2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第2節(jié) 一元二次不等式及其解法 教案

1、1第二節(jié)第二節(jié)一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法最新考綱1.會從實際問題的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、 一元二次方程的聯(lián)系.3.會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設(shè)計求解的程序框圖1一元二次不等式把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的不等式 ，稱為一元二次不等式，其一般形式為 ax2bxc0 或 ax2bxc0(a0)2一元二次不等式的解法步驟(1)將不等式化為右邊為零，左邊為二次項系數(shù)大于零的不等式 ax2bxc0(a0)或 ax2bxc0(a0)(2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根(3)利用二次函數(shù)的圖象

2、與 x 軸的交點確定一元二次不等式的解集3一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系判別式b24ac000)的圖象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩相異實根 x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1rax2bxc0)的解集x|x1x0的 解 集 是，則不等式 x2bxa0 的解集是()ax|2x3bx|x2 或 x3c. x|13x12d.x|x12(2)解關(guān)于 x 的不等式x2ax10(ar)；ax2(a1)x10.(1)b不等式 ax2bx10 的解集是，5ax2bx10 的解是 x112和 x213，且 a0，1213ba，12 13 1a，解得a6，b5.則

3、不等式 x2bxa0 即為 x25x60，解得 x2 或 x3.(2)解a24.a當(dāng)a240，即2a2 時，原不等式無解b當(dāng)a240，即 a2 或 a2 時，方程 x2ax10 的兩根為 x1a a242，x2a a242，則原不等式的解集為x|a a242xa a242.綜上所述，當(dāng)2a2 時，原不等式無解當(dāng) a2 或 a2 時，原不等式的解集為x|a a242xa a242.若 a0，原不等式等價于x10，解得 x1.若 a0，原不等式等價于x1a (x1)0，解得 x1a或 x1.若 a0，原不等式等價于x1a (x1)0.a當(dāng) a1 時，1a1，x1a (x1)0 無解；b當(dāng) a1 時

4、，1a1，解x1a (x1)0，得1ax1；6c當(dāng) 0a1 時，1a1，解x1a (x1)0，得 1x1a.綜上所述，當(dāng) a0 時，解集為 x|x1a或 x1；當(dāng) a0 時，解集為x|x1；當(dāng) 0a1 時，解集為 x|1x1a；當(dāng) a1 時，解集為；當(dāng) a1 時，解集為 x|1ax1.當(dāng)判別式能寫成一個式子的平方的形式時，可先求方程的兩根，再討論兩根的大小，從而寫出解集1.若不等式 ax2bx20 的解集為x|x12或 x13， 則aba的值為()a.56b.16c16d56a由題意知方程 ax2bx20 的兩根為12和13，ba121316，則aba1ba11656.2解關(guān)于 x 的不等式

5、12x2axa2(ar)解原不等式可化為 12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得 x1a4，x2a3.當(dāng) a0 時，不等式的解集為，a4 a3，；當(dāng) a0 時，不等式的 解 集 為 ( ， 0)(0 ， ) ； 當(dāng) a 0 時 ， 不 等 式 的 解 集 為，a3 a4，.考點 3一元二次不等式恒成立問題(多維探究)7一元二次不等式恒成立問題的解法1函數(shù)法設(shè) f(x)ax2bxc(a0)(1)f(x)0 在 xr 上恒成立a0 且0；(2)f(x)0 在 xr 上恒成立a0 且0；(3) 當(dāng) a 0 時 ， f(x) 0 在 x ， 上 恒 成 立 b2a

6、，f0或b2a，0或b2a，f0；f(x)0 在 x，上恒成立f0，f0；(4)當(dāng) a0 時，f(x)0 在 x，上恒成立f0，f0；f(x)0 在 x，上恒成立b2a，f0或b2a，0或b2a，f0.2最值法對于含參數(shù)的不等式恒成立問題，常通過分離參數(shù)，把求參數(shù)的范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.在 r 上的恒成立問題若不等式(a2)x22(a2)x40 對一切 xr 恒成立，則實數(shù) a的取值范圍是()a(，2b2,2c(2,2d(，2)c當(dāng) a20，即 a2 時，不等式為40，對一切 xr 恒成立當(dāng) a2 時，則a20，4a2

7、216a20，8即a20，a24，解得2a2.所以實數(shù) a 的取值范圍是(2,2解答本題易忽視二次項系數(shù)等于零的情況，導(dǎo)致錯誤答案教師備選例題已知函數(shù) f(x) ax22ax1的定義域為 r.(1)求 a 的取值范圍；(2)若函數(shù) f(x)的最小值為22，解關(guān)于 x 的不等式 x2xa2a0.解(1)因為函數(shù) f(x) ax22ax1的定義域為 r，所以 ax22ax10恒成立，當(dāng) a0 時，10 恒成立當(dāng) a0 時，則有a0，2a24a0，解得 0a1，綜上可知，a 的取值范圍是0,1(2)因為 f(x) ax22ax1 ax121a，因為 a0，所以當(dāng) x1 時，f(x)min 1a，由題

8、意得， 1a22，所以 a12，所以不等式 x2xa2a0 可化為 x2x340.解得12x32，所以不等式的解集為12，32 .在給定區(qū)間上的恒成立問題(1)一題多解若對任意的 x1,2， 都有 x22xa0(a 為常數(shù))，則 a 的取值范圍是()a(，3b(，0c1，)d(，19(2)已知函數(shù) f(x)x22ax1 對任意 x(0,2恒有 f(x)0 成立，則實數(shù) a 的取值范圍是()a.1，54b1,1c(，1d.，54(1)a(2)c(1)法一(函數(shù)法)：令 f(x)x22xa，則由題意，得f11221a0，f22222a0，解得 a3，故選 a.法二(最值法)：當(dāng) x1,2時，不等式

9、 x22xa0 恒成立等價于 ax22x 恒成立，則由題意，得 a(x22x)min(x1,2)而x22x(x1)21，則當(dāng) x1 時，(x22x)min3，所以 a3，故選 a.(2)f(x)x22ax1 對任意 x(0,2恒有 f(x)0 成立， 即 2ax1x在 x(0,2上恒成立因為 x1x2，當(dāng)且僅當(dāng) x1 時取最小值 2，所以 2a2，即 a1.故選 c.本例 t(2)若用函數(shù)法求解有三種情況，較復(fù)雜1.若不等式 2kx2kx380 對一切實數(shù) x 都成立，則 k 的取值范圍為()a(3,0)b3,0)c3,0d(3,0d當(dāng) k0 時，顯然成立；當(dāng) k0 時，即一元二次不等式 2k

10、x2kx380 對一切實數(shù) x 都成立則k0，k242k38 0，解得3k0.綜上， 滿足不等式 2kx2kx380 對一切實數(shù) x 都成立的 k 的取值范圍是(103,0故選 d.2若不等式 x2mx10 對于任意 xm，m1都成立，則實數(shù) m 的取值范圍是22，0由題意得，函數(shù) f(x)x2mx1 在m，m1上的最大值小于0，又拋物線 f(x)x2mx1 開口向上，所以只需fmm2m210，fm1m12mm110，即2m210，2m23m0，解得22m0.考點 4一元二次不等式的應(yīng)用求解不等式應(yīng)用題的四個步驟(1)閱讀理解，認真審題，把握問題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；(2)引進數(shù)學(xué)符號，將

11、文字信息轉(zhuǎn)化為符號語言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實際意義；(4)回歸實際問題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實際問題的結(jié)果甲廠以 x 千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1x10)，每小時可獲得的利潤是 1005x13x元(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品 2 小時獲得的利潤不低于 3 000 元，求 x 的取值范圍；(2)要使生產(chǎn) 900 千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：甲廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤解(1)根據(jù)題意，得 2005x13x 3 000，整理得 5x143x0，即 5x214x30，又 1x10，可解得 3x10.即要

12、使生產(chǎn)該產(chǎn)品2 小時獲得的利潤不低于 3 000元， x的取值范圍是3,10(2)設(shè)利潤為 y 元，則11y900 x1005x13x 910451x3x2910431x1626112，故當(dāng) x6 時，ymax457 500 元即甲廠以 6 千克/小時的生產(chǎn)速度生產(chǎn) 900 千克該產(chǎn)品時獲得的利潤最大，最大利潤為 457 500 元解答本題第(2)問時，把 y 看作1x的二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”剎車距離是分析事故的一個重要因素在一個限速為 40 km/h 的彎道上， 甲、 乙兩輛汽車相向而行， 發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了事后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離略超過 12 m，乙車的剎車距離略超過 10 m，又知甲、乙兩種車型的剎車距離 s(m)與車速 x(km/h)之間分別有如下關(guān)系：s甲0.1x0.01x2，s乙0.05x0.005x2，問：甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象？解由題意知，對于甲車，有 0