第二章 從Maxwell方程組到光波導(dǎo)理論-最新課件

1、第二章 從Maxwell方程組到光波導(dǎo)理論光是一種特殊波段的電磁波，它在波導(dǎo)中傳輸滿足電磁場(chǎng)的基本方程Maxwell方程組。這一章中，我們將從Maxwell方程組出發(fā)，建立光在波導(dǎo)中傳輸?shù)碾姶挪ɡ碚撆c幾何光學(xué)理論，進(jìn)而討論光在波導(dǎo)中的傳輸行為。§2.1 Maxwell方程組19世紀(jì)60年代，英國(guó)物理學(xué)家麥克斯韋（James Clerk Maxwell，18311879）在法拉第、高斯等人對(duì)電磁現(xiàn)象深入研究的基礎(chǔ)上，加上他自己對(duì)電磁現(xiàn)象與力學(xué)的類比，提出了渦旋電場(chǎng)和位移電流假設(shè)，建立起一組完整的定量描述宏觀電磁現(xiàn)象的基本方程，即著名的Maxwell方程組。根據(jù)這組基本方程，麥克斯韋預(yù)言

2、了電磁波的存在，并指出光波就是波長(zhǎng)極短的電磁波，從而使人類對(duì)光的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)向前邁進(jìn)了一大步，也在物理學(xué)發(fā)展史上建立了一座新的里程碑。迄今為止，除了光發(fā)射與吸收必須用量子理論才能圓滿解釋外，麥克斯韋的經(jīng)典電磁理論仍是分析光波傳輸問題的理論基礎(chǔ)。2.1.1 Maxwell方程組宏觀電磁現(xiàn)象可以用電磁場(chǎng)來描述。真空中的電磁場(chǎng)由電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度來描述。而為描述場(chǎng)對(duì)物質(zhì)的作用，如光在透明介質(zhì)中傳播，則需再引入電位移矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度。在電磁場(chǎng)中每一點(diǎn)，這些矢量隨時(shí)間和空間的變化關(guān)系由Maxwell方程組給出（2.1.1a）（2.1.1b）（2.1.1c）（2.1.1d）式中，為介質(zhì)中的傳導(dǎo)電流密度；為自

3、由電荷密度。（2.1.1）式中四個(gè)方程不是獨(dú)立的，如果認(rèn)為電流連續(xù)方程（2.1.2）是獨(dú)立方程，則c、d兩式可由a、b兩式推出。為了從（2.1.1）式完全確定電磁場(chǎng)量，尚需給出、與、的關(guān)系，即物質(zhì)方程（2.1.3a）（2.1.3b）（2.1.3c）式中，為介質(zhì)的電導(dǎo)率，對(duì)良好介質(zhì)可以認(rèn)為近似為零；和分別為真空的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率；稱為介質(zhì)的極化強(qiáng)度；稱為介質(zhì)的磁化強(qiáng)度。對(duì)于電各向異性介質(zhì)，電極化強(qiáng)度可以寫成（2.1.4）其中是i+1階張量。如果除外，其余的元素均為零，則稱此介質(zhì)為線性介質(zhì)，否則為非線性介質(zhì)。對(duì)于各向異性線性介質(zhì)，總可以選擇合適的坐標(biāo)系使（2.1.5）若、均不相等，稱為雙軸晶體；若

4、其中只有兩個(gè)相等，稱為單軸晶體；若三個(gè)都相等，即，可以用標(biāo)量表示，從而得到（2.1.6）（2.1.7）其中為相對(duì)介電常數(shù)。由于一般傳光介質(zhì)均為非磁性介質(zhì)，從而（2.1.8）滿足（2.1.7）及（2.1.8）式的介質(zhì)稱為各向同性線性介質(zhì)，如未作特殊說明，本書所涉及的介質(zhì)均為此種介質(zhì)。通過上面的講述我們可以看出，Maxwell方程組雖然給出了電磁場(chǎng)的基本規(guī)律，但由于介質(zhì)和場(chǎng)量的復(fù)雜性，使得求解并不容易?？紤]物質(zhì)方程，可以降低求解難度。首先，通過線性各向同性介質(zhì)假設(shè)降低了介質(zhì)的復(fù)雜程度；其次，通過物質(zhì)方程可以使求解的場(chǎng)量由4個(gè)（、）變?yōu)?個(gè)（、）。但是，介質(zhì)和場(chǎng)量均是時(shí)間t與空間位置（x，y，z）的

5、函數(shù)，方程仍很復(fù)雜。先在時(shí)間上將場(chǎng)量簡(jiǎn)化。引入傅里葉變換（2.1.9a）（2.1.9b）式中，可代表所有場(chǎng)分量的時(shí)域表達(dá)式；則為其頻域表達(dá)式。從（2.1.9b）式可以看出，任意時(shí)域場(chǎng)分量都可以分解成多個(gè)頻域分量。在良好介質(zhì)（，）中，且介質(zhì)的性質(zhì)不隨時(shí)間變化（定態(tài)假設(shè)），則各個(gè)頻率的場(chǎng)量均滿足頻域中的Maxwell方程組（2.1.10a）（2.1.10b）（2.1.10c）（2.1.10d）若不涉及色散或非線性傳輸?shù)扰c頻率有關(guān)的現(xiàn)象，對(duì)于某一工作頻率，式中、僅是空間位置（x，y，z）的函數(shù)，而時(shí)域中的電磁場(chǎng)量可根據(jù)（2.1.9a）式疊加而成。再考慮場(chǎng)量在空間上能否簡(jiǎn)化。若介質(zhì)均勻，即不隨空間位置

6、（x，y，z）變化，則（2.1.10d）式可化為，問題顯然簡(jiǎn)單了很多。但大多數(shù)情況是，僅在某一局域?yàn)槌?shù)，因此我們接下來討論電磁場(chǎng)的邊界條件，即兩局域交界面處電磁場(chǎng)的聯(lián)系。2.1.2 電磁場(chǎng)邊界條件Maxwell方程組（2.1.1）式描述的是電磁性質(zhì)、為位置坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)中電磁場(chǎng)的基本規(guī)律。而當(dāng)介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生突變時(shí)，由于導(dǎo)數(shù)不存在，所以（2.1.1）式不再適用。此時(shí)需將（2.1.1）式改成積分形式（2.1.11a）（2.1.11b）（2.1.11c）（2.1.11d）式中和的積分路徑L分別為（2.1.11a）和（2.1.11b）兩式右端面積分區(qū)域S的邊界；而和在閉合曲面上面積分的積分區(qū)域

7、S分別為（2.1.11c）和（2.1.11d）兩式右端體積分區(qū)域V的外表面。將（2.1.11a）和（2.1.11b）式應(yīng)用于圖2.1.1(a)所示的窄條型回路，可得到（2.1.12a）（2.1.12b）（2.1.12）式說明，兩介質(zhì)分界面處電場(chǎng)強(qiáng)度切向連續(xù)，而磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量在邊界面上的突變?nèi)Q于界面上的傳導(dǎo)面電流密度。再將（2.1.11c）和（2.1.11d）式應(yīng)用于圖2.1.1(b)所示的扁平區(qū)域，可得到（2.1.13a）（2.1.13b）上式說明，兩介質(zhì)分界面處磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量連續(xù)，而電位移矢量的法向分量突變?nèi)Q于界面上的自由面電荷密度。對(duì)于非導(dǎo)電介質(zhì)，其表面面電荷密度，面電流密度

8、，因而可將（2.1.12）和（2.1.13）式合并寫成（2.1.14a）（2.1.14b）（2.1.14c）（2.1.14d）即電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度切向連續(xù)，磁感應(yīng)強(qiáng)度和電位移矢量法向連續(xù)。根據(jù)Maxwell方程組、物質(zhì)方程及邊界條件即可以確定所有電磁場(chǎng)量。由于Maxwell方程組是偏微分方程組，還需要在適當(dāng)?shù)臈l件下進(jìn)一步消元，化簡(jiǎn)為偏微分方程。2.1.3 波動(dòng)方程和Helmholtz方程良好介質(zhì)中、，如果介質(zhì)為均勻、各向同性、線性介質(zhì)，則為常數(shù)。在上述兩條件下，將（2.1.1a）和（2.1.1b）式取旋度，并注意到，可得（2.1.15a）（2.1.15b）式中，為真空中光速；為介質(zhì)的折射率。（

9、2.1.15）式即為線性、均勻、各向同性介質(zhì)中的波動(dòng)方程，它的解即為波速為的電磁波。在頻域中，所有場(chǎng)量都是以角頻率振蕩的正弦量，因而其波動(dòng)方程為（2.1.16a）（2.1.16b）式中（2.1.17）（2.1.16）式稱為Helmholtz方程。對(duì)于非均勻的各向同性線性介質(zhì)，因?yàn)椋?.1.18）可得（2.1.19）從而得到（2.1.20a）（2.1.20b）式中，是位置的函數(shù)，如果介質(zhì)的折射率或相對(duì)介電常數(shù)隨位置變化得較為緩慢，即滿足，則稱這種介質(zhì)為緩變介質(zhì)，于是（2.1.20）可化簡(jiǎn)為（2.1.21a）（2.1.21b）上式雖然形式上與(2.1.16)式相同，但二者有著重要區(qū)別，即(2.1.

10、21)式中的折射率n是空間位置的函數(shù)，因而其求解也就要困難得多。在分析光波導(dǎo)中光波的傳播時(shí)，我們既會(huì)遇到均勻介質(zhì)，又會(huì)遇到非均勻介質(zhì)，但光波導(dǎo)中介質(zhì)的非均勻性總滿足緩變條件。因而（2.1.16）和（2.1.21）式是我們分析光波導(dǎo)中光波傳播的基礎(chǔ)。Helmholtz方程是一元二階偏微分方程，與Maxwell方程組相比要簡(jiǎn)化了許多。但由于場(chǎng)量和都是矢量，所以每一個(gè)矢量方程都相當(dāng)于三個(gè)標(biāo)量方程，即Helmholtz方程仍有簡(jiǎn)化的可能。一方面，我們可以根據(jù)介質(zhì)的對(duì)稱性，選擇合適的坐標(biāo)系，利用各分量之間的關(guān)系，將Helmholtz方程化簡(jiǎn)為標(biāo)量方程，如第2.2節(jié)和第3章。另一方面，我們可以將一個(gè)矢量函

11、數(shù)在合理的情況下簡(jiǎn)化為常矢量和標(biāo)量函數(shù)的乘積，進(jìn)而將Helmholtz方程化簡(jiǎn)為標(biāo)量方程，下面就主要對(duì)此進(jìn)行論述。2.1.4 均勻平面電磁波根據(jù)定態(tài)波假設(shè)，電磁波的振幅僅是空間位置的函數(shù)，相位是時(shí)間和空間的線性函數(shù)（2.1.22）式中是波的振幅矢量。略去后（2.1.23a）（2.1.23b）式中，稱為波矢，方向?yàn)椴ǖ南嗨俜较颍笮?，即波的相位常?shù)；和分別是波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)振幅矢量，與和一樣，僅是空間位置的函數(shù)。尤其在無界均勻各向同性線性介質(zhì)中，對(duì)于均勻平面電磁波，、和都是常矢量。令（2.1.24）式中C為任意常數(shù)。上式在空間描述出一組平面，稱為波的等相位面。(1)均勻平面電磁波是TEM波將（2

12、.1.23）式代入（2.1.10）式，得（2.1.25a）（2.1.25b）（2.1.25c）（2.1.25d）式中，為介質(zhì)的波阻抗，為波矢的單位矢量。上式說明無界介質(zhì)中的均勻平面電磁波是TEM波，、和三者相互垂直，和相位始終一致。(2)均勻平面電磁波的相速和群速平面電磁波相位傳播的速度稱為相速（2.1.26）而能量傳播的速度稱為群速（2.1.27）對(duì)于均勻平面波，。如果介質(zhì)折射率n與頻率無關(guān)，則（2.1.28）即對(duì)于均勻無色散介質(zhì)，其中傳播的平面電磁波的相速與群速相等，且與波源的頻率無關(guān)，僅與介質(zhì)的折射率有關(guān)。(3)均勻平面電磁波的偏振態(tài)平面電磁波的偏振態(tài)是指電場(chǎng)強(qiáng)度矢量或磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的空間

13、取向隨時(shí)間的變化情況。平面電磁波的偏振態(tài)包括：自然光、部分偏振光、線偏振光、橢圓偏振光和圓偏振光，共5種。其中，線偏振光、橢圓偏振光和圓偏振光統(tǒng)稱為完全偏振光，自然光也稱為非偏振光。自然光和部分偏振光都可以看成多個(gè)完全偏振光的混合，因此下面我們著重討論完全偏振光。任意場(chǎng)矢量總可以寫成沿兩個(gè)特征方向的分矢量之和，即（2.1.29）式中，、為與波傳播方向垂直的兩個(gè)相互正交的單位矢量，；和分別為和方向上的振幅；和分別為和方向上的相位因子。當(dāng)時(shí)分別為一、三和二、四象限的線偏振態(tài)。當(dāng)且時(shí)分別為右旋和左旋圓偏振態(tài)。更一般的情況下，波呈橢圓偏振態(tài)，時(shí)為右旋偏振態(tài)，而時(shí)為左旋偏振態(tài)。需要指出，這里關(guān)于旋向的定

14、義與工程電磁理論中的規(guī)定一致，而與一般的光學(xué)教科書中的剛好相反。（2.1.29）式說明，任何一種完全偏振態(tài)都可以看成兩個(gè)具有確定相位差和振幅比的線偏振態(tài)的疊加。同樣，在研究旋光現(xiàn)象時(shí)，我們也可以將它看成是兩個(gè)旋向相反的圓偏振光的疊加，即（2.1.30）式中，、分別為左旋和右旋圓偏振態(tài)的振幅。若，則代表線偏振態(tài)；若，則代表橢圓偏振態(tài)；若、其中之一為零，則為圓偏振態(tài)。為了方便，在研究偏振態(tài)時(shí)，常引進(jìn)Stokes參數(shù)。四個(gè)Stokes參數(shù)的定義是（2.1.31a）（2.1.31b）（2.1.31c）（2.1.31d）顯然，四個(gè)Stokes參數(shù)不是獨(dú)立的，（2.1.32）如果以、為直角坐標(biāo)系中的x、y

15、、z坐標(biāo)，則當(dāng)為常數(shù)時(shí)，決定了一個(gè)球面，這個(gè)球面稱為Poincaré球。Poincaré球面上的點(diǎn)與完全偏振態(tài)一一對(duì)應(yīng)，如圖2.1.2所示。如果測(cè)得Stokes參數(shù)的變化規(guī)律，則可確定光波的偏振態(tài)變化規(guī)律，這為測(cè)定單模光纖傳輸系統(tǒng)的偏振態(tài)色散提供了理論基礎(chǔ)。2.1.5 平面電磁波的反射和折射與2.1.2類似，當(dāng)介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生突變時(shí)，平面電磁波將在不同介質(zhì)分界面處發(fā)生反射和折射，如圖2.1.3所示。根據(jù)分界面兩側(cè)滿足的邊界條件，可得兩種介質(zhì)中入射波、反射波和折射波之間的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：(1)入射光、反射光和折射光共面，即、和共面；(2)反射角等于入射角，即；(3)Snell定律:

16、,其中、為兩種介質(zhì)的折射率。入射波、反射波和折射波之間的動(dòng)力學(xué)關(guān)系：(1)對(duì)于平行偏振態(tài)，即電場(chǎng)矢量與入射面平行的線偏振態(tài)，其振幅反射和透射率分別為（2.1.33a）（2.1.33b）(2)對(duì)于垂直偏振態(tài)，即電場(chǎng)矢量與入射面垂直的線偏振態(tài)，其振幅反射和透射率分別為（2.1.34a）（2.1.34b）（2.1.33）和（2.1.34）式統(tǒng)稱為Fresnel公式。s分量始終垂直紙面向內(nèi)，p、s、k成右手系。由Snell定律可知，當(dāng)時(shí)，折射角大于入射角，有可能發(fā)生全反射。全反射的臨界角（2.1.35）當(dāng)時(shí)，折射光將與界面平行；當(dāng)時(shí)，折射光消失，從而發(fā)生全反射。由（2.1.33a）式可知，如果以Bre

17、wster角入射（2.1.36）則平行偏振態(tài)的反射率為零，即無論入射光的偏振態(tài)如何，均只有垂直偏振態(tài)反射。即以Brewster角入射時(shí)，反射光總為線偏振光，因此Brewster角又稱為起偏角。2.1.6 電磁波理論的短波長(zhǎng)極限幾何光學(xué)理論光波是頻率極高的電磁波，即波長(zhǎng)極短。在光纖通信與光纖傳感中常用近紅外光波作為信號(hào)的載體，其頻率在左右，波長(zhǎng)在1m左右。這種近紅外光波的波長(zhǎng)比起一般光學(xué)系統(tǒng)的尺寸要小很多，因而可以可以忽略光波波長(zhǎng)的有限大小的尺度，近似認(rèn)為光沿光線傳播，從而形成研究光傳播規(guī)律的另一分支幾何光學(xué)。幾何光學(xué)的理論早在古希臘時(shí)期就已形成，其歷史與歐幾里得幾何一樣悠久，要遠(yuǎn)早于波動(dòng)光學(xué)。

18、幾何光學(xué)的基本方程程函方程（eikonal equation）也完全可以從變分原理得到，而不必借助Maxwell電磁理論。本書中為了將光的傳播理論統(tǒng)一在電磁理論的框架之內(nèi)，將幾何光學(xué)理論看成電磁波理論的短波長(zhǎng)極限。幾何光學(xué)的優(yōu)點(diǎn)是：理論模型簡(jiǎn)單直觀、物理概念清晰、易于理解，所以對(duì)于初學(xué)者理解光在波導(dǎo)中傳輸及分析多模光波導(dǎo)都有著重要意義。但因?yàn)閹缀喂鈱W(xué)是電磁波理論的短波長(zhǎng)極限，所以幾何光學(xué)所得到的結(jié)果具有局限性，僅適于分析幾何尺度遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)的情形。具體地說，幾何光學(xué)理論只能用來分析多模光波導(dǎo)；而橫向尺度與工作波長(zhǎng)可比擬的單模光波導(dǎo)就只能波動(dòng)理論才能得到正確的結(jié)果。(1)幾何光學(xué)基本規(guī)律程函方程程

19、函方程描述了光波的幾何波陣面的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在各向同性的非磁性介質(zhì)中，頻域中的Maxwell方程組為（2.1.37a）（2.1.37b）（2.1.37c）（2.1.37d）在各向同性均勻介質(zhì)中，均勻平面電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)強(qiáng)度可表為（2.1.38a）（2.1.38b）上式描述了一個(gè)沿方向傳播的均勻平面波，其波陣面是與垂直的平面族。更一般的情況下，介質(zhì)的電磁性質(zhì)不均勻，即其折射率是空間位置的函數(shù)。一般說來，在此情況下，已不存在均勻平面波解。非均勻介質(zhì)中Maxwell方程組的試探解可以寫成（2.1.39a）（2.1.39b）式中振幅矢量和都是位置的函數(shù)，而稱為光程函數(shù)。（2.1.39）式代入（2.1.3

20、7）式得（2.1.40a）（2.1.40b）（2.1.40c）（2.1.40d）式中，是自由空間的波阻抗。在電磁波的波長(zhǎng)趨于零，即趨于無窮的短波長(zhǎng)極限情形下，（2.1.40）的右端都可以忽略，從而有（2.1.41a）（2.1.41b）（2.1.41c）（2.1.41d）由（2.1.41c）和（2.1.41d）式可以看出，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量都與矢量相垂直。如果令常數(shù)，則可以得到一系列曲面，這些曲面就是波的等相位面或等程函面。由于和都與等程函面法向垂直，且和也相互垂直，所以在折射率不均勻的介質(zhì)中波長(zhǎng)極短的電磁波仍是橫電磁波，即TEM波。將（2.1.41b）式代入（2.1.41a）式，得（2

21、.1.42）利用矢量恒等式及（2.1.41d）式，得（2.1.43）由于電場(chǎng)強(qiáng)度矢量不能處處為零，因而有（2.1.44）上式即為程函方程，它是幾何光學(xué)的基本方程。另外，程函方程也可由費(fèi)馬原理得到。費(fèi)馬原理指出，介質(zhì)中任意兩點(diǎn)間的光線的實(shí)際傳播路徑為這兩點(diǎn)間光程變分為零的路徑。即、兩點(diǎn)間實(shí)際路徑所滿足的方程必是變分問題（2.1.45）的Hamilton-Jacobi方程，即程函方程。詳細(xì)的推導(dǎo)可參閱M.Born與E.Wolf合著的光學(xué)原理第3章。(2)光線的傳播路徑射線方程前面我們定義了等相位面，與之正交的軌跡稱為光線。即（2.1.46）式中是光線傳播路徑切線方向上的單位矢量，即光線的傳播方向，

22、如圖2.1.4所示。根據(jù)程函方程（2.1.44）式，又可以得到，于是（2.1.47）將上式對(duì)路程s求導(dǎo)，得（2.1.48）交換右端的求導(dǎo)次序，得（2.1.49）由于，故（2.1.50）再利用（2.1.47）式，得（2.1.51）上式即為折射率分布為的介質(zhì)中的射線方程。射線方程在研究其它波線乃至流線中都有著廣泛的應(yīng)用，因此也稱流線方程或射流方程。(3)應(yīng)用舉例例1 光線在均勻介質(zhì)中傳播。【解】均勻介質(zhì)中n=常數(shù)，因而，所以（2.1.52）積分上式即可解得（2.1.53）式中和是兩個(gè)常矢量，s是路徑的長(zhǎng)度。（2.1.53）式是一個(gè)直線方程，說明光線在均勻介質(zhì)中沿直線傳播。矢量表示光線的起始位置，矢

23、量表示光的傳播方向，如圖2.1.5所示。例2 光線在球?qū)ΨQ折射率分布介質(zhì)中傳播【解】所謂球?qū)ΨQ分布是指在球坐標(biāo)系下，折射率僅是r的函數(shù)，即（2.1.54）所以（2.1.55）再由射線方程（2.1.51）式，得（2.1.56）將上式兩端得（2.1.57）由于，故（2.1.58）即（2.1.59）上式說明：(1)光線的傳播方向與位置矢量構(gòu)成一個(gè)平面，而光線的路徑始終處于此平面內(nèi)。即光線路徑是平面曲線，而非空間曲線。(2)每條光線都對(duì)應(yīng)一個(gè)不變量（2.1.60）式中為位置矢量與光線傳播方向之間的夾角，d為原點(diǎn)到該點(diǎn)切向的距離，n為該點(diǎn)的折射率，如圖2.1.6所示。為進(jìn)一步討論光線的走向，將（2.1.

24、56）式展開，得（2.1.61）或（2.1.62）式中為位置矢量的單位矢量。由微分幾何可知，曲率矢量（2.1.63）其中為曲率半徑，為曲線的主法線方向，如圖2.1.7所示。（2.1.62）式 得（2.1.64）由于曲率半徑，因而上式右端必為正值。即當(dāng)時(shí)，與的夾角小于，如圖2.1.7(a)所示；而當(dāng)時(shí)，與的夾角大于，如圖2.1.7(b)所示。說明光線的路徑總是彎向折射率大的一側(cè)。這個(gè)結(jié)論雖然是從折射率球?qū)ΨQ分布的特例中得到的，但它具有普遍性，一般的結(jié)果與折射定律相吻合。運(yùn)用這一結(jié)論，會(huì)為定性分析光的傳播路徑等問題帶來很大的方便，希望讀者能夠記住。例3 折射定律和反射定律的證明【證】前兩個(gè)例子中折

25、射率不變或連續(xù)變化，而在此例中，光線的反射和折射發(fā)生在介質(zhì)的分界面處，這里的折射率發(fā)生突變，射線方程中不存在。因此需從幾何光學(xué)的基本方程出發(fā)。由光線的定義，即等程函面的正交軌線，有（2.1.65）即矢量可以看成是標(biāo)量光程函數(shù)的梯度，因而（2.1.66）令兩種介質(zhì)的折射率分別為、，由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的分界面的法向單位矢量為。取如圖2.1.8所示的扁平回路。光線傳播方向的單位矢量在介質(zhì)1、2中分別用、表示。假設(shè)扁平回路的長(zhǎng)l比寬h大得多，即l>>h。此時(shí)上面的積分近似為（2.1.67）式中、分別為扁平回路位于介質(zhì)1、2中的變的切向單位矢量，且。設(shè)為扁平回路的法向單位矢量，則，從而得（2

26、.1.68）即（2.1.69）由于回路的可以以為軸任意選取，即為垂直的任意矢量。故（2.1.70）上式說明，入射光線、折射光線、法線三者共面。令與之間的夾角為，與之間的夾角為，則有（2.1.71）這就是折射定律或Snell定律。對(duì)于反射光線，只需令（負(fù)號(hào)表示反射光與入射光的法向剛好相反，入射光由介質(zhì)1射向介質(zhì)2時(shí)，反射光由介質(zhì)2射向介質(zhì)1），則（2.1.72）這就是反射定律。上式的表述與通常的反射定律略有不同，這跟幾何光學(xué)的符號(hào)規(guī)定有關(guān)，即由法向逆時(shí)針轉(zhuǎn)向光線的角度為正，而由法向順時(shí)針轉(zhuǎn)向光線的角度為負(fù)。本節(jié)著重討論了光在介質(zhì)中傳播所遵從的基本規(guī)律電磁波理論和幾何光學(xué)理論，是以后分析波導(dǎo)中光的

27、傳播規(guī)律的理論基礎(chǔ)。兩者的主要區(qū)別在于，幾何光學(xué)理論直觀、簡(jiǎn)單，但適用范圍僅限于多模波導(dǎo)；電磁波理論則更為精確、復(fù)雜，對(duì)于多模和單模波導(dǎo)均適用。在下一節(jié)中，我們將應(yīng)用這些基本理論解決一些光波導(dǎo)的簡(jiǎn)單模型。§2 光波導(dǎo)理論廣義地講，凡是能穩(wěn)定持續(xù)傳輸光信號(hào)的結(jié)構(gòu)都可以稱為光波導(dǎo)。從形狀上，光波導(dǎo)可分為薄膜波導(dǎo)、條形波導(dǎo)、圓柱形波導(dǎo)（光纖）等；從芯區(qū)折射率分布上，又可分為均勻介質(zhì)波導(dǎo)和漸變介質(zhì)波導(dǎo)。本節(jié)所涉及的光波導(dǎo)特指薄膜波導(dǎo)、條形波導(dǎo)等具有平移對(duì)稱性波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，此類波導(dǎo)只需在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行分析，相對(duì)比較簡(jiǎn)單。而光纖具有軸對(duì)稱性，需在柱坐標(biāo)系下進(jìn)行分析，我們留在下一章詳細(xì)介紹。光纖主要

28、承擔(dān)信號(hào)傳輸?shù)娜蝿?wù)，而光源、接收器、探測(cè)器、中繼等也是光纖通信與光纖傳感系統(tǒng)中不可缺少的重要組成部分。這些器件的形狀往往與這一節(jié)所分析的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)相近，這也就是我們分析此類波導(dǎo)的意義所在。2.2.1 薄膜波導(dǎo)的幾何光學(xué)分析方法均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)結(jié)構(gòu)如圖2.2.1所示。中間一層厚度為d（一般為幾微米），折射率為，光線主要在此進(jìn)行傳播，稱為芯區(qū)。上下兩層沿x方向的尺度遠(yuǎn)大于芯區(qū)，可認(rèn)為半無限大。下層折射率為，稱為襯底。上層折射率為，稱為敷層。為了保證光線在芯區(qū)中傳播，必須有，。薄膜波導(dǎo)y、z方向的尺寸遠(yuǎn)大于x方向的尺寸，因此往往認(rèn)為y、z方向上是無限大的，這樣就使問題簡(jiǎn)化為一維情況?？梢?，薄膜波導(dǎo)是光

29、波導(dǎo)中最簡(jiǎn)單的情形，關(guān)于它的討論也將為以后分析條形波導(dǎo)和光纖打下基礎(chǔ)。(1)均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中光線的傳播傳播路徑：均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中芯區(qū)折射率、襯底折射率、敷層折射率均為常數(shù)。因而光線在芯區(qū)沿直線傳播，在上下兩界面發(fā)生反射和折射，如圖2.2.2所示。若在上下兩界面發(fā)生全反射，光線將被束縛在芯區(qū)，形成鋸齒狀的傳播路徑。光線分類：根據(jù)襯底和敷層中是否存在折射光線，我們將波導(dǎo)內(nèi)的光線分成折射光線和束縛光線兩類。若光線在兩界面上都滿足全反射條件，光線完全被束縛在芯區(qū)內(nèi)，則稱之為束縛光線。若光線在某一界面或兩界面上同時(shí)不滿足全反射條件，從而導(dǎo)致光線穿過界面進(jìn)入襯底或敷層，則稱之為折射光線。顯然只有束縛光

30、線才能在波導(dǎo)中沿確定方向進(jìn)行遠(yuǎn)傳，而折射光線由于能量進(jìn)入到襯底或敷層，不能遠(yuǎn)傳。光線在芯區(qū)與襯底及芯區(qū)與敷層的界面上的全反射臨界角分別為（2.2.1a）（2.2.1b）不妨設(shè)，則，這表明成為束縛光線的必要條件為。為了討論方便，我們常用光線與波導(dǎo)軸z軸之間的夾角來表示光線的方向，它與入射角互余，即。于是根據(jù)可將光線分類為：束縛光線（2.2.2a）只存在襯底輻射的折射光線（2.2.2b）同時(shí)存在襯底輻射和敷層輻射的折射光線（2.2.2c）消失光線（2.2.2d）這里所謂的消失光線是指，垂直于z軸傳播的光線，即光線在z軸分量為零。而光通信的目的是使信號(hào)沿z軸傳播，因此討論這種光線意義不大。在以后的各

31、種波導(dǎo)中將不再討論。光線不變量：由及折射定律可知，在光線傳播過程中（2.2.3）是個(gè)常數(shù)。其中腳標(biāo)i=1,2,3，分別表示3種介質(zhì)。可將稱為光線不變量，它實(shí)際上是光波沿z軸方向的歸一化相位常數(shù)，即（2.2.4）用光線不變量也可對(duì)光線進(jìn)行分類。束縛光線（2.2.5a）只存在襯底輻射的折射光線（2.2.5b）同時(shí)存在襯底輻射和敷層輻射的折射光線（2.2.5c）消失光線（2.2.5d）傳播時(shí)延：沿z軸傳播單位距離所需的時(shí)間稱為光線的傳播時(shí)延。在均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中，束縛光線在芯區(qū)的傳播速度為（2.2.6）其中c為真空中的光速，為芯區(qū)折射率。由于傳播路徑為鋸齒狀，如圖2.2.3所示，光線沿z軸傳播距離z

32、時(shí)，走過的實(shí)際路徑長(zhǎng)度及光程為（2.2.7a）（2.2.7b）需要的時(shí)間為（2.2.8）根據(jù)定義，傳播時(shí)延（2.2.9）時(shí)延差：如果在芯區(qū)中有兩條束縛光線，其路徑不同，與z軸的夾角分別為和。則沿z軸傳播單位距離時(shí)，傳播時(shí)延不同，其差值稱為時(shí)延差，記為（2.2.10）最大時(shí)延差：所有束縛光線中，路徑最短的是沿z軸傳播的光線，其。而路徑最長(zhǎng)的是接近全反射臨界角的光線，其。這兩條光線的時(shí)延差最大，稱為最大時(shí)延差，記為（2.2.11）由上式可以看出，正比于相對(duì)折射率差。而在以后我們將看到，時(shí)延差越大，多徑色散越嚴(yán)重。所以實(shí)際光波導(dǎo)中相對(duì)折射率差不宜過大。一般芯區(qū)和襯底往往是一種材料，只是摻雜濃度不同，

33、導(dǎo)致略大于，即滿足所謂的弱導(dǎo)條件（2.2.12）相對(duì)折射率差：為了使最大時(shí)延差的表述更簡(jiǎn)潔，我們引入相對(duì)折射率差。相對(duì)折射率差的嚴(yán)格定義為（2.2.13）這與上面的不同，但在弱導(dǎo)近似下（2.2.14）兩者近似相等。之所以不同是由于幾何光學(xué)理論本身并不嚴(yán)格，而的嚴(yán)格定義是在電磁理論的嚴(yán)格推導(dǎo)下得到的。但對(duì)于多模波導(dǎo)，在弱導(dǎo)近似下（2.2.15）仍不失為多徑色散導(dǎo)致光脈沖展寬的一個(gè)很好的估計(jì)。(2)芯層折射率漸變的介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中光線的傳播前面分析的均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)雖然結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、容易分析，但其多徑色散效應(yīng)嚴(yán)重。為了解決這一問題，可以將芯區(qū)的折射率改進(jìn)為漸變的，使其中心折射率最大，向兩側(cè)單調(diào)下降至襯底

34、的折射率，如圖2.2.4所示。下面就對(duì)這種結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的介質(zhì)薄膜波導(dǎo)進(jìn)行分析。為簡(jiǎn)單起見，假設(shè)芯區(qū)兩側(cè)折射率對(duì)稱分布，則折射率函數(shù)可表為（2.2.16）首先進(jìn)行定性討論。如圖2.2.5(a)所示，假設(shè)某時(shí)刻光線傳播至軸線上一點(diǎn)O，且與z軸的夾角為。下一時(shí)刻光線將偏離軸線，但由于折射率向兩側(cè)單調(diào)下降，故光線同時(shí)也向軸線方向發(fā)生彎曲。因此，芯區(qū)的傳播路徑一般曲線，且偏離軸線的距離x越遠(yuǎn)其切向方向與軸線的夾角越小。若光線傳播至且使，光線接下來將向接近z軸的方向傳播。由對(duì)稱性及光路可逆知，光線將被束縛在區(qū)域，形成束縛光線，稱為折返點(diǎn)。若光線一直傳播至處也未出現(xiàn)的點(diǎn)，由于襯底及敷層折射率不變，則光線將沿a

35、點(diǎn)處路徑的切向傳播至襯底及敷層區(qū)域，形成折射光線，如圖2.2.5(b)所示。對(duì)于沿不同路徑傳播的束縛光線，如圖2.2.5(c)所示，其傳播路徑越長(zhǎng)，則其經(jīng)過區(qū)域的折射率相對(duì)越小。因?yàn)閭鞑r(shí)間正比于光程，所以路徑越長(zhǎng)的光線未必時(shí)延越大。下面就對(duì)路徑方程、光線分類及傳播時(shí)延等問題進(jìn)行定量分析。路徑方程：在芯區(qū)中光線傳播的路徑方程由射線方程（2.1.51）式可以具體化為（2.2.17）由于與y、z無關(guān)，故光線路徑為平面曲線。總可以選取合適的坐標(biāo)系，使光線的傳播路徑在xz平面內(nèi)。曲線上任意一點(diǎn)的矢徑為（2.2.18）將上式代入到（2.2.17）式，并寫成分量形式，有（2.2.19a）（2.2.19b）

36、由如圖2.2.6所示的幾何關(guān)系可知（2.2.20a）（2.2.20b）（2.2.20c）積分（2.2.19b）式可得（2.2.21）即前面提到的光線不變量歸一化的z方向相位常數(shù)。也就是說光線傳播的歸一化的z方向相位常數(shù)在整個(gè)傳播過程中始終保持不變，其值僅由光線的初始狀態(tài)決定。由于折返點(diǎn)處，故折返點(diǎn)坐標(biāo)是下面方程的解（2.2.22a）（2.2.22b）利用（2.2.20）式，可以將（2.2.19a）式寫成（2.2.23）利用（2.2.21）式的不變量關(guān)系，又可將上式化簡(jiǎn)為（2.2.24）作變換，則，將其代入（2.2.24）式，得（2.2.25）積分得（2.2.26）式中C為積分常數(shù)。對(duì)于束縛光線

37、，方程（2.2.22）有解。在處，故，于是。再由（2.2.21）式，確定。于是（2.2.27）再次積分得到路徑方程的積分式（2.2.28）上式是在x=0時(shí)，z=0的前提下得到的。如果給定芯區(qū)折射率分布和光線的起始傾角，則光線的路徑方程可由（2.2.28）式的積分完全確定。光線分類：由前面的分析可知，若方程（2.2.22a）式在的范圍內(nèi)有解，則說明存在折返點(diǎn)，光線為束縛光線；反之則為折射光線。兩者的分界線剛好是的路徑。由（2.2.22a）式可以得到這條路徑的起始傾角（2.2.29）式中是襯底及敷層的折射率，是芯區(qū)軸線上的折射率。于是光線的分類可以歸納為束縛光線（2.2.30a）折射光線（2.2.

38、30b）或用光線不變量來表示束縛光線（2.2.31a）折射光線（2.2.31b）傳播時(shí)延：由于光線路徑的周期性與對(duì)稱性，我們可以只考慮半個(gè)周期的光程，即圖2.2.5(c)中P、Q兩點(diǎn)間的曲線段。利用（2.2.27）式，即（2.2.32）并注意到（2.2.33）得，光程（2.2.34）又由于P、Q在z軸上投影點(diǎn)之間的距離（2.2.35）所以傳播時(shí)延（2.2.36）式中是z方向上半周期的長(zhǎng)度。若傳播路徑在z軸上的投影長(zhǎng)度剛好是的整數(shù)倍，則（2.2.36）式精確成立；若，則（2.2.36）式近似成立；若不滿足以上條件，傳播時(shí)延的精確值為（2.2.37）由（2.2.36）式可以看出，傳播時(shí)延與初始條件

39、及折射率分布有關(guān)。即當(dāng)光線沿不同路徑傳播（不同）時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生時(shí)延差。而時(shí)延差的大小顯然就由折射率分布來決定了。因此，在設(shè)計(jì)波導(dǎo)時(shí)，可以通過選擇合理的折射率分布函數(shù)，來盡量減小甚至消除最大時(shí)延差和多徑色散。下面我們就舉幾個(gè)典型的例子。(3)舉例例1 無界拋物線型折射率分布，即，（2.2.38）【解】由于這里假設(shè)折射率在范圍內(nèi)按拋物線函數(shù)分布，所以式中的a不再具有芯區(qū)厚度的意義，只是一個(gè)幾何尺度參量而已。是一個(gè)無量綱的參量，反映折射率的變化情況。顯然當(dāng)時(shí)，不符合實(shí)際情況，即所謂的“無界拋物線型折射率分布”是不存在的。但從它可以得到簡(jiǎn)單的解，有助于我們理解漸變折射率分布波導(dǎo)中光線傳播的概念，且對(duì)于

40、其中那些不大的傍軸光線，所得的結(jié)果是相當(dāng)精確的。在波導(dǎo)中，我們主要關(guān)心的也就是傍軸光線，所以這樣的假設(shè)有討論的價(jià)值。具體分析方法是先通過（2.2.22a）式確定積分限（即折返點(diǎn)），再通過積分式（2.2.34）和（2.2.35）求出和，最后得到時(shí)延，進(jìn)行討論。由于沒有芯區(qū)和襯底的界面，所以所有實(shí)際存在的光線都是束縛的。其折返點(diǎn)位置由方程（2.2.39）決定。解得（2.2.40）由上式可知，當(dāng)波導(dǎo)參量a，確定以后，折返點(diǎn)僅取決于起始傾角。越小，就越小，如圖2.2.7所示，即光線就越越接近光軸，結(jié)果越精確。將（2.2.38）式代入（2.2.28）式，并注意到，得路徑方程（2.2.41）將（2.2.4

41、0）代入，得（2.2.42）作變換，則（2.2.43）即（2.2.44）由上式知，光線的路徑是正弦曲線，令宗量，可得其半周期長(zhǎng)度（2.2.45）于是，路徑方程可寫成（2.2.46）由（2.2.45）式可知，起始傾角越小，即越小，則半周期越短，如圖2.2.7所示。由（2.2.34）及（2.2.38）式得，半周期的光程（2.2.47）令，則（2.2.48）傳播時(shí)延（2.2.49）顯然，光線的初始傾角不同時(shí)，其傳播時(shí)延也不同，即這種折射率分布的波導(dǎo)存在時(shí)延差。如果將作為波導(dǎo)的邊界，且在邊界處折射率連續(xù)，且芯區(qū)外折射率不變，如圖2.2.4所示，則模型變?yōu)橛薪鐠佄锞€型折射率分布薄膜波導(dǎo)。顯然，在這種情況

42、下，即為束縛光線的臨界路徑，如圖2.2.7所示。由（2.2.40）知此臨界路徑的初始傾角滿足（2.2.50）再由光線不變量的定義式（2.2.3）得（2.2.51）而沿波導(dǎo)軸線z軸傳播的光線，。由于且單調(diào)，在區(qū)間內(nèi)也是的單調(diào)函數(shù)，故和分別對(duì)應(yīng)著最大和最小時(shí)延。將和分別代入（2.2.49）式再相減，得（2.2.52）在弱導(dǎo)近似的情況下，最大時(shí)延差（2.2.53）將上式與（2.2.15）比較，可以看到，當(dāng)芯區(qū)折射率分布滿足拋物線函數(shù)時(shí)，其最大時(shí)延差是均勻折射率波導(dǎo)的倍。由于一般光波導(dǎo)均滿足弱導(dǎo)條件，故當(dāng)折射率分布滿足拋物線函數(shù)時(shí)，其最大時(shí)延差一般比均勻波導(dǎo)提高2到3個(gè)數(shù)量級(jí)，即多徑色散明顯小于均勻波

43、導(dǎo)。例2 雙曲正割折射率分布，即，（2.2.54）【解】與前面的例1類似，所有實(shí)際存在的光線都是束縛的。將（2.2.54）式代入（2.2.22a）式，解得折返點(diǎn)（2.2.55）為運(yùn)算方便，令，。將（2.2.54）式代入路徑積分（2.2.28）式，得（2.2.56）作變換，得（2.2.57）（2.2.58）即光線的路徑方程（2.2.59）由上式可知，光線的路徑為一族周期性曲線，其z軸方向的半周期長(zhǎng)度（2.2.60）與光線的起始傾角無關(guān)。這表明從軸線上同一點(diǎn)O發(fā)出的光線，由于起始傾角不同，可能沿不同路徑傳播，但經(jīng)半個(gè)周期后又匯聚于同一點(diǎn)P。這就是所謂的自聚焦現(xiàn)象，如圖2.2.8所示。另一個(gè)問題是，

44、同時(shí)從O點(diǎn)發(fā)出的光線能否同時(shí)匯聚于P點(diǎn)，即時(shí)延是否相等。將（2.2.54）式代入（2.2.34）式，得半周期的光程（2.2.61）則傳播時(shí)延（2.2.62）從上式可知，傳播時(shí)延與路徑無關(guān)。即雙曲正割折射率分別的波導(dǎo)不存在多徑色散。例3 冪指數(shù)型折射率分布，即（2.2.63）式中為正的常數(shù)，稱為折射率指標(biāo)。因?yàn)椴灰欢ㄊ桥紨?shù)，所以式中用以保證折射率分布的對(duì)稱性。不同的值表示各種類型折射率分布的波導(dǎo)，如圖2.2.9所示。例如表示例1中的波導(dǎo)，表示前面介紹的均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)。所以（2.2.63）具有一定的普遍意義?！窘狻繉ⅲ?.2.63）式代入（2.2.22a）式，解得折返點(diǎn)（2.2.64）對(duì)于束縛光

45、線，則（2.2.65）即（2.2.66）當(dāng)時(shí)，可以近似寫成（2.2.67）除了的特例外，光線的路徑積分得不到顯式。z軸方向的半周期長(zhǎng)度及光程可用函數(shù)表示為（2.2.68）（2.2.69）傳播時(shí)延（2.2.70）與前面的結(jié)果相比較可知，（2.2.27b）和（2.2.28）式分別是（2.2.69）和（2.2.70）式在的特例，而（2.2.48）和（2.2.49）式分別是（2.2.69）和（2.2.70）式在的特例?？梢宰C明，當(dāng)取值略小于2時(shí)，傳播時(shí)延差最小。我們將之稱為最優(yōu)的值，記為。（2.2.71）當(dāng)時(shí)，（2.2.72）與（2.2.53）式比較，時(shí)延差幾乎又提高了一個(gè)數(shù)量級(jí)。說明時(shí)延差是折射率指

46、標(biāo)的敏感函數(shù)。歸一化的時(shí)延差隨折射率指標(biāo)變化關(guān)系如圖2.2.10所示。2.2.2 從幾何光學(xué)理論向模式理論過渡本地平面波解釋根據(jù)前面的介紹，我們知道只有在無限大均勻介質(zhì)中存在電磁波的最簡(jiǎn)單形式均勻平面電磁波。但在大多數(shù)情況下，電磁波的形式都不是均勻平面電磁波。為了考慮問題方便，我們可以選取一小塊區(qū)域，只要在此區(qū)域中振幅變化不明顯，且等相位面近似可以看成平面，就可以把此區(qū)域中的電磁波看成是均勻平面電磁波，稱為本地平面波。(1) TE波和TM波任意一種偏振形式的均勻平面電磁波都可以分解成兩個(gè)線偏振光的疊加，而線偏振光又可以作如圖2.3.1所示的分解。即首先建立如(a)圖所示的波導(dǎo)坐標(biāo)系，x軸為界面

47、的法向；z軸處在x軸及波矢確定的平面內(nèi)且垂直于x軸，為傳播方向；y軸與z軸、x軸成右手系。再建立本征坐標(biāo)系，y軸即為s軸，波的傳播方向?yàn)閗軸，p軸與s軸、k軸成右手系。電磁場(chǎng)量可以作分解成p和s分量，如圖(b)和(c)所示。將和分成一組，組成橫電波，簡(jiǎn)稱TE波，而和分成另一組，組成橫磁波，簡(jiǎn)稱TM波。即波導(dǎo)中的任意電磁波都可以分解TE波和TM波的疊加，如圖2.2.12所示。尤其當(dāng)平行于z軸，TE波和TM波均成為橫電磁波（TEM波），其物理含義在后面的條形波導(dǎo)中體現(xiàn)的更為明顯。(2)入射波電場(chǎng)，反射波電場(chǎng)，折射波電場(chǎng)表達(dá)式對(duì)于TE波，如圖2.2.12(a)所示，入射波電場(chǎng)、折射波電場(chǎng)和反射波電場(chǎng)

48、表達(dá)式分別為（2.2.73a）（2.2.73b）（2.2.73c）式中，、和分別為入射、折射和反射波的振幅；、和分別為入射、折射和反射波與法線的夾角。這里為了討論問題方便，只考慮了襯底的折射光線，后面只需將換成即可得到敷層的情況。(3)倏逝波對(duì)于我們主要關(guān)心的束縛光線，滿足全反射條件，即。又由Snell定律知，為純虛數(shù)，故折射光（2.2.74）式中，為場(chǎng)量在介質(zhì)2中的衰減常數(shù)。上式表示，當(dāng)全反射發(fā)生時(shí)，并不是所有能量都返回介質(zhì)1中，也有一部分能量以波動(dòng)的形式進(jìn)入到介質(zhì)2中。這種波動(dòng)的形式比較特殊，能量沿x方向按指數(shù)衰減，沿z方向以行波的形式傳播，稱之為倏逝波。倏逝波的存在提醒我們，即使在滿足全反射條件的情況下，我們還應(yīng)使x方向形成駐波，來更好地保證光波被束縛于芯區(qū)