x1.若 a0，原不等式等價(jià)于x1a (x1)0，解得 x1a或 x1.若 a0，原不等式等價(jià)于x1a (x1)0.a當(dāng) a1 時(shí)，1a1，x1a (x1)0 無解；b當(dāng) a1 時(shí)

4、，1a1，解x1a (x1)0，得1ax1；6c當(dāng) 0a1 時(shí)，1a1，解x1a (x1)0，得 1x1a.綜上所述，當(dāng) a0 時(shí)，解集為 x|x1a或 x1；當(dāng) a0 時(shí)，解集為x|x1；當(dāng) 0a1 時(shí)，解集為 x|1x1a；當(dāng) a1 時(shí)，解集為；當(dāng) a1 時(shí)，解集為 x|1ax1.當(dāng)判別式能寫成一個(gè)式子的平方的形式時(shí)，可先求方程的兩根，再討論兩根的大小，從而寫出解集1.若不等式 ax2bx20 的解集為x|x12或 x13， 則aba的值為()a.56b.16c16d56a由題意知方程 ax2bx20 的兩根為12和13，ba121316，則aba1ba11656.2解關(guān)于 x 的不等式

5、12x2axa2(ar)解原不等式可化為 12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得 x1a4，x2a3.當(dāng) a0 時(shí)，不等式的解集為，a4 a3，；當(dāng) a0 時(shí)，不等式的 解 集 為 ( ， 0)(0 ， ) ； 當(dāng) a 0 時(shí) ， 不 等 式 的 解 集 為，a3 a4，.考點(diǎn) 3一元二次不等式恒成立問題(多維探究)7一元二次不等式恒成立問題的解法1函數(shù)法設(shè) f(x)ax2bxc(a0)(1)f(x)0 在 xr 上恒成立a0 且0；(2)f(x)0 在 xr 上恒成立a0 且0；(3) 當(dāng) a 0 時(shí) ， f(x) 0 在 x ， 上 恒 成 立 b2a

6、，f0或b2a，0或b2a，f0；f(x)0 在 x，上恒成立f0，f0；(4)當(dāng) a0 時(shí)，f(x)0 在 x，上恒成立f0，f0；f(x)0 在 x，上恒成立b2a，f0或b2a，0或b2a，f0.2最值法對(duì)于含參數(shù)的不等式恒成立問題，常通過分離參數(shù)，把求參數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.在 r 上的恒成立問題若不等式(a2)x22(a2)x40 對(duì)一切 xr 恒成立，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是()a(，2b2,2c(2,2d(，2)c當(dāng) a20，即 a2 時(shí)，不等式為40，對(duì)一切 xr 恒成立當(dāng) a2 時(shí)，則a20，4a2

7、216a20，8即a20，a24，解得2a2.所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(2,2解答本題易忽視二次項(xiàng)系數(shù)等于零的情況，導(dǎo)致錯(cuò)誤答案教師備選例題已知函數(shù) f(x) ax22ax1的定義域?yàn)?r.(1)求 a 的取值范圍；(2)若函數(shù) f(x)的最小值為22，解關(guān)于 x 的不等式 x2xa2a0.解(1)因?yàn)楹瘮?shù) f(x) ax22ax1的定義域?yàn)?r，所以 ax22ax10恒成立，當(dāng) a0 時(shí)，10 恒成立當(dāng) a0 時(shí)，則有a0，2a24a0，解得 0a1，綜上可知，a 的取值范圍是0,1(2)因?yàn)?f(x) ax22ax1 ax121a，因?yàn)?a0，所以當(dāng) x1 時(shí)，f(x)min 1a，由題

8、意得， 1a22，所以 a12，所以不等式 x2xa2a0 可化為 x2x340.解得12x32，所以不等式的解集為12，32 .在給定區(qū)間上的恒成立問題(1)一題多解若對(duì)任意的 x1,2， 都有 x22xa0(a 為常數(shù))，則 a 的取值范圍是()a(，3b(，0c1，)d(，19(2)已知函數(shù) f(x)x22ax1 對(duì)任意 x(0,2恒有 f(x)0 成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是()a.1，54b1,1c(，1d.，54(1)a(2)c(1)法一(函數(shù)法)：令 f(x)x22xa，則由題意，得f11221a0，f22222a0，解得 a3，故選 a.法二(最值法)：當(dāng) x1,2時(shí)，不等式

9、 x22xa0 恒成立等價(jià)于 ax22x 恒成立，則由題意，得 a(x22x)min(x1,2)而x22x(x1)21，則當(dāng) x1 時(shí)，(x22x)min3，所以 a3，故選 a.(2)f(x)x22ax1 對(duì)任意 x(0,2恒有 f(x)0 成立， 即 2ax1x在 x(0,2上恒成立因?yàn)?x1x2，當(dāng)且僅當(dāng) x1 時(shí)取最小值 2，所以 2a2，即 a1.故選 c.本例 t(2)若用函數(shù)法求解有三種情況，較復(fù)雜1.若不等式 2kx2kx380 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立，則 k 的取值范圍為()a(3,0)b3,0)c3,0d(3,0d當(dāng) k0 時(shí)，顯然成立；當(dāng) k0 時(shí)，即一元二次不等式 2k

10、x2kx380 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立則k0，k242k38 0，解得3k0.綜上， 滿足不等式 2kx2kx380 對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立的 k 的取值范圍是(103,0故選 d.2若不等式 x2mx10 對(duì)于任意 xm，m1都成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是22，0由題意得，函數(shù) f(x)x2mx1 在m，m1上的最大值小于0，又拋物線 f(x)x2mx1 開口向上，所以只需fmm2m210，fm1m12mm110，即2m210，2m23m0，解得22m0.考點(diǎn) 4一元二次不等式的應(yīng)用求解不等式應(yīng)用題的四個(gè)步驟(1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將

11、文字信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義；(4)回歸實(shí)際問題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問題的結(jié)果甲廠以 x 千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每小時(shí)可獲得的利潤是 1005x13x元(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品 2 小時(shí)獲得的利潤不低于 3 000 元，求 x 的取值范圍；(2)要使生產(chǎn) 900 千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤解(1)根據(jù)題意，得 2005x13x 3 000，整理得 5x143x0，即 5x214x30，又 1x10，可解得 3x10.即要

12、使生產(chǎn)該產(chǎn)品2 小時(shí)獲得的利潤不低于 3 000元， x的取值范圍是3,10(2)設(shè)利潤為 y 元，則11y900 x1005x13x 910451x3x2910431x1626112，故當(dāng) x6 時(shí)，ymax457 500 元即甲廠以 6 千克/小時(shí)的生產(chǎn)速度生產(chǎn) 900 千克該產(chǎn)品時(shí)獲得的利潤最大，最大利潤為 457 500 元解答本題第(2)問時(shí)，把 y 看作1x的二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”剎車距離是分析事故的一個(gè)重要因素在一個(gè)限速為 40 km/h 的彎道上， 甲、 乙兩輛汽車相向而行， 發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相碰了事后現(xiàn)場(chǎng)勘查測(cè)得甲車的剎車距離略超過 12 m，乙車的剎車距離略超過 10 m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離 s(m)與車速 x(km/h)之間分別有如下關(guān)系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2，問：甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象？解由題意知，對(duì)于甲車，有 0