2018屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第六章不等式、推理與證明第五節(jié)合情推理與演繹推理學(xué)案文

1、第五節(jié)合情推理與演繹推理1. 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā) 現(xiàn)中的作用.2 .了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推 理.3 .了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.主干曲說整合07_課前拍身橙固棍基知識(shí)點(diǎn)一合情推理i.歸納推理：(1) 定義：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的 _都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理.(2) 特點(diǎn)：是由 _ 到_，由_ 到_ 的推理.2 .類比推理(1)定義：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有_的推理.

2、特點(diǎn)：類比推理是由到的推理答案1. (1)全部對(duì)象部分整體個(gè)別一般2. (1)這些特征特殊特殊對(duì)點(diǎn)快練1.判斷正誤(1) 由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理.()(2) 在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適.()(3) 一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是 1,2,3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=n(n N*).()答案：V(2)X(3)X-2 -2.(選修 1 1P32 練習(xí)第 1 題改編)已知數(shù)列an中，a1= 1,n2時(shí)，an=an1+ 2n- 1,-3 -依次計(jì)算a2,a3,a4后，猜想an的表達(dá)式是（）A.an= 3n 1B.an= 4n 32n1C

3、. an=nD. an= 3解析：ai= 1,a2= 4,a3= 9,a4= 16,猜想an=n.答案：C3.（選修1 1P32 練習(xí)第 3 題改編）在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1 2，則它們的面積比為 1 4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1 2，則它們的體積比為_.解析：由平面圖形的面積類比立體圖形的體積得出：在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為 12,則它們的底面積之比為14,對(duì)應(yīng)高之比為 12,所以體積比為 18.答案：18知識(shí)點(diǎn)二演繹推理1.模式：三段論（1）_大前提已知的;（2）_ 小前提一一所研究的;（3）_結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)做出的判斷.2 .特點(diǎn)：演繹推

4、理是由 _ 到_ 的推理.答案1 . （1） 一般原理（2）特殊情況（3）特殊情況2 .一般特殊對(duì)點(diǎn)快練4.“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax是增函數(shù)（大前提），而y= 3x是增函數(shù)（結(jié)論），上面推理的錯(cuò)誤在于（2 丿A.大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B.小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C.推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D.大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)解析：當(dāng)a1 時(shí)，y=ax為增函數(shù)；當(dāng) 0a1 時(shí)，3x是指數(shù)函數(shù)（小前提），所以函數(shù)y=ax為減函數(shù).故大前提錯(cuò)誤.-4 -答案：A-5 -熱點(diǎn)一歸納推理考向 i 與數(shù)、式有關(guān)的歸納推理【例 1】(2016 山東卷)觀察下列等式:照此規(guī)律,2nn2(sin - )=2n+ 1-【解析】

5、 分析各等式的形式特點(diǎn):4第 1 個(gè)等式右邊為：3X1x2；4第 2 個(gè)等式右邊為：3X2X3;4第 3 個(gè)等式右邊為：3X444依次類推第n個(gè)等式的右邊為nx(n+ 1)即n(n+1).【答案】 為耐 1)考向 2 與圖形有關(guān)的歸納推理【例 2】 如圖所示，用全等的小正方體木塊疊放立體圖形，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)逐個(gè)疊放下去，那么在第 7 個(gè)疊放的立體圖形中小正方體木塊數(shù)應(yīng)是()酬點(diǎn)命題冥破02(sinn2n93n94n245-)+(sin5)+(sin5)2=X2X3;3(sin2+ (sin2n2n+1)2+ (sin3n2n+1)2+ (sin2n)-2=4X1X2；n-2(sin )+(

6、sin一2+ (sin(sin 7)-2+ (sin-6 -7 -(2)(2017 湖南桃江檢測(cè))地震后需搭建簡(jiǎn)易帳篷，搭建如圖的單頂帳篷需要17 根鋼A. 25C. 91UzB. 66D. 120【解析】圖中前三個(gè)立體圖形中，用到的小正方體木塊數(shù)依次為1,2+1X4,3+(1+2)X4,按照前三個(gè)立體圖形所反映出來的規(guī)律，歸納推理可知，第7 個(gè)疊放的立體圖形中用到的小正方體木塊數(shù)應(yīng)是7+ (1 + 2+ 3 + 6)X4= 91.【答案】 C【總結(jié)反思】(1) 歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象的推理，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍.(2) 歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于

7、觀察、經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的.(3) 歸納推理所得結(jié)論未必正確，有待進(jìn)一步證明，但對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論和科學(xué)的發(fā)現(xiàn)很有用(1)(2017 廣州模擬)以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算 法一書中的“楊輝三角形”.12345 20132 014 20152 0164 0274 0294 0318 12 168 0568 06020 2816 116該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)為()C. 2 016X22 015D.2 016X22 014旨)-8 -管，這樣的帳篷按圖、圖的方式串起來搭建，則串7 頂這樣的帳篷

8、需要 _ 根鋼管.-9 -解析： 當(dāng)?shù)谝恍袨?2 個(gè)數(shù)時(shí)，最后一行僅一個(gè)數(shù)，為3 = 3X1 = 3X2;當(dāng)?shù)谝恍袨?3 個(gè)數(shù)時(shí)，最后一行僅一個(gè)數(shù)，為8 = 4X2 = 4X21;2當(dāng)?shù)谝恍袨?4 個(gè)數(shù)時(shí)，最后一行僅一個(gè)數(shù)，為20= 5X4= 5X2;當(dāng)?shù)谝恍袨?5 個(gè)數(shù)時(shí)，最后一行僅一個(gè)數(shù)，為48 = 6X8=6X2.歸納推理得，當(dāng)?shù)谝恍袨?2 016 個(gè)數(shù)時(shí)，最后一行僅一個(gè)數(shù)，為2 017X 22 014，故選 B.(2)由題意可知，圖的單頂帳篷要 (17 + 0X11)根鋼管，圖的帳篷要 (17 + 1X11)根鋼 管，圖的帳篷要(17 + 2X11)根鋼管，所以串 7 頂這樣的帳篷需要

9、 17 + 6X11= 83(根) 鋼管.答案：(1)B(2)83熱點(diǎn)二類比推理【例 3】已知點(diǎn)A(x1,axj,B(x2,ax?)是函數(shù)y=ax的圖象上任意不同的兩點(diǎn)，依據(jù)圖ax1亠ax2X1亠X2象可知，線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有: a成立運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A(X1, sin X ,E(X2, sinX2)是函數(shù)y= sinx(x (0 ,n)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，則類似地有 _成立.【解析】 由題意知，點(diǎn)A,B是函數(shù)y=ax的圖象上任意不同的兩點(diǎn)，該函數(shù)是一個(gè)變成立；而函數(shù)y= sinx(x (0 ,n)，其變化率逐漸變小，線段AB總是位于A B兩點(diǎn)之間

10、函【總結(jié)反思】類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為：找出兩類事物之間的相似性或一致性;用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想).圖圖圖化率逐漸變大的函數(shù)，線段AB總是位于A,B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方,因此有ax1+ax2X1+X2數(shù)圖象的下方，故可類比得到結(jié)論sinX1+ sinX22 sinX1+X22【答sinX1+ sinX22sinX1+X222-10 -平面幾何中有如下結(jié)論：如圖(1)，設(shè)0是等腰直角ABC底邊BC的中點(diǎn)，AB=1,過點(diǎn)-11 -11Q, R則有時(shí)AR=2.類比此結(jié)論，將其拓展到空間，如圖（2），設(shè)0是正三棱錐A BCD底面BCD的中心

11、，AB AC AD兩兩垂直，AB=1，過點(diǎn)0的動(dòng)平面與三棱錐的三條側(cè)棱或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別為111AQAP* AR又TV三棱錐R-AQP=V三棱錐CAQ+V三棱錐O-ARP+V三棱錐CAQF=AQP*d+廳S ARP d+云SAAQR d333=1(AQ- AP+ AR- AP+ AQ- ARd,AQ AP- AF=*AQAP+ AR- AP+ AQ- ARd,即A+AR11 1 1+AP=d，而V三棱錐ABDC=產(chǎn)BDC，A0=3X，41 1 1_ 耐AFAP=3. 1 1 1 答案：AQ+AF+AP=3熱點(diǎn)三演繹推理an+1=n+-2Si(n N).證明:n(2) Si+1= 4an.n+

12、2an+1= nS，二(n+ 2)S=n(S+1S)，即nS+1= 2(n+1)sn,故n+=2-?,(小前提)是以 2 為公比，1 為首項(xiàng)的等比數(shù)列.（結(jié)論）（大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了）Sn+1S-1（2）由（1）可知刁 =4 n（n2）,O的動(dòng)直線與兩腰或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別為解析：設(shè)0到各個(gè)側(cè)面的距離為d,而V1111三棱錐RAQF=-SAQPAR=二二AQ AP AR=；Q R P,則有-3x2-3=436111.V三棱錐CABD=：V三棱錐ABD=，即二31831-ABD d=-31 1d=押d= 3,【例 4】數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為S,已知31= 1 ,（1）數(shù)列弓是等比數(shù)

13、列;【證明】(1)Tan+1=S+1S,-12 -n十 1n1Si-1n 1 + 2S+1= 4（n+1） n1 = 4 -n1 Si1= 4an（n2）.（小前提）又Ta2= 3S1= 3,S2=a1+a2= 1 + 3 = 4 = 4a1,（小前提）對(duì)于任意正整數(shù)n,都有S+1= 4an.（結(jié)論）【總結(jié)反思】演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略（1）有 6 名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測(cè)：4號(hào)或 5 號(hào)選手得第一名；觀眾乙猜測(cè)：3號(hào)選手不可能得第一名； 觀眾丙猜測(cè)：1,2,6 號(hào)選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測(cè)：4,5,6號(hào)選手都不可能獲得第一名.比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1 人猜對(duì)比賽結(jié)果，此人是（）A.甲 B .乙C.丙 D .?。?）已知在ABC中，/A= 30，/B= 60，求證：ab.證明：/A= 30，/B= 60，./A/BaACD+VABD S BCDAE+DFBGCHVA-BCD=嬴=